《量子力学》复习资料提纲

)
(Et r p i p Ae
-⋅=ρ
ϖηϖ
ψ《量子力学》复习 提纲
一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释
2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）
3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程
4、量子力学中力学量与算符之间的关系
5、自旋的基本假设 二、三个实验
1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章
2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章
3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明
1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；
2、厄密算符的本征值为实数；
3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；
4、力学量算符的本征函数组成完全系；
5、量子力学测不准关系的证明；
6、常见力学量算符之间对易的证明；
7、泡利算符的形成。

四、表象
算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。

五、计算
1、力学量、平均值、几率；
2、会解简单的薛定谔方程。

第一章 绪论
1、德布洛意假设： 德布洛意关系：
戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：
3、光的波动性和粒子性的实验证据：
4、光电效应：
5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性
（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性
∑=n
n
n c ψ
ψ1d 2
=⎰
τψ（全）
()
ψψψψμ
∇-∇2=*
*ηϖi j ⎩⎨
⎧≥≤∞<<=a
x x a x x V 或0,
0,
0)(0=⋅∇+∂∂j t
ϖρ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)
(,)(),(r e
r t r n t
E i n n n ϖϖϖη
ψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋
第二章 波函数和薛定谔方程
1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。

2．波函数统计解释：
若粒子的状态用()t r ,ρ
ψ描写，
τψ
τψψd d 2
*=表示在t 时刻，空间r ρ
处体积元τd 内找到粒子的几率（设
ψ是归一化的）。

3．态叠加原理：
设ΛΛn ψψψ,,21
是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加∑=n
n
n c ψψ也是体系的一个可能状态。

也可以说,当体系处于态 时，体系部分地处于态ΛΛn ψψψ,,21中。

4.任何一个波函数()t r ,ρ
ψ都可以看做是各种不同动量的平面波的迭加。

5．波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：
ψψμψ),(t r V t i ϖ
ηη+∇2-=∂∂22
当势场
)(r V ϖ
不显含时间t 时，其解是定态解
满足定态薛定谔方程 其中
注：定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。

6．波函数的归一化条件： （对整个空间积分） 相对几率分布：
波函数常数因子不定性；)(~)(r c r ϖ
ϖψψ 波函数相位因子不定性：
7．波函数的标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。

度与几率密度ψψρ*
= 满足连续性方程
8．几率流密9.定态所需的条件 ： 10．一维无限深方势阱
（1）若
Λ
,2,1,0,,=z y x n n n Λη
,,,,321=2=22
2
2
n a n E n
μπ⎪⎩
⎪⎨⎧≥0≤0<<02=a
x x a x a x
n a n 或,
,sin πψ⎪⎩⎪⎨
⎧≥∞<=a x a x x V ,,0)(2
2228=a n E n μπη⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=+=a x a n a x a n a n ,0x ,...3,2,1,)(2sin 1π
ψ222
1=x V μωΛη,,,210=⎪⎭
⎫
⎝⎛
21+=n n E n ，ω)
(x H e
N n x n n αψα2
-212=η
ω
μαπα=
2=
,!
n N n n ωη⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+++=23z y x n n n n n n E z
y x )
()()(2
2
2z H y H x H e N N N z y x r
z
y
x
z
y
x
n n n n n n n n n αααψα
-=
本征值 本征函数
（2）若
则本征值 本征函数 11.自由粒子波函数（推导过程）
12．一维谐振子 本征值
本征函数
13、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。

能级
第三章 量子力学中的力学量
1．量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。

2.厄米算符A 的定义：
r d A r d A ϖ
ϖϕψϕψ⎰
⎰=**)(
此为坐标表像中的表示式 厄米算符的本征值是实数。

厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。

附：力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备、封闭等条件。

3．力学量的测量值：
在力学量F 的本征态中测量F ，有确定值，即它的本征值； 在非F 的本征态φ中测量F ，可能值是F 的本征值。

dx x F x F )()(*φφ⎰
=⎰∑2
2+=
λ
λλλd c c F n
n n λ
λλψψψλψ==F F n
n n ˆˆ
dx
x x c dx x x c n n )()(,
)()(*
*
φψφψλλ⎰⎰
==()t r ,ρ
ψη
ϖ
ϖϖηr p i p
e
⋅2
3-2=)(πψ)
()()(*p p d r r p p '-=⎰
'ϖ
ϖϖϖϖϖδτψψdx
x c x c x n
n
n )()()(λλψψ
φ⎰∑+=
ϕ
∂∂
-=ηi L z 将)(x φ用算符F 的正交归一的本征函数展开： 则在)(x φ态中测量力学量F 得到结果为n λ的几率为2
n c ，得到结果在λλλd +→范围内的几
率为
λ
λd c 2。

力学量的平均值是 或
附：本书中五个基本原理
（1）量子力学中态的表示 波函数 （2）态叠加原理： （3）定态薛定谔方程： （4）力学量与算符的关系： （5）自旋：
4． 连续谱的本征函数可以归一化为δ函数。

5．简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。

简并度：F
ˆ算符的属于本征值n λ的线性无关的本征函数有f 个，我们称F ˆ的第n 个本征值n λ是f 度
简并。

6． 动量算符p ϖ的本征函数(即自由粒子波函数)
正交归一性
7． 角动量z 分量
本征函数
Λ
,,,,)(2±1±0=21=
m e im m ϕπ
ϕψ
z L 的本征值 ηm L z
=' 8． 平面转子（设绕z 轴旋转） 课本P 101 3.5题
哈密顿量 2
22222ϕd d I I L H z η-==
能量本征态
Λ
,,,,)(2±1±0=21=
m e im m ϕπ
ϕψ
0=dt
F
d Λ
η,,,,
321=12-=12-==22224n n a e n
e E E n μ2
=n f n Bohr c
e m c m
e M B B z ——μμμμ2=-=2-=ηη,c
e m M L M z z
z μ2-
==η2
2
242-=n Z e E n ημ能量本征值
I m E m 2=
2
2η 9． ()
z L L
,2
有共同的本征函数 — 球谐函数()ϕθ,lm Y ：
()()()()()
l m l m l l m l N e P N Y lm im m
l lm m lm ±2±1±0=210=+41+2-=
1-=,,,,;,,,,!
!
!)(cos )(,ΛΛ
πθϕθϕ
()()ϕθϕθ,)(,lm lm Y l l Y L 2
21+=η ()()ϕθϕθ,,lm lm z Y m Y L η=1．
中心力场中，势场[]
0==H L r V r V ,,)()(ϖϖ，角动量L ϖ
为守恒量。

10．中心力场中，定态薛定谔方程
ψψμμE r V r L r r r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2+∂∂12-22222)(η
选(
)
z L L H ,,2
为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为
l l l m l Y r R r lm -1-=210==,,,,
,,,)
,()(),,(ΛΛϕθϕθψ
11．氢原子 玻尔半径）(22e a μη=
),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =
能级简并度 轨道磁矩 （
为玻尔磁子）
旋磁比
类氢离子
量F 的平均值不随时间变化），则称F 为守恒量。

12． 守恒力学量的定义：若（即力学
0=∂∂t
F
力学量F 的平均值随时间的变化满足t F
H F i dt
F d ∂∂+1=],[η
因而力学量F 为守恒量的条件为： ， 且 0=],[H F 13．宇称算符
宇称算符的定义：
)()(ˆr r P ρρ-=ψψ 本征值
本征函数。

注：宇称出现在一维无限深势阱、自旋中。

14． 对易式定义： []BA AB B A -≡, 15． 对易式满足的基本恒等式：
[][][][][][][][][]B C A C B A C AB C
B A B A B B
C A C A B A C B A ,,,,,,,,,+=+=+=+
[][][][][][]0
=++B A C A C B C B A ,,,,,,（Jacobi 恒等式）
16． 一些重要的对易关系：
[][][]
αβ
βα
βα
βα
δηi p x
p p
x x
===,,
0,,
0,
⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡γγγγαββββα
εL p x i L p x L η,
[][][]z
y
x
z
y
x
z
y x
J
i J J s
i s s L
i L L ηηη===,,
,,
,
[][][]
0,,0,,0,2
2
2
===αα
α
J J
s s L L
附：要会证明对易关系 注：量子力学证明题多关于算符和自旋。

17．若算符B A 、对易，即0],[=B A ，则A 和B 有共同的本征函数系。

在A 和B 的共同的本征函数表示的态中测量B A 、，都有确定值。

18.不确定关系:若算符B A 、不对易，即0],[≠B A ，则必有
],[21
)()(22B A B A ≥
∆⋅∆
简记为 ],[21
B A B A ≥
∆⋅∆
特别地，
2
η≥∆∆x p x
第四章 态和力学量的表象
1． Q 表象是以Q 的本征函数系
(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有
()()x u Q x u Q n n n =
()()x u t a n n ∑=ψ
()()()()
)(,,)(,)(,
*
**t a t a t a t a t a t a n n ΛΛ21+21=⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=ψψ
算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是
dx
Fu u F m n nm ⎰=*
，
选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。

平均值公式是
ψψF F +
=， 归一化条件是I =+ψψ，
本征值方程是ψλψ=F 。

附：在自身表象中表示算符的矩阵为对角矩阵。

2． 幺正变换：在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足1
-+=S S ；
态的变换是a S b +=； 算符的变换是FS S F +
='。

幺正变换不改变算符的本征值。

附：在自身表象中，本征函数是函数。

1
1
)()()8()()()7()()()6()
()()5()()()4()
()()3(),(),()2(),(),()1(****
=============∂∂
=∂∂
==⎰⎰⎰∑∑⎰ψψψψψ
ψψψψψψψδδψψψψφψφψdx x x F F dx x F x F n c dx
x x u c n
c x u c x n m dx x u x u n E n H x u E x u H H t
i t x H t x t
i F t x t x F n n n n
n n
n n mn
mn
n m n n n n η
η
,
,
I x x
dx I n
n n
==⎰∑1)
0()0(<<-'n
k nk
E E H 附：证明某个算符势厄密算符 坐标表像中用厄密算符的性质
r d A r d A ϖ
ϖϕψϕψ⎰
⎰=**)(
来证明。

任意表象中则用幺正变换（即：表示算符的矩阵的转置共厄等于算符本身）1
-+=S S 来证明。

3．
量子态可用狄拉克符号右矢
A
或左矢
A
表示。

狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐
述量子力学理论，而且使用十分方便。

基矢的完备性：
坐标表象 狄拉克符号
第五章 微扰理论
1．定态微扰理论
适用范围：求分立能级及所属波函数的修正。

适用条件是：一方面要求0H 的本征值和本征函数已知或
较易计算，另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰H '比较小，以保证微扰计
算收敛较快，即
（1）非简并情况
H H H '+=0
Λ
+-'+'+=∑n
n
k nk
kk
k k E E H H E E )
0()0(2
)
0('
Λ+-'+=∑n n n k nk k
k E E H )
0()
0()0()
0('ψψ
ψ
（2）简并情况
能级的一级修正由久期方程
det )
1(=-'μνμνδk E H
即
)
1(2
1
2
)
1(2221112
)1(11
=-''''-''''-'k
f f f f f k f k E H H H H E H H H H E H f f k k k k Λ
Λ
ΛΛΛΛΛ
给出。

)
1(k E 有k f 个实根，记为
k k f E ,,2,1,
)
1(Λ=αα， 分别把每一个根)1(α
k E 代入方程
()0
1
)
1(=-'∑=νν
μναμνδa E H k
f k
，即可求得相应的解，记为ανa ，于是得出新的
零级波函数
ν
ν
ανφνk k a =∑
相应能量为
)1()0(αk k k E E E +=
2．变分法
选择尝试波函数)(λφ，计算H 的平均值H ，它是变分参量λ的函数，由极值条件
=λδλ
δH
定
出0λ，求出)(0λH ，它表示基态能量的上限。

3．由
m k →的跃迁几率是
2
2
2
1)()(⎰''=
='
→t
t i mk
m
m k t d e H t a t W mk ωη
此公式适用的条件是
1
=2=L s g g ,
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=c e s s c e s s μμμμ或ϖϖ
2
±
=ηz
s
1)(<<→t W m k ， 对于k m ≠
4．周期性微扰：光的吸收和发射，选择定则等。

第七章 自旋与全同粒子
1．自旋基本假设的内容： 2.自旋实验基础：
3.自选角动量、轨道角动量及相应磁矩：
4.自旋角动量算符
5.自选波函数的形成及当自旋与轨道作用可忽略时的波函数
6.什么情况有奇宇称、偶宇称？
7.电子自旋假设的两个要点：
（a ）； （b ）
内禀磁矩的值即玻尔磁子的值：
c e B s μμμ2==η
g 因子（回转磁比值）：
8．旋量波函数
()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,ηϖηϖ
ϖ
r r s r z ψψψ的意义及其归一化。

()()⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛10==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛01==21-21s s s s χβχα,()()()()⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==b a r s r s r z z ρρ
ϖφχφψ,()β
αχb a b a s s +=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=σ
ϖηϖϖηϖϖ2
==⨯s s i s s ,
9.自旋与轨道无耦合时：
2±=ηz s 的本征态：
一般自旋态： 10．自旋算符与泡利矩阵
1ˆˆˆ222===z y x σσσ（单位算符）
⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-y z x x z x y z z y z x y y x i i i σσσσσσσσσσσσσσσ222 ⎪⎩⎪⎨⎧0=+0=+0=+z x x z y z z y x y y x σσσσσσσσσσσσ
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛0110=x σ ,
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0-0=i i y σ , ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1-001=z σ
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆηx S ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y η， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10012ˆηz S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100143ˆ22ηS
附：会证明泡利矩阵 11．总角动量
在中心力场)(r V （例如Coulomb 场）中运动的电子的相对论波动方程（Dirac 方程），在非相对论极限下，Hamilton 量中将出现一项自旋轨道耦合作用
⎪⎩⎪
⎨
⎧=⋅dr dV r c r L s r 121)()(22μξξϖ
ϖ
电子的能量本征态可选为（z J J L H ,,,22）的共同本征态，而空间角度部分与自旋部分的波函数则可取为（
z J J L ,,2
2）的共同本征态: ),,(z ljm s j ϕθφ⎩⎨⎧0≠21-=2
1+=)(l l j l j
本征值分别为
ηηηj m j j l l ,)(,)(221+1+)
,,,(j j j m j -1-=Λ
12. 碱金属原子光谱的双线结构
由于
L s r ϖ
ϖ⋅)(ξ项的存在，使得2/12/1-=+=>l nlj l nlj E E 。

例如 Na ： ο
ο
)5890(33)5896(332
/12/32
/12/1A s p A s p →→
还可以解释反常塞曼效应。

附：只有考虑了电子的自旋光谱线的精细结构才能得到解释。

13．两个电子的自旋单态与三重态
14. 两个角动量的耦合
若21J J ϖϖ,是两个独立的角动量，则21+=J J J ϖ
ϖϖ也是角动量。

()
()()
()无耦合表象基矢耦合表象基矢2
211222121
2122221~,,,,~,,,m j m
j J J J J
jm j j J J J J z z z
系数
G C m j m m j jm j j m --=∑2
221212
C-G 系数的性质：21m m m +=，
j 的取值：
,
,......,2,1,21212121j j j j j j j j --+-++
15．全同粒子
（1）量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等）相同的粒子称为全同粒子。

（2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任何两个粒子交换是不变的。

这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性
S S ij P Φ=Φˆ或者交换反对称性A A ij P Φ-=Φˆ。

（3） 全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。

玻色子：自旋为η整数倍（Λ,2,1,0=s ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，例如π介子（0=s ），光子（1=s ）。

它们遵守Bose 统计，称为Bose 子。

费米子：自旋为η半奇数倍（Λ,23,21=s ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是反对称的，例如电子，质子，中子等。

它们遵守Fermi 统计，称为Fermi 子。

由“基本粒子”组成的复杂粒子，例如α粒子（氦核）或其它原子核，如在讨论的问题或过程中内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同性概念仍然适用，也可以当成一类全同粒子来处理。

如果它们是由Bose 子组成，则仍为Bose 子。

如它们由奇数个Fermi 子组成，则仍为Fermi 子；但如由偶数个Fermi 子组成，则构成Bose 子（玻色子）。

（4）Pauli （泡利）不相容原理：不容许有两个全同的Fermi 子(费密子)处于同一个单粒子态。