2011年白鹭洲中学高二数学竞赛试卷

2011年白鹭洲中学高二数学竞赛测试卷
班级 姓名
1．等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项的和分别为n S 、n T ，且
3323n n S n T n -=
+，则66
a
b = 2.已知函数0)(,)1,1(213)(00=--+=x f x a ax x f 使得上存在在,则a 的取值范围是 .
3．已知F 为双曲线22
1169
x y -
=的右焦点，M 是双曲线右支上的动点，定 点A （5，4），则45MF MA -的最大值为 .
4．已知棱长为1的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB ，BB 1以及BC 1的中点处各有一个小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积为 .
5
的最大值为 .
6．在正三棱锥P-ABC 中，M 为∆ABC 内（含边界）一动点，且到三个侧面P AB ，PBC ，PCA 的距离成等差数列，则点M 的轨迹是 .
7．在数列{a n }中，a 1=2，且a n +1=2
1
2
+n a ，则{a n }的通项公式 .
8．已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．
9.
已知线段CD =，CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点A 所在的曲线方程；（2）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且OA OB ⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值．
10.函数(),()ln ln ,x f x ae g x x a ==-其中a 为常数，且函数()y f x =和()y g x =的
图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.
（1）求函数()y g x =的解析式; （2）若关于x
的不等式
()
x m
g x ->m 的取值范围.
11．四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 延长交于点P ，AD 、BC 延长交于点Q ，由Q 作该圆的两条切线QE 、QF ，切点分别为E 、F ，
求证：P 、E 、F 三点共线．
P
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2011年白鹭洲中学高二数学竞赛测试卷答案
1．等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项的和分别为n S 、n T ，且
3323n n S n T n -=
+，则66a
b =65
2.已知函数0)(,)1,1(213)(00=--+=x f x a ax x f 使得上存在在,则a 的取值范围是
1-<a 或5
1
>
a 3．已知F 为双曲线22
1169
x y -=的右焦点，M 是双曲线右支上的动点，定点A （5，
4），则45MF MA -的最大值为 9
4．已知棱长为1的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB ，BB 1以及BC 1的中点处各有一个小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积为
12
11 5
6．在正三棱锥P-ABC 中，M 为∆ABC 内（含边界）一动点，且到三个侧面P AB ，PBC ，PCA 的距离成等差数列，则点M 的轨迹是 一条线段
7．在数列{a n }中，a 1=2，且a n +1=212
+n a ，则{a n }的通项公式 a n =12
3
1-+n
8．已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有
两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是
5 ．
9. 已知线段CD =，CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点A 所在的曲线方程；（2）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且OA OB
⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值．
解（1）以O 为圆心，CD
所在直线为轴建立平面直角坐标系，若2AC AD a +=<
0a <<A
所在的曲线不存在；若2AC AD a +==
a =，动点A 所在
的曲线方程为0(y x =
；若2AC AD a +=>a >A 所在的曲
线方程为22
22
13
x y a a +=-.……5分 (2)当2a =时，其曲线方程为椭圆22
14x y +=,由条件知,A B 两点均在椭圆2214
x y +=上，且OA OB ⊥
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =，OB 的方程为
1y x k =- 解方程组22
1
4
y kx
x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2
12414x k =+，2212414k y k =+ 同理可求得222244k x k =+，
2
2
2
44
y k =+，AOB ∆
面积2S =
=------10 令21(1)k t t +=>
则S ==令22991125()49()(1)24g t t t t t =-
++=--+> 所以254()4g t <≤，即415
S ≤<，当0k =时，
可求得1S =,故4
15
S ≤≤， 故S 的最小值为45，最大值为1. ……16分
（2）另解：令1122(cos ,sin ),(sin ,cos )A r r B r r θθθθ-，则2222
11222222
1cos sin 14,1sin cos 1
4
r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩解得2
12222222
244cos 4sin 13sin 44sin 4cos 13cos r r θθθθθθ⎧==⎪⎪++⎨
⎪==⎪++⎩
所以2212
2221664
49sin cos 169sin 2r r θθθ
=
=++，
而[]2
sin 20,1θ∈
因此1214,125S r r ⎡⎤
=
∈⎢⎥⎣⎦
，即最大值是1，最小值是45.
10.函数(),()ln ln ,x f x ae g x x a ==-其中a 为常数，且函数()y f x =和()y g x =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
（1）、求函数()y g x =的解析式 （2）、若关于x
的不等式
()
x m
g x ->m 的取值范围。

解：（1）/
/
1
(),()x
f x ae
g x x
==
()y f x =的图像与坐标轴的交点为(0,)a ，()y g x =的图像与坐标轴的交点为(,0)a
由题意得/
/
(0)(),f g a =即1
a a
=， 又
01a a >∴=
()ln g x x ∴= -------5
（2）由题意()00,1g x x x ≠∴>≠ 当(1,)x ∈+∞
时，
ln x m
m x x x
->⇔<
令()x x x ϕ=
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/()x ϕ∴=
令()h x
=/
ln 2,()x h x -∴= ------10 当(1,)x ∈+∞时，
/()0()h x h x >∴单调递增。

()(1)0h x h ∴>=
由m x x <在(1,)x ∈+∞上恒成立， 得(1)1m ϕ≤= ------15 当(0,1)x ∈
时，
ln x m
m x x x
->⇔>
可得/
()0x ϕ=
> ()x ϕ∴单调递增。

由()m x x x ϕ>=在(0,1)x ∈上恒成立，得(1)1m ϕ≥=
综上，可知1m = ------20
11．四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 延长交于点P ，AD 、BC 延长交于点Q ，由Q 作该圆的两条切线QE 、QF ，切点分别为E 、F ，求证：P 、E 、F 三点共线．(1997年中国数学奥林匹克）
证明 连PQ ，作⊙QDC 交PQ 于点M ，
则∠QMC =∠CDA =∠CBP ，于是M 、C 、B 、P 四点共圆．------5 由 PO 2-r 2=PC ·PD =PM ·PQ ， QO 2-r 2
=QC ·QB =QM ·QP ，------10 两式相减，得PO 2
-QO 2
=PQ ·(PM -QM )
=(PM +QM )( PM -QM )=PM 2-QM 2， ∴ OM ⊥PQ ．
∴ O 、F 、M 、Q 、E 五点共圆．------15
连PE ，若PE 交⊙O 于F 1，交⊙OFM 于点F 2，则 对于⊙O ，有PF 1·PE =PC ·PD ， 对于⊙OFM ，又有PF 2·PE =PC ·PD ． ∴ PF 1·PE =PF 2·PE ，即F 1与F 2重合于二圆的公共点F ．即P 、F 、E 三点共线．------20 在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。

P。