2020届数学新攻略一轮复习浙江专用 4_8 正弦定理和余弦定理应用举例+夯基提能作业+Word版含解析

§4.8正弦定理和余弦定理应用举例

A组基础题组

1.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m、50 m,BD为水平线,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

答案 B 依题意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),所以在△ACD 中,由余弦定理得

cos∠CAD=-

=-

==.

又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

2.(2018杭州调研)据气象部门预报,在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动,距风暴中心300 km以内的地区为危险区,则该码头处于危险区内的时间为( )

A.9 h

B.10 h

C.11 h

D.12 h

答案 B 记码头为点O,热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴到达B 点位置,在△OAB中,OA=400 km,AB=20t km,∠OAB=45°,根据余弦定理得

4002+400t2-2×20t×400×≤3002,即t2-20t+175≤0,解得

10-5≤t≤10+5,所以所求时间为10+5-10+5=10(h),故选B.

3.(2018绍兴一中高三期中)以BC为底边的等腰三角形ABC中,AC边上的中线长为6,当△ABC面积最大时,腰AB的长为( )

A.6

B.6

C.4

D.4

答案 D 如图所示,设D为AC的中点,

由余弦定理得cos A=-=-,

在△ABD中,BD2=b2+-2×b××-,

可得2a2+b2=144,

设BC边上的高为h,所以S=ah=a-

=a-=-

=--,

所以,当a2=32时,S有最大值,此时,b2=144-2a2=80,解得b=4,即腰长AB=4.故选D.

4.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C △ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:

①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a,则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为( )

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

答案 D 对于①③,由三角形内角和定理和正弦定理可求得A,B间的距离;对于②,由余弦定理可求得A,B间的距离.

5.(2018嘉兴高三模拟)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ 0°<θ<45° 的C处,且cos θ=.已知A、C两处的距离为10海里,则该货船的船速为海里/时.

答案4

解析因为cos θ=,0°<θ<45°,所以sin θ=,则

cos∠BAC=cos 45°-θ)=×+×=,在△ABC

中,BC2=800+100-2×20×10×=340,所以BC=2海里,所以该货船的船速为4海里/时.

6.(2018福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A,B,C处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为.

答案80 m

解析设塔高为h m.依题意得,tan α=,tan β=,tan γ=.因为α+β+γ=90°,所以tan(α+β)tan γ=tan 90°-γ)tan

γ=°-

°-==1,所以

-

tan γ=1,所以

-

=1,解

得h=80,所以塔高为80 m.

7.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73

答案60

解析不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46 m,于是

BD=AD tan 90°-67° =46×°

°

≈19.5

m,DC=AD tan 90°-30° =46×≈79.6 m,∴BC=DC-BD=79.6-19.5≈60 m. 8.某观察站C在A城的南偏西20°方向上,由A城出发有一条公路,走向是南偏东40°,距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C、D的距离为21千米,则此人还需走多少千米才能到达A城?

解析设AD=x千米,AC=y千米,∵∠BAC=20°+40°=60°,∴在△ACD中,由余弦定理得x2+y2-2xycos 60°=212,

即x2+y2-xy=441.①

而在△ABC中,由余弦定理得(x+20)2+y2-2 x+20 ycos 60°=312,

即x2+y2-xy+40x-20y=561.②

②-①得y=2x-6,代入①得x2-6x-135=0,

解得x=15或x=-9(舍去).

故此人还需走15千米才能到达A城.

9.如图,在某港口A处获悉,其正东方向20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,此时救援船在港口的南偏西30°距港口10海里的C处,求援船接到救援命令后立即从C处沿直线前往B处营救渔船.

(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离;

(2)试问救援船在C处应朝什么方向沿直线前往B处救援?已知°

解析(1)由题意得,在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,

所以CB2=AB2+AC2-2AB ACcos∠CAB=202+102-2×20×10cos 120°=700,

所以BC=10,