七年级数学拓展课程

七年级数学拓展课程
奇趣数学
编写
初一集备组
第一讲：奇趣数学
第二讲：火柴游戏
第三讲：三大几何难题
第四讲：巴霍姆的故事
第五讲：黄金分割
第六讲：染色问题
第七讲：抽屉原则
第八讲：欧拉公式与正多面体的制作
第九讲：欧拉公式与足球
第十讲：设计制作长方体形状的包装纸盒第十一讲：数独
第十二讲：柯克曼女生问题
第十三讲：24道名人名题（一）
第十四讲：24道名人名题（二）
第十五讲：数学巨匠
第一讲：奇趣数学
1、蝴蝶效应
气象学家Lorenz提出一篇论文，名叫「一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙卷风？」论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴蝶效应」。

就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点数也不一定是相同的。

Lorenz为何要写这篇论文呢？这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑。

平时，他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图。

这一天，Lorenz想更进一步了解某段纪录的後续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的後续结果。

当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵。

在一小时後，结果出来了，不过令他目瞪口呆。

结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到後期，数据差异就越大了，就像是不同的两笔资讯。

而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127，而这些微的差异却造成天壤之别。

所以长期的准确预测天气是不可能的。

参考资料：阿草的葫芦(下册)——远哲科学教育基金会
问题：听了这个故事，你有什么感想
2、动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。

组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。

蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。

丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。

“人”字形的角度是110度。

更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。

冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。

真正的数学“天才”是珊瑚虫。

珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。

奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。

天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。

(生活时报)
问题：自然界中，还能找到那些有趣的数学情景
3、麦比乌斯带
每一张纸均有两个面和封闭曲线状的棱(edge)，如果有一张纸它有一条棱而且只有一个面，使得一只蚂蚁能够不越过棱就可从纸上的任何一点到达其他任何一点，这有可能吗?事实上是可能的只要把一条纸带半扭转，再把两头贴上就行了。

这是德国数学家麦比乌斯(M?bius.A.F 1790-1868)在1858年发现的，自此以後那种带就以他的名字命名，称为麦比乌斯带。

有了这种玩具使得一支数学的分支拓朴学得以蓬勃发展。

问题：自己动手执着一条麦比乌斯带，感受一下它的神奇
4、数学家的遗嘱
阿拉伯数学家花拉子密的遗嘱，当时他的妻子正怀着他们的第一胎小孩。

“如果我亲爱的妻子帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一；如果是生女的，我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。

”而不幸的是，在孩子出生前，这位数学家就去世了。

之后，发生的事更困扰大家，他的妻子帮他生了一对龙凤胎,而问题就发生在他的遗嘱内容。

如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢？
分析：从题目中，可知儿子分的财产与妻子的比是2:1，女儿分的财产与妻子的比是1:2,如果财产是分成3分的，分配方式在题目中，好，现在你，想下，按照这个比例，现在生下了一儿一女，儿子得到的财产是妻子的2倍，女儿得到的财产是妻子1/2，我建议你现在不要看了，先自己想下，如果自己能想出来，你是不错的，否则，你看下下面的内容，也许对你有些帮助。

如果妻子得到的是2份，那女儿呢？，此时，儿子是几份呢？整个的家产是几份呢？，想下你能自己做出来吗？
答案：儿：妻：女＝4：2：1 ...
第二讲：火柴游戏
一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干支火柴於桌上，两人轮流取，每次所取的数目可先作一些限制，规定取走最後一根火柴者获胜。

规则一：若限制每次所取的火柴数目最少一根，最多三根，则如何玩才可致胜？例如：桌面上有n=15根火柴，甲﹑乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能致胜？为了要取得最後一根，甲必须最後留下零根火柴给乙，故在最後一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3根，否则乙就可以全部取走而获胜。

如果留下4根，则乙不能全取，则不管乙取几根（1或2或3），甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏。

同理，若桌上留有8根火柴让乙去取，则无论乙如何取，甲都可使这一次轮取後留下4根火柴，最後也一定是甲获胜。

由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴数为4﹑8﹑12﹑16...等让乙去取，则甲必稳操胜券。

因此若原先桌面上的火柴数为15，则甲应取3根。

（∵15-3=12）若原先桌面上的火柴数为18呢？则甲应先取2根（∵18-2=16）。

规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则又如何致胜？
原则：若甲先取，则甲每次取时，须留5的倍数的火柴给乙去取。

通则：有n支火柴，每次可取1至k支，则甲每次取後所留的火柴数目必须为k+1之倍数。

规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1﹑3﹑7，则又该如何玩法？
分析：1﹑3﹑7均为奇数，由於目标为0，而0为偶数，所以先取者甲，须使桌上的火柴数为偶数，因为乙在偶数的火柴数中，不可能再取去1﹑3﹑7根火柴後获得0，但假使如此也不能保证甲必赢，因为甲对於火柴数的奇或偶，也是无法依照己意来控制的。

因为〔偶-奇=奇，奇-奇=偶〕，所以每次取後，桌上的火柴数奇偶相反。

若开始时是奇数，如17，甲先取，则不论甲取多少（1或3或7），剩下的便是偶数，乙随後又把偶数变成奇数，甲又把奇数回覆到偶数，最後甲是注定为赢家；反之，若开始时为偶数，则甲注定会输。

通则：开局是奇数，先取者必胜；反之，若开局为偶数，则先取者会输。

规则四：限制每次所取的火柴数是1或4（一个奇数，一个偶数）。

分析：如前规则二，若甲先取，则甲每次取时留5的倍数的火柴给乙去取，则甲必胜。

此外，若甲留给乙取的火柴数为5之倍数加2时，甲也可赢得游戏，因为玩的时候可以控制每轮所取的火柴数为5（若乙取1，甲则取4；若乙取4，则甲取1），最後剩下2根，那时乙只能取1，甲便可取得最後一根而获胜。

通则：若甲先取，则甲每次取时所留火柴数为5之倍数或5的倍数加2。

6、韩信点兵韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）。

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。

凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。

」孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

第三讲：三大几何难题
虽然在几何数学中，各种各样的问题都得到了解决，但至今为止还有三个几何题没能得到解答，被称为几何三大难题。

那究竟是那几个问题呢，我们一起来了解一下吧！
第一，化圆为方。

在古希腊的时候有一个学者叫做安拉克萨哥拉，有一次，他提出太阳是一个巨大的火球。

从现在看来，它绝对符合客观事实，但在当时，人们都相信神话中的说法，太阳是神灵阿巴罗的化身。

于是安拉克萨哥拉被判定为亵渎神灵，判处死刑，被投到了牢狱中。

在等待执行的日子里，他依然在思考着关于宇宙和万物的问题，当然也包括数学问题。

一天晚上，他看到圆圆的月亮，透过正方形的铁窗照进牢房，他心中一动，想：如果已知一个圆的面积，那么，怎样做出一个方来，才能使它的面积恰好等于这个圆的面积呢？这个问题看似简单，却难住了安拉克萨哥拉。

在古希腊，对作图工具进行了限制，只允许使用直尺和圆规。

安拉克萨哥拉一直在思考这个问题，甚至忘了自己是还是一个待处决的犯人。

到了后来，受到好朋友伯利克里（当时杰出的政治家）的营救，脱离了牢狱之苦。

然而这个问题，他自己没有能够解决，整个古希腊的数学家也没有能解决，成为历史上有名的三大几何难题之一。

在之后的两千多年里，也有无数的数学对此做了论证，可始终没有得到答案。

第二，立方倍积。

此问题也是几何三大难题中的一个。

相传，在古希腊的有一个名为第罗斯的小岛有一年发生了瘟疫，岛上的居民到神庙去祈求宙斯神，询问该如何免除灾难？许多天过去了，巫师终于传达了神灵的旨意，原来是宙斯认为人们对他不够虔诚，他的祭坛太小了。

要想免除瘟疫，必须做一个体积是这个祭坛两倍的新祭坛才行，而且不许改变立方体的形状。

于是人们赶紧量好尺寸，把祭坛的长、宽、高都增加了一倍，第二天，把它奉献在了宙斯神的面前。

不料，瘟疫非但没有停止，反而更加流行了。

第罗斯岛的人民惊慌失措了，再次向宙斯神祈求。

巫师再次传达了宙斯的旨意。

原来新祭坛的体积不是原来祭坛的两倍，而是八倍，宙斯认为，第罗斯人抗拒了他的意志，因此更加发怒了。

当然这只是个传说，但这个问题至今为止都没能解答出来确是事实。

其问题就是：仅仅用圆规和没有刻度的直尺来做一个立方体，使得这个立方体是已知原来的立方体体积的2倍。

由于至今没有人解答，所以它成为了几何学的第二大问题。

第三，三等分角。

这个问题也有一个传说。

据说，在公元前4世纪的时候埃及的亚历山大城是一座著名的繁荣都城。

在城的近郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。

圆形别墅的中间有一条河，公主居住的屋子正好建在圆心处。

别墅的南北墙各开了一个门，河上建有一座桥。

桥的位置和北门、南门恰好在一条直线上。

国王每天赐给公主的物品，从北门送进，先放到位于南门的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。

从北门到公主的屋子，和从北门到桥，两段路恰好是一样长。

公主还有一个妹妹小公主，国王也要为她修建一座别墅。

而小公主提出，自己的别墅也要修得和姐姐的一模一样。

小公主的别墅很快动工了。

可是工匠们把南门建好后，要确定桥和北门的位置的时候，却发现了一个问题：怎样才能使北门到居室、北门到桥的距离一样远呢？最终工匠们发现，要想要相等的距离，就必需先要解决三等分的这个问题，只要问题可以解决，就能确定桥和北门的位置。

于是工匠们尝试用直尺和圆规作图法定出桥的位置，但过了很久，都没有得到解决，无奈之下，他们只好去请教当时最著名的数学家阿基米德。

阿基米德看到这个问题，想了
很久。

他在直尺上做上了一点固定的标记，便轻松地解决了这一问题。

大家都非常佩服他。

不过阿基米德却说，这个问题没有被真正解决。

因为一旦在直尺上作了标记，等于就是为它做了刻度，这在尺规作图法中是不允许的。

于是这个问题在两千年来一直困扰着无数的数学家，直到一百多年前，德国数学家克莱因做出了一个无可置疑的证明：只用直尺和圆规，是不可能解决这三个难题的。

也就是说，这个问题到目前为止都还没有得到真正的解决。

第四讲：巴霍姆的故事
托尔斯泰，是俄罗斯最伟大的作家之一，是世界著名的文学家。

但他并不是喜欢文学，他对数学也非常的喜欢，而且还提过很多有趣的数学问题。

小朋友，你们知道托尔斯泰吗？他是俄罗斯最伟大的作家之一，也是世界著名的大文豪。

“巴霍姆的故事”是一篇文章里的故事。

故事的内容为巴霍姆想买一块地，见到了一位酋长，就询问地的价钱。

酋长说：“我们的价钱是统一的，每天1000卢布。

”
“每天？土地怎么可能用“天”来丈量？“巴霍姆以为自己听错了。

当然，我们出卖是论天卖的，你一天能多少地方，那些地方就都归你了，无论你走多少，价钱都是1000卢布。

但有一个条件，那就是你不能在日落之有回到出发点，你的钱就白花了。

”酋长说道。

巴霍姆想只要自己走得够快，走得够多，就一定可以得到更多的土地，于是他愉快地答应了酋长的要求。

他于酋长约定，第二天早上从太阳升起时算起，自己开始走，只要太阳下山以前回到出发的地点，那么，所走的地方就都归他了。

第二天天不亮，巴霍姆和酋长来到了草原上的一个土丘旁。

酋长摘下自己的帽子，扔在地上，说：“这就是记号，你从这儿走出去，还得走回这儿来。

能走多少，围出的土地就给你多少。

”太阳刚刚升起，巴霍姆就扛起耙子出发了。

他健步如飞，一口气走出了5俄里，他抬头看了看太阳，大概到了吃早饭的时候。

但他想：“先不忙拐弯，再走5俄里吧。

”于是他又往前走了5俄里，觉得这一边走得差不多了，于是向左边拐去。

在这面也走了很多路，他又拐了第二个弯。

走了一阵，巴霍姆看看太阳，已经是中午，第三条边只走了2俄里，而到出发点还要走15俄里。

巴霍姆想：“该往回走了，不然日落前就赶不到出发的地方了！”他便一直向土丘走去，这时他已经很累了，但是仍然不能停下，他跑了起来，终于，在日落前的一霎那，他跑回了土丘，他终于看到了那个狐皮帽子，他用尽最后的力气，向前扑倒，两手刚好够到了帽子。

只是很可惜他并没有得到他所走出的土地，为什么呢？因为他已经累死了。

那大家知道不知道巴霍姆走出了多少土地？从故事中，我们就可以知道他走了一个四边形。

第一条边是5＋5＝10俄里。

第二条边和第一条边互成直角，但是没有给出长度，我们可以设为X俄里。

第三条边为2俄里，第四条边为15俄里，从这些条件我们可以知道巴霍姆从A，到B，到C，再到D，最后回到A，走了一个直角梯形。

如果我们知道BC边的长度，就可以算出整个直角梯形的面积。

根据勾股定理，得出DE＝12.69俄里，那么梯形ABCD的面积S＝12.69×2＋1/2×12.69×8＝76.14（平方俄里）。

那么巴霍姆走过的总路程也能求出，是10＋12.69＋2＋15＝39.69（俄里），约等于40俄里。

其实，巴霍姆走出的40俄里，如果合理，那么还可以走出更大的一块面积，为什么？
我们知道，周长是在四边形之中的，而且正方形的面积是最大的。

如果巴霍姆走出一个边长各为10俄里的正方形的话，那么他走出土地的面积则为10×10＝100（平方俄里），比他所走出的要多出24平方俄里。

走到累死，但没有获得最多土地，巴霍姆还真是可怜啊！如果他稍微懂些数学，也不会这么冤枉吧！
问题：周长是在四边形之中的，而且正方形的面积是最大的,你知道为什么吗？
第五讲：黄金分割
说起黄鑫分割，大部分的人认为起源于毕达哥拉斯。

据说，在古希腊的一天，毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。

他发现铁匠打铁节奏很有规律，于是毕达哥拉斯将这个声音的比例以数理的方式表达了出来，后来还用于了多个领域。

黄金分割又称黄金律，是指各事物各部一定的数学比例，就是将一个整体一分为二，这两部分较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。

0.618被公认为最具有审美意义的比例数字，这个比例最能引起人的美感比例，因此称之为黄金分割。

黄金分割其比值是5/21/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。

另一侧则是35/2。

这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：
1/0.618=1.618
(10.618)/0.618=0.618
这个数值是标准的黄金分割，这个数值用之广泛，它不仅是体现在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，还体现于管理、工程设计等方面。

怎么做黄金分割点呢？我们可以从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。

例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。

那斐波那契数列与黄金分割是什么关系？经过多方研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随着序号的增加逐渐趋于黄金分割比。

即f(n)/f(n+1)→0.618…。

由于斐波那契数都是整数，两个整数相除的商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。

但如果继续我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现后面相邻两个数的比会非常接近黄金分割比。

而且我们还有一个例子更能说明这个问题。

那就是我们大家都熟知的五角星/正五边形。

五角星非常漂亮，我国的国旗有五颗，还有不少的国家的国旗也用五角星，为什么呢？那是因为，五角星的几条线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，而且正五边形对角线连满后所出现的三角形，也都是符合黄金分割三角形。

黄金分割三角形还有一个特殊性。

我们知道，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形却是可以用5个与其本身全等的三角开生成与其本身相似的三角形。

由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18。

所以利用线段上的两个黄金分割点就很容易做出五角形和正五边形。

黄金分割在文艺复兴前后，由阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的广泛欢迎，他们称其为“金法”，在17世纪，有一位欧洲数学家甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。

这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。

而在我国，对于“黄金分割”的记载虽然没有古希腊早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。

经考证，欧洲的比例算法是源于我国，然后经过印度再由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。

由于黄金分割的比值能够引起人们的美感，所以在日常生活中运用的非常广泛。

无论是在建、文艺、工农业和科学实验中它都起到了重要的作用。

动手：让我们一起永圆规直尺来画一个五角星吧
第六讲：染色问题
【知识讲解】
我们把要求作出或者证明存在满足某种染色性质的点列、格点、直线、四边形区域和图形等问题叫做染色问题。

把用染色作为一种数学工具去分析问题、解决问题的思维方法叫做染色方法。

染色问题是一类与抽屉原理和图论知识联系在一起的数学问题。

根据染色的对象（点、线段或区域）不同，我们把它分为点染色、线段染色和区域染色三类。

不论是哪类染色问题，它们大都围绕同色点或同色三角形展开分析讨论。

染色问题处理数学问题的思维模式为：通过对点、线或区域进行合理的染色，建立原问题的染色模型，然后对染色模型进行研究，获得原问题的解。

【典型例题讲解】
例1 证明：在任何6个人中，总有3个人相互认识或者互不认识。

解:把这六个人看作六个点，分别编号为1，2，3，4，5，6。

如果两个人认识（问题中认定认识都是相互的），那么就在两个点间连一条红色的直线 ，如果噢两个人不认识，那么就在两个点间连一条蓝色的线。

对于编号为1的这个点，从它出发有五条线，那么必有一种颜色的直线占了其中的三条以 上，不妨设是蓝色的直线，连接的点是2，3，4.
而2 3 4三个点之间相连有3条线，如果有一条为蓝色，比如2-3，那么1-2-3就是一个同 色三角形，即1，2，3这三个人互相不认识。

如果2 3 4三个点之间的3条线都不是蓝色，那么2-3-4就是同色三角形，即2，3，4这三 个人互相不认识。

所以命题成立。

2 2 ﹡ ﹡ ╱│╲ ╱│╲ ╱ │ ╲ ╱ │ ╲ ╱ │ ╲ ╱ │ ╲ 1﹡───│───﹡4 1﹡───│───﹡4 ╲ │ ╱ ╲ │ ╱ ╲ │ ╱ ╲ │ ╱ ╲│╱ ╲│╱ ﹡ ﹡
3 3
例2 图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路 相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?
解：不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等.
例3下图是由4个小方格组成的“L”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地
拼成一个4⨯n的长方形,试证明:n一定是偶数.
解：如图,对4⨯n长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L形纸片所占的方格只有两类:第
3白1黑.
设第一类有a个,第二类有b个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b+a=3a+b,即a=b,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n是偶然.
例4能否用一个田字和15个4⨯1矩形覆盖8⨯8棋盘?
解：如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个4⨯1的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个4⨯1的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个4⨯1的矩形不能复盖8⨯8的棋盘.
n个。