高一第15讲正弦型函数图象(学生版)

第15讲y ＝A sin(ωx ＋φ)图象及应用
一．学习目标：
1．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换法。

． 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．
3．y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．
4.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．
二．重点难点：
重点：掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，难点：利用三角函数的性质解决有关问题．
三．知识梳理：
1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1
T
叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．
4．图象的对称性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图
形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π
2
，
k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．
5.在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m
2
，ω由
周期T 确定，即由2π
ω
＝T 求出，φ由特殊点确定．
6.由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移
的量是|φ|ω
(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减
多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．
7.作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据
周期性作出整个函数的图象．
8.函数y ＝tan y ＝tan x
π
题型一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象
例1 设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32
. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．
课堂小结：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可． (2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用
ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋φω来确定平移单位． 课堂练习1：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π的简图是
题型二 三角函数图象的变换
例2 （1）（2012年高考浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是
（2）.已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π4-2，x ∈R .,将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得
到f (x )的图象？
（3）（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）
已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(
,0)4
π
,
将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移
2
π
个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式;（2）（略）
课堂练习2：（1）
（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题） 将函数的图象沿轴向左平移
个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为(A) (B) (C)0 (D)
（2）（2013年高考福建卷（文））将函数)2
2)(2sin()(π
θπθ<<-+=x x f
的图象向右平移
sin(2)y x ϕ=+x 8
π
ϕ34π4
π
4π-
)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)2
3
,
0(P ,则ϕ的值可以是 A ．
35π B ．65π C ．2π D
．6
π
（3）．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图 象重合，则ω的最小值是 A.23 B.43 C.3
2
D ．3
题型三 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式
例3 （1）（2013年高考四川卷（理））函数的
部分图象如图所示,则的值分别是( )
(A)2,3
π
-
(B)2,6
π
-
(C)4,6
π
-
(D)4,
3
π
（2）（2012年高考湖南文）已知函数()sin(),(,0,0)2
f x A x x R π
ωϕωϕ=+∈><<的部
分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）（略）
课堂小结：根据三角函数图象求函数的解析式，主要解决两个问题，一个是ω，一个是φ.ω由三角函数的周期确定，φ由函数图象的位置确定，解决这类题目一般是先根据函数图象找到函数的周期确定ω的值．对于φ值的确定，若能求出距离原点最近的右侧图象上升(或 下降)的零点x 0，令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，也可以用最高点或最低点的坐标来求，如果对φ有范围要求，则可用诱导公式转化． 课堂练习3：（1）(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．
（2）(2009年高考辽宁理)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝ A ．－23 B ．－12 C.23 D.12 ()2sin(),(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
,ωϕ
课堂小结：解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．
题型四 正、余弦函数的最值问题
例4（图象法求最值）（1）（2013年高考天津卷（文））函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上的最小值是 A ．1- B ． C D ．0
（2）（换元法求最值）设|x |≤π4
，函数f (x )＝cos 2
x ＋sin x 的值域是______．
（3）（有界性法求最值）已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．
课堂练习4：已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ): A.23 B.3
2
C ．2
D ．3
题型五 正切函数图象与性质
例5（1）函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π3在一个周期内的图象是( )
（2）下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2
C ．tan 5π7<tan 4π7
D ．tan 9π8<tan π7
（3）函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π
4
，则
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4 课堂练习5：求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心． .
五．品味高考（家庭作业）
1，（2013年高考大纲卷（文））若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则
（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2.（2013年高考四川卷（文））函数()2sin()(0,)22
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<的部分图象
如图所示,则,ωϕ的值分别是
（ ）
A ．2,3
π
-
B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．4,
3
π
3.（2012年高考课标文）已知>0,,直线=
和=是函数
图像的两条相邻的对称轴,则= （ ）
A ．π
4
B ．π3
C ．π2
D ．3π4
4（2012年高考福建文）函数的图像的一条对称轴是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
ω0ϕπ<<x 4
π
x 54π()sin()f x x ωϕ=+ϕ()sin()4
f x x π
=-4
x π
=
2
x π
=
4
x π
=-
2
x π
=-
5.（2012年高考大纲文）若函数是偶函数,则 （ ） A ． B ． C ． D ．
6.（2012年高考安徽文）要得到函数的图象,只要将函数的图象
（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向左平移
个单位 D ．向右平移
个单位 7.（2012年高考新课标理）已知,函数在上单调递减.则的取值范围是A ． B ． C ． D ．
8.（2012年高考天津文）将函数的图像向右平移个单位长度,所得
图像经过点,则的最小值是 （ ） A ． B ．1 C ． D ．2
9.（2005年高考全国理）已知函数y ＝tan ωx 在(－
π2，π
2
)内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－1
10.（2013年高考课标Ⅱ卷（文））函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移
2
π
个单位后,与函数sin(2)3
y x π
=+
的图像重合,则||ϕ=___________.
11.（2013年高考上海卷（理））已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>; (1)若()y f x =在2[,]43
ππ
-
上单调递增,求ω的取值范围;
(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移
6
π
个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.
参考答案：（1）【答案】B （2）【答案】A （3）【解析】由题设知,=
,∴=1,∴
=(), ∴=(),∵,∴=
,故选A.
（4）【答案】C 【解析】把代入后得到,因而对称轴为,
（5）答案C 【解析】由为偶函数可知,轴是函数图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故
,而,故时,[]()sin (0,2)3
x f x ϕ
ϕπ+=∈ϕ=2
π
23π32π53πcos(21)y x =+cos 2y x =1
21
2
0ω>()sin()4f x x πω=+
(,)2
π
πω15[,]2413
[,]24
1(0,]2(0,2]()sin (0)f x x ωω=>4
π
3(,0)4
π
ω1353
πω544
ππ
-ω4π
ϕ+2k π
π+
k Z ∈ϕ4k π
π+
k Z ∈0ϕπ<<ϕ4
π
4x π=-()1f x =-4x π
=-[]()sin (0,2)3
x f x ϕ
ϕπ+=∈y ()f x 3(0)sin
13()3
3
2
2
f k k k Z ϕ
ϕ
π
π
πϕπ==±⇒
=
+⇒=
+∈[]0,2ϕπ∈0k =
, （6）【解析】选 左+1,平移 （7）【解析】选 ， 不合题意 排除 合题意 排除
另:, 得: （8）【解析】函数向右平移得到函数,因为此时函数过点,所以,即所以,所以的最小值为2,选D.
（9）答：B ∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π
|ω|≥π.∴|ω|≤1，
即－1≤ω<0. （10）【答案】
56
π。

（11）【答案】(1)因为0ω>,根据题意有 342
0243
2π
πωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨
⎪≤⎪⎩ 。

(2) ()2sin(2)f x x =()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ
=++=++
1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7
,12
x k k Z ππ=-∈,
即()g x 的零点相离间隔依次为3
π和23π
,
故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333
πππ
⨯+⨯=
.
32πϕ=
C cos 2cos(21)y x y x =→=+12
A 592()[
,]444
x πππ
ωω=⇒+∈()D 351()[,]444x πππ
ωω=⇒+∈()()B C ()22πωππω-≤⇔≤3()[,][,
]424422x ππππππ
ωωπω+∈++⊂315
,2424224
πππππωπωω+≥+≤
⇔≤≤4
π
)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-
=-=-=x x x f x g )0,43(π0)443(sin =-ππω,2
)443(πωπππωk ==-Z k k ∈=,2ωω。