全国单招考试数学卷及答案 (4)

普通高等学校单独招生全国统一考试
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知,2||,1||==b a 且)(b a -与a 垂直，则a 与b 的夹角是（
）A
60B
30C
135D
452、若直线l 上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l 与平面α的位置关系（）A．l ⊂α
B．l ⊄α
C．l ∥α
D．以上都不正确
3、两个平面若有三个公共点，则这两个平面()
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对4、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是（）
A、1
2-=n a n B、1
2+=n a n C、1
4-=n a n D、1
4+=n a n 5、曲线||x y =与1+=kx y 的交点情况是（）
A、最多有两个交点
B、有两个交点
C、仅有一个交点
D、没有交点
6、已知集合},2|||{},23|{>=<<-=x x P x x M 则=⋂P M （）
A、}2223|{<<-<<-x x x 或
B、R
C、}
23|{-<-x x D、}
22|{<<x x 7、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）（A）60%
（B）30%
（C）10%
（D）50%
8.如图，在正方形ABCD 中，E、F、G、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形
中，互不全等的三角形共有（）A．6个
B．7个
C．8个
D．9个
9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）
A．22B．515C．46D．3
611.抛物线)2(2)2(2
+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）
A．0B．2
3C．2D．3
12.已知椭圆
22
221a y x =+
（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共
点，则a 的取值范围是（）A．
2
230<
<a B．
2230<
<a 或2
82
>a
C．
223<
a 或282
>a D．282
2
23<
<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.
2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.
3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.
4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)
1.如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π
，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π
，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是
弧
CD .
（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.
2.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.
（1）求222
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；
（2）若
2221
(2)(1)()3x y z a -+-+-≥
成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.
3、设（1+x ）n
＝a 0+a 1x +a 2x 2
+…+a n x n
，n ≥4，n ∈N *．已知a 32
＝2a 2a 4．（1）求n 的值；（2）设（1+
）n
＝a +b
，其中a ，b ∈N *，求a 2﹣3b 2
的值．
4、在平面直角坐标系xOy 中，设点集A n ＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n ，0）}，B n ＝{（0，1）
，（n ，1）}，∁n ＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n ，2）}，n ∈N *．令M n ＝A n ∪B n ∪∁n ．从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离．
（1）当n ＝1时，求X 的概率分布；
（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）．5、在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos （B﹣）．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin（2A﹣B）的值．
6、已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
参考答案：
一、选择题：
1-5题答案:DBCCA
6-10题答案:ADCCC
11-12题答案:BB
二、填空题：
1、4
2、12，20
3、13
4、①②⑤
三、大题：
1.解：（1）由题设可得，弧
,,
AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cos
ρθ
=，2sin
ρθ
=，
2cos ρθ=-.
所以1M 的极坐标方程为
π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π
3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪
⎝⎭，3M 的极坐标方程为
3π2cos π4ρθθ⎛⎫
=-≤≤ ⎪
⎝⎭.（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若
π04θ≤≤
，则2cos θ=，解得π
6θ=
；
若π3π4
4θ≤≤
，则2sin θ=，解得π3θ=或2π3θ=
；若3ππ4θ≤≤
，则2cos θ-=5π6θ=
.综上，P
的极坐标为π6⎫⎪⎭
或π3⎫⎪⎭
或2π3⎫⎪⎭
或
5π6⎫⎪⎭.2．解：（1）由于
2
[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]
x y z x y y z z x =-+++++-++++++-222
3(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦
，
故由已知得
2224
(1)(1)(1)3x y z -++++≥
，
当且仅当x=53，y=–13，
1
3z =-
时等号成立．所以2
2
2
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为4
3.
（2）由于
2
[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]
x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--
222
3(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦
，
故由已知2
2
2
2
(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥
，
当且仅当
43a x -=
，13a y -=，22
3a z -=时等号成立．
因此222
(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2
(2)3a +．由题设知
2(2)1
33a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．3、设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，n ≥4，n ∈N *．已知a 32
＝2a 2a 4．（1）求n 的值；（2）设（1+
）n
＝a +b
，其中a ，b ∈N *，求a 2﹣3b 2
的值．
【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a 2，a 3，a 4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；
（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a ，b ，计算可得所求值；方法二、由于a ，b ∈N *，求得（1﹣）5
＝a ﹣b
，再由平方差公式，计算
可得所求值．
【解答】解：（1）由（1+x ）n ＝C +C x +C x 2+…+C x n
，n ≥4，
可得a
2＝C ＝
，a 3＝C ＝
，a 4＝C ＝，
a 32＝2a 2a 4，可得（
）2
＝2•
•
，
解得n ＝5；（2）方法一、（1+
）5
＝C +C
+C （）2
+C （
）3
+C （
）4
+C （
）
5
＝a +b ，
由于a ，b ∈N *，可得a ＝C +3C +9C ＝1+30+45＝76，b ＝C +3C +9C ＝44，
可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；
方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5
＝a+b，
（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣
）5
＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，
由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，
可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．
【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析
问题能力，属于中档题．
4、在平面直角坐标系xOy中，设点集A
n
＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，
（n，0）}，B
n
＝{（0，1）
，（n，1）}，∁
n
＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n
∈N*．令M
n ＝A
n
∪B
n
∪∁
n
．从集合M
n
中任取两个不同的点，用随机变量X表示
它们之间的距离．
（1）当n＝1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．
【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；
（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M
n
中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．
【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，
X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；
P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；
中取出的两个点，
（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M
n
因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，
①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；
②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；
③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；
④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；
综上可得当X＞n，X的所有值是或，
且P（X＝）＝，P（X＝）＝，
可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．
【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．
5、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，
又bsinA=acos（B﹣）．
∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）
=cosBcos+sinBsin=cosB+，
∴tanB=，
又B∈（0，π），∴B=．
（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，
由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，
∴sin2A=2sinAcosA=，
cos2A=2cos2A﹣1=，
∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．
6、已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人
数比为：3：2：2，
从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，
随机变量X的取值为：0，1，2，3，，k=0，1，2，3．
所以随机变量的分布列为：
X0123
P
随机变量X的数学期望E（X）==；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，
睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，
则：A=B∪C，且P（B）=P（X=2），P（C）=P（X=1），
故P（A）=P（B∪C）=P（X=2）+P（X=1）=．
所以事件A发生的概率：．。