2017数学(理)一轮教学案：第二章第4讲 二次函数与幂函数

第4讲二次函数与幂函数
考纲展示命题探究
1二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标．
(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x 轴交点的横坐标．
2二次函数的图象与性质
y min＝4ac－b2
4a y max＝
4ac－b2
4a
注意点解决二次函数问题应用数形结合思想
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”．它们常结合在一起，而二次函数又是其核心．因此，利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略.
1．思维辨析
(1)形如y＝ax2＋bx＋c的函数一定是二次函数．()
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是4ac－b2
4a.()
(4)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k
＝±
2
2.()
(5)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝
f(3)＝2.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×
2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]．若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 C
解析函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2；当x＝1时，f(x)的最大值为f(1)＝3＋a＝3－2＝1，选C.
3．(1)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数
a 的取值范围是________．
(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为______．
答案 (1)(0,8) (2)⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤1，3127 解析 (1)由题意知，Δ＝(－a )2－8a <0，解得0<a <8. (2)∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数， ∴其定义域[a －1,2a ]关于原点对称， ∴即a －1＝－2a ，∴a ＝1
3， ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数， 即f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，
∴f (x )＝13x 2
＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23，
其值域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪⎪⎪
1≤y ≤3127.
[考法综述] 高考中以考查二次函数的图象、单调性、最值为主，有二次不等式恒成立问题以及二次方程根的分布问题等．
命题法 二次函数的图象及性质的应用
典例 (1)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .
其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③
D ．①③
(2)已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值
总大于0，则x 的取值范围是( )
A ．1<x <3
B ．x <1或x >3
C ．1<x <2
D ．x <2或x >3
[解析] (1)因为图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；
对称轴为x ＝－1，即－b
2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误； 结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．
(2)f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)．记g (a )＝(x －2)a ＋(x 2
－4x ＋4)，由题意可得
⎩⎨
⎧
g (－1)>0，g (1)>0，
即
⎩⎨
⎧
g (－1)＝x 2－5x ＋6>0，g (1)＝x 2－3x ＋2>0，
解得x <1或x >3.故选B.
[答案] (1)B (2)B
【解题法】 二次函数问题的求解策略
(1)二次函数的最值问题一般先配方，通过对称轴，开口方向等特征求得，有时需要讨论，如动轴定区间问题和定轴动区间问题．
(2)与二次函数图象有关的问题采用数形结合的方法，需尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚．
1.如果函数f (x )＝1
2(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18
C ．25 D.812
答案 B
解析 由已知得f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8，又对任意的x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2，
f ′(x )≤0，所以⎩⎨⎧
f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫12≤0
f ′(2)≤0
，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≥0，n ≥0m ＋2n ≤182m ＋n ≤12，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴
影部分所示，
令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0，当n ≠0时，m ＝t
n .由线性规划的相关知识知，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝t
n 相切时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧
－t n 2＝－12
6－12n ＝t
n
，
解得n ＝6，t ＝18，所以(mn )max ＝18，选B.
2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )
A ．a >0,4a ＋b ＝0
B ．a <0,4a ＋b ＝0
C ．a >0,2a ＋b ＝0
D ．a <0,2a ＋b ＝0
答案 A
解析 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b
2a ＝2，
∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.
3．两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )
答案 D
解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b
2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b 2a 与－a
2b 同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧，只有D 满足．故选D.
4．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，π2上是减函数，则a 的
取值范围是________．
答案 (－∞，2]
解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈
⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2
＋at ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1上是减函数，结合抛物线图象可知，a 4≤1
2，所以a ≤2.
5.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．
答案 2或－1
解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，在x ∈[0,1]时， 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .
根据已知条件得，⎩⎨
⎧
a ≥1，a ＝2
或⎩⎨
⎧
0<a <1，a 2－a ＋1＝2
或⎩⎨
⎧
a ≤0，1－a ＝2.
解得a ＝2或a ＝－1.
6．对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5
c 的最小值为________．
答案 －2
解析 设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，由已知得关于b 的方程(t －b )2
－b (t －b )＋4b 2－c ＝0有解，即6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0有解．
故Δ＝9t 2－24(t 2－c )≥0，所以t 2≤8
5c ，
所以|t |max ＝210c 5，此时c ＝58t 2，b ＝14t ，2a ＝t －b ＝3t
4，所以a ＝3t 8.
故3a －4b ＋5c ＝8t －16t ＋8
t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－1t
＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t －122
－2≥－2. 7．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．
答案 (0,1)∪(9，＋∞)
解析 在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y ＝a |x －1|的图象，由图知，当a ＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a <0时，两图象没有交点，故必有a >0.
若曲线y ＝－x 2－3x (－3≤x ≤0)与直线y ＝－a (x －1)(x ≤1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0得a ＝1(a ＝9舍去)，因此当0<a <1时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点；
若曲线y ＝x 2＋3x (x >0)与直线y ＝a (x －1)(x >1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0可得a ＝9(a ＝1舍去)，因此当a >9时，
f(x)的图象与y＝a|x－1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．
1幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数．
2五种幂函数图象的比较
3幂函数的性质比较
注意点α的大小对幂函数图象的影响
幂函数在第一象限的图象中，以直线x＝1为分界，当0<x<1时，α越大，图象越低(即图象越靠近x轴，可记为“指大图低”)；当x>1时，α越大，图象越高(即图象离x轴越远，不包含y＝x0).
1．思维辨析
(1)函数y＝2x 1
2
是幂函数．()
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()
(3)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．()
(4)当n>0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．()
(5)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．()
答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×
2．当x∈(1，＋∞)时，下列函数中图象全在直线y＝x下方的增函数是()
A．y＝x 1
2
B．y＝x2
C．y＝x3D．y＝x－1
答案 A
解析y＝x2，y＝x3在x∈(1，＋∞)时，图象不在直线y＝x下方，排除B、C，而y＝x－1是(－∞，0)，(0，＋∞)上的减函数．
3．已知f (x )＝x 12
，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )
A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1b
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1b <f (b )<f (a )
C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a
D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1b <f (b )
答案 C
解析 因为函数f (x )＝x 1
2 在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1
b <1
a ，故选C.
[考法综述] 考查幂函数的概念、图象及性质，以及利用幂函数性质求参数范围，有时会结合指数、对数比较大小，难度不大．
命题法 幂函数的图象及性质的应用
典例 (1)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )
(2)若a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 23 ，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫15 23 ，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 1
3
，则a ，b ，c 的大小关系是
( )
A ．a <b <c
B ．c <a <b
C ．b <c <a
D ．b <a <c
[解析] (1)因为a >0，所以f (x )＝x a 在(0，＋∞)上为增函数，故A 不符合；在B 中，由f (x )的图象知a >1，由g (x )的图象知0<a <1，矛盾，故B 不符合；在C 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知a >1，矛盾，故C 不符合；在D 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )
的图象知0<a <1，相符．
(2)因为y ＝x 23 在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 23 >b ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
15 23 ，因为y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 23 <c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 13
，所以b <a <c .
[答案] (1)D (2)D
【解题法】 幂函数的图象与性质问题的解题策略 (1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．
(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．
1．若幂函数f (x )的图象经过点⎝
⎛⎭⎪⎫
3，33，则其定义域为( )
A ．{x |x ∈R ，且x >0}
B ．{x |x ∈R ，且x <0}
C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}
D ．R
答案 A
解析 设f (x )＝x α，∴3α＝33，α＝－12，f (x )＝x －1
2， ∴其定义域为{x |x >0}，选A 项．
2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
A ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 2
，③y ＝x 12
，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12
，④y ＝x －1
C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12
，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 12
，③y ＝x 2，④y ＝x －1 答案 B
解析 ②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项C 、D.①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A.选B.
3．若f (x )＝x 23 －x － 12
，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 令y 1＝x 23 ，y 2＝x － 12 ，则f (x )<0即为y 1<y 2.函数y 1＝x 2
3
，y 2＝x － 12 的图象如图所示，由图象知：当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0,1)．
4.已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.
答案 －1 解析
由已知得⎩⎨
⎧
m 2－m －1＝1，
－5m －3>0，
解得m ＝－1.
已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2
－ax ＋a
2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，2
[错解]
[正解] 二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝a
2，又x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2
－ax ＋a
2>0恒成立，即f (x )最小值>0.
①当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (－1)＝1＋a ＋a 2>0，解得a >－23，与a ≤－2矛盾；
②当a 2≥1，即a ≥2时，f (1)＝1－a ＋a
2>0，解得a <2，与a ≥2矛盾；
③当－1<a
2<1，即－2<a <2时，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＝14a 2－12a 2＋a 2>0，解得0<a <2.
综上得实数a 的取值范围是(0,2)．
[答案] A [心得体会]
………………………………………………
………………………………………………
时间：60分钟
基础组
1.[2016·冀州中学周测]已知幂函数f (x )＝(n 2
＋2n －2)x n
2－3n
(n ∈Z )
的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
答案 B
解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.
2．[2016·冀州中学热身]若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在
第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )
答案 A
解析 函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c 图象的顶点坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎪
⎫－b 2
，4c －b 24，则－b 2>0.f ′(x )＝2x ＋b ，令f ′(x )＝0，得x ＝－b
2>0，即导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，且斜率为正，故选A.
3．[2016·枣强中学周测]定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )
A ．－116
B ．－1
8 C ．－14 D ．0
答案 A
解析 设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)∴当x ＝－32时，取到最小值为－116.
4. [2016·冀州中学预测]对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.
设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )
A ．(－2,1)
B ．[0,1]
C ．[－2,0)
D ．[－2,1)
答案 D
解析 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3.所以f (x )
＝⎩⎨
⎧
x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).
其图象如下图实线所示，由图可知，当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.
5．[2016·衡水中学期末]幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( )
A ．(－2，＋∞)
B ．[－1，＋∞)
C ．[0，＋∞)
D ．(－∞，－2)
答案 C
解析 因为函数过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f (x )＝x 2，单调增区间为[0，＋∞)，选C.
6．[2016·武邑中学期中]设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f (x )的图象不可能是( )
答案 D
解析 由A 、B 、C 、D 四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2.因为a ＝c ，所以x 1x 2＝c
a ＝1，比较四个选项，可知选项D 的x 1<－1，x 2<－1，所以D 不满足．故选D.
7. [2016·衡水中学期中]已知函数f (x )＝a sin x －12cos2x ＋a －3a ＋1
2(a ∈R ，a ≠0)，若对任意x ∈R 都有f (x )≤0，则a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－32，0 B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(0,1] D ．[1,3]
答案 C
解析 化简函数得f (x )＝sin 2
x ＋a sin x ＋a －3
a .令t ＝sin x (－
1≤t ≤1)，则g (t )＝t 2
＋at ＋a －3
a ，问题转化为使g (t )在[－1,1]上恒有
g (t )≤0，即
⎩⎪⎨⎪⎧
g (－1)＝1－3a ≤0，
g (1)＝1＋2a －3a ≤0，
解得0<a ≤1，故选C.
8．[2016·枣强中学猜题]若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( )
A ．f (x )＝－x 2－x －1
B ．f (x )＝－x 2＋x －1
C ．f (x )＝x 2－x －1
D ．f (x )＝x 2－x ＋1
答案 D
解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得 故⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝－1，
c ＝1，
则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.
9．[2016·衡水中学月考]“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a
2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
10．[2016·武邑中学周测]已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足条件：
①f (3－x )＝f (x )；②f (1)＝0；③对任意实数x ，f (x )≥14a －12恒成立． 则其解析式为f (x )＝________. 答案 x 2－3x ＋2
解析 依题意可设f (x )＝a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －322＋k ，
由f (1)＝14a ＋k ＝0，得k ＝－1
4a ， 从而f (x )＝a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －322－a 4≥14a －12恒成立，
则－a 4≥14a －1
2，且a >0，
即14a ＋a 4－1
2≤0，即a 2－2a ＋14a ≤0，且a >0，∴a ＝1. 从而f (x )＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －322－14＝x 2－3x ＋2. 11．[2016·冀州中学月考]已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式． 解 ∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2，∴可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b .∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4，∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)．又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，
∴⎩⎨⎧
4a ＋b ＝02a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
b ＝－2
.
∴f (x )＝1
2(x ＋2)2－2.
即f (x )＝12x 2
＋2x －1.
12．[2016·衡水中学周测]已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a ，b 的值；
(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a .
①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎨
⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，
∴⎩⎨
⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，
∴⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝0.
②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎨
⎧
f (3)＝2，
f (2)＝5，
∴⎩⎨
⎧
9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，
∴⎩⎨⎧
a ＝－1，
b ＝3.
∴a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，
即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2. 若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m ＋2
2≥4，∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log 26.故m 的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．
能力组
13.[2016·枣强中学一轮检测]已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )
A ．先减后增
B ．先增后减
C ．单调递减
D ．单调递增
答案 D
解析 当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数；当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增，故选D.
14．[2016·武邑中学模拟]函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )<0，则a 的取值范围是( )
A ．a ≤0
B ．a <－4
C ．－4<a <0
D ．－4<a ≤0
答案 D
解析 当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )<0； 当a ≠0时，∵f (x )在R 上恒有f (x )<0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a <0a 2＋4a <0
，∴－4<a <0. 综上可知：－4<a ≤0.
15．[2016·冀州中学预测]当0<x <1时，函数f (x )＝x ，g (x )＝x ，h (x )＝x －2的大小关系是________．
答案 h (x )>g (x )>f (x )
解析 如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．
16．[2016·枣强中学周测]是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．
解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.
当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，
∴⎩⎨
⎧
f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2
⇒a ＝－1(舍去)；
当－1≤a ≤0时，⎩⎨
⎧
f (a )＝a －a 2＝－2，
f (1)＝1－a ＝2
⇒a ＝－1；
当0<a ≤1时，
⎩⎨
⎧
f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2
⇒a 不存在；
当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，
∴⎩⎨
⎧
f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝－2
⇒a 不存在．
综上可得a ＝－1.。