直角三角形中的射影定理 - 副本

X
O
方法二：（射影定理）
问题3.在三棱锥P-ABC中，棱PA，PB，
PC两两垂直
（1）点 P在平面 ABC上投影为 H，求证： 1 1 1 1 PH 2 PA2 PB 2 PC 2 （2）求证：S2 ABC
S 2PAB S 2PBC S 2PAC
P
（3）设平面 PAB，PBC，PAC与底面 ABC所成角分别为：，， ， 则求证：COS 2 COS 2 COS 2 1
点和线段的正射影简称射影.
2. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90 °， CD ⊥ AB 于点 D ；
AD （1） 直角边AC在斜边AB上的射影_______ ，直角边BC在斜 BD 边AB上的射影是________.
ABC ∽ CBD ABC ∽ ACD ；____________ （2）图中相似三角形有_____________ ；
（2）由ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1）知 A C BC
2 2

AD BD
AC 2 AD AB BC 2 BD AB
E D
又 CD AD, DE AC 由射影定理得：
AD AC 2 9 2 BD BC 16
B
AD2 AE AC
同理可得： BD
2
C
F 故

AD AE AC AC 4 2 BD BF BC BC
C
A D H B
总结反思

1. 本课学习知识是： 射影定理；用符号语言： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D,则有
AD· B AD· AB BC 2 _______ BD· AB . CD 2 _______; AC 2 _______;
D

2．在双垂图中计算和证明常用方法有：
___, ___, ___ A' B B' C C' A ABC ∽A ' B ' C ' AB AC BC k B ' C ' A ' B ' A' C'

AB AC BC ABC ∽ A' B' C ' ③A ' B' C ' ' B' A' C
ACD∽ CBD _____________.
CD BD AC AB BC AB （3）由此可得: CD AD AD AC BD BC AC² =AD· AB （4）请将以上比例式写为等积式分别为__________________;
BC² =BD· AB CD² =AD· BD ________________;__________________.
三边对应成比例，两三角形相似


A A' 90___ __________ ④__________

AB BC RtABC ∽ Rt A' B' C ' A ' B ' B ' C ' __________ __________ ___
直角边和斜边对应成比例， 两直角三角形相似
直角三角形射影定理

（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形 中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比 例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中项.
符号语言：
ACB 90 , CD AB CD 2 AD BD AC 2 AD AB BC 2 BD AB


问题1 如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.
3 AC AE （2）若DE ⊥AC于点E，DF ⊥BC于点F，求证： 3 BC BF
（1）如两直角边AC,BC的长度比为AC:BC=3:4,求AD:BD的值。
A
解：（1） AC BC, CD AB 由射影定理得：
射影定理 勾股定理 面积法
课后作业：

1. 如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD⊥AB于点D，CD=5,AD=12,求BD, AB,AC,BC 的长.
C
B
D
A

2. 如图所示，AD是BC的中垂线，过C作CE⊥AC
交AD的延长线于E.

求证： AB 2 AD AE
安徽省泗县第一中学
鲍金凤

a c ad bc _______ 1. b d
2.性质：
a b 2 b ac _______ b c


3.判定方法 ： ① __________ _ ABC ∽ A' B' C ' 两角对应相等，两三角形 相似 __________ _ ② __________ _ 两边对应成比例及其夹角 ABC A ' B ' C ' ∽ AB AC 相等，两三角形相似 __________ _ A' B ' A' C '
2
BF 4 BC
AC 3 AE BC 3 BF
x 6 y 8 25 问题2：如图，圆M的方程： 直线L1为过点P（-1，9）圆M切线，切点为A， 直线L2是过点P和圆心的一条直线，过A点作L2 的垂线，垂足为C，求MC的长。
2 2
Y
L1
A
P(-1,9) C M L2
A
A′ B′ C′
B
C
·
A点留在 直线上 的正射 影是A′.
· ·
线段AB 在直线L 上的正射 影是A′B′.
点在直线上的正射影（正投影）：
从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影 . ·
线段在直线上的正射影：
过线段AB的两个端点分别作直线L的垂线，垂足A′,B′之间的线段 A′B′叫做线段AB在直线L的正射影.