【范例】线段最值系列--费马点模型)

线段最值系列—费马点模型

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【问题背景】

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.

【构图模型】

问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

图文解析：

如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．

则△CPP′为等边三角形，CP= PP′，P A =P′A′，

∴P A+PB+PC= P′A′+ PB+ PP′≥B C′．

∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长，

∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小．最小值为

BA.′

【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】

∴∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，

∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，

∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.

因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．

费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

【构图总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段，利用两点之间线段最短进而解决该问题.

【典型例题】

例1（2019⋅武汉）如图，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．

例2如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

O

N G

图2A

B C

D

M

E

图1

图2

例1图例2图

例 3 如图1，已知一次函数y =

x

+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线c bx x y ++-=2

过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ． （1）求b 、c 的值；

*（2）点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE =2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；

（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接P A 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ，求P A +PC +PG 的最小值．

例4 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－1,0），点B 的坐标为（4，0），经过点A 点B 抛物线y =x ²+bx +c 与y 轴交于点C . （1）求抛物线的关系式.

*（2）△ABC 的外接圆与y 轴交于点D ，在抛物线上是否存在点M 使S △MBC =S △DBC ，若存在，请求出点M 的坐标.

（3）点P 是直线y = -x 上一个动点，连接PB ，PC ，当PB +PC +PO 最小时，求点P 的坐标及其最小值.

图1 图2

备用图

线段最值系列—费马点模型课堂检测

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1.如图，四个村庄坐落在矩形ABCD 的四个顶点上，AB ＝10公里，BC ＝15公里，现在要设立两个车站E ，F ，则EA +EB +EF +FC +FD 的最小值为 公里．

2.小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：ABC ∆内总存在一点P 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小． 【特例】如图1，点P 为等边ABC ∆的中心，将ACP ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到ADE ∆，从而有DE PC =，连接PD 得到PD PA =，同时12060180APB APD ∠+∠=︒+︒=︒，180ADP ADE ∠+∠=︒，即B 、P 、D 、E 四点共线，故：

PA PB PC PD PB DE BE ++=++=．在ABC ∆中，另取一点P '，易知点P '与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B 、P '、D '、E 四点不共线，所以P A P B P C PA PB PC '+'+'>++，

即点P 到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2，P 为ABC ∆内一点，120APB BPC ∠=∠=︒，证明PA PB PC ++的值最小； 【拓展】（2）如图3，ABC ∆中，6AC =，8BC =，30ACB ∠=︒，且点P 为ABC ∆内一点，求点P 到三个顶点的距离之和的最小值．