2020年广东省佛山市三水中学附中中考数学二模试卷(含答案解析)

2020年广东省佛山市三水中学附中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.−3
4
的倒数是()
A. 4
3B. −4
3
C. 3
4
D. −3
4
2.马鞍山市长江大桥预期投资70.78亿元，其中70.78亿用科学记数法表示为()
A. 70.78×108
B. 7.078×108
C. 7.078×109
D. 7.078×1011
3.如图，是由7个完全相同的小正方体组成的几何体．则下列4个平面图形中，
不是这个几何体的三视图的是()
A.
B.
C.
D.
4.为丰富学生课余活动，某校开展校园艺术节十佳歌手比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成
绩如表：
成绩(分)9.409.509.609.709.809.90
人数235431
则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是()
A. 9.70，9.60
B. 9.60，9.60
C. 9.60，9.70
D. 9.65，9.60
5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
6.下列运算中，正确的是()
A. a+2a=2a2
B. a6÷a3=a2
C. (−3a3)2=9a6
D. (a+2)2=a2+4
7.不等式组{3x−1<2x
1
4
x≤1的解集在数轴上表示正确的是()
A. B.
C. D.
8.将一副直角三角板如图放置，已知AE//BC，则∠AFD的度数是()．
A. 75°
B. 50°
C. 60°
D. 45°
9.关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()
A. m≤
B. m<
C. m≥
D. m>
10.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D为AB中点，连接CD，动点
P、Q从点C同时出发，点P沿BC边由C向B以2acm/s的速度运动；点Q沿CA由C向A以acm/s 的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，以CQ，CP为边作矩形CQMP，当矩形CQMP 与△CDB重叠部分的图形是四边形时，设重叠部分图形的面积为y(cm2).P、Q两点运动时间为t(s)，y与t的图象如图2所示．则a，m的值分别为()
A. a=1，m=3
2B. a=2，m=3
2
C. a=1，m=3
D. a=2，m=6
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11.因式分解：m2n−9n=______．
12.一个正数x的两个平方根分别是a+2和a−4，则a=______，x=______．
13.若a−b=1，则代数式2a−2b+2的值为______．
14.如图，AB、CD是⊙O的直径，DE为⊙O的一条弦，已知∠AOC=45°，
∠CDE=30°，则∠BDE的度数为______ ．
15.如图，弹性小球从点P(0,3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反
弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，点P2019的坐标是______．
16.如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半
径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部
分面积是______ (结果保留π)．
17.如图，点A(1,n)和点B都在反比例函数y=k
x
(x>0)的图像上，若
∠OAB=90°，OA
AB =2
3
，则k的值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）
18.计算：√48−|−3|+(1
2018
)−1−4cos30°
19.先化简，再求值：(3x+4
x2−1−2
x−1
)÷x+2
x2−2x+1
，其中x=−3．
20.已知，如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，连接CE．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不必写出作法)；以点A为顶点，AB为一边作∠FAB=∠CEB，AF
交CD于点F；
(2)求证：AF=CE．
21.19.某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白
板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．
(1)求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？
(2)根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电
子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？
22.向阳中学为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，调查者随机抽取若干名学生，调查他们一
周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表(图).根据图表信息，解答下列问题：
频率分布表
(1)填空：a=______，b=______，m=______，n=______；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)阅读时间不低于5小时的6人中，有2名男生、4名女生．现从这6名学生中选取两名同学
进行读书宣讲，求选取的两名学生恰好是两名女生的概率．
23.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
(1)求AB的长；
(2)把△ABC沿着直线AD翻折，使得点C落在AB边上E处，求折
痕AD的长．
24.如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，
以O为圆心，OC为半径作圆O
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)已知AO交圆O于点E，延长AO交圆O于点D，tan∠D=1
，
2
的值；
求AE
AC
(3)如图2，在(2)条件下，若AB与⊙O的切点为点F，连接CF交AD于点G，设⊙O的半径为
3，求CF的长．
25.如图，已知抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A和点B(2,0)，与y轴交于点C，且AO=
2BO．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点Q是抛物线上的一动点，连接CQ交AB于点P，过点P作PE//AC，交BC于点E，
①求△PCE面积的最大值及此时点P的坐标；
②是否存在Q，使∠PEC=∠APC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．直接利用倒数的定义分析得出答案．
解：∵−3
4×(−4
3
)=1，
∴−3
4的倒数是：−4
3
．
故选：B．
2.答案：C
解析：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：将70.78亿用科学记数法表示为：7.078×109．
故选C．
3.答案：B
解析：
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的画法是解题关键．根据三视图的定义判断即可．解：A选项的平面图形是左视图，C选项的平面图形是主视图，D选项的平面图形是俯视图，
只有B选项的平面图形不是该几何体的三视图．
故选B．
4.答案：B
解析：
本题主要考查众数和中位数.根据中位数和众数的定义解答．第9和第10个数的平均数就是中位数，9.60出现的次数最多．
解：在这一组数据中9.60是出现次数最多的，故众数是9.60，
而这组数据处于中间位置的那两个数是9.60和9.60，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9.60．
故选B．
5.答案：C
解析：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6.答案：C
解析：解：A、a+2a=3a，故此选项错误；
B、a6÷a3=a3，故此选项错误；
C、(−3a3)2=9a6，故此选项正确；
D、(a+2)2=a2+4a+4，故此选项错误．
故选：C．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握运算法则是解题关键．
7.答案：C
解析：解：{3x −1<2x①14
x ≤1②， 由①得：x <1；
由②得：x ≤4，
则不等式组的解集为x <1，
表示在数轴上，如图所示
故选：C ．
求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
8.答案：A
解析：
本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．本题主要根据直角尺各角的度数及三角形内角和定理解答．
解：∵∠C =30°，∠DAE =45°，AE//BC ，
∴∠EAC =∠C =30°，∠FAD =45−30=15°，
在△ADF 中根据三角形内角和定理得到：∠AFD =180°−90°−15°=75°．
故选A ．
9.答案：B
解析：
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m 的不等式，求出m 的取
值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−3)2−4×1×m>0，
∴m<9
4
．
故选：B．
10.答案：D
解析：解：由图象得：当t=6
5
时，点M落在AB边上，如图1所示，
CP=6
5×2a=12a
5
，CQ=6
5
a，
∵△BPM∽△BCA，
∴PM
CA =BP
BC
，即
6
5
a
6
=8−
12
5
a
8
，
解得：a=2，
根据题意得，当QM过点D时，t=m，如图2所示，
∵点D为AB中点，DQ//BC，
∴点Q为AC中点
∴t=3a，
∴m=6．
故选：D．
根据图象可知，当t=6
5
时，点M落在AB边上，根据△BPM∽△BCA，得到比例式，计算求出a，根据点D为AB中点，DQ//BC，求出m．
本题考查的是动点问题的函数图象、相似三角形的判定和性质，正确读懂函数图象、正确运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
11.答案：n(m+3)(m−3)
解析：解：m2n−9n
=n(m2−9)
=n(m+3)(m−3)．
故答案为：n(m+3)(m−3)．
先提取公因式n，再根据平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12.答案：1；9
解析：解：根据题意得：a+2+a−4=0，
解得：a=1，
则x=(1+2)2=9．
故答案为：1；9．
根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出x 的值．
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
13.答案：4
解析：解：∵a−b=1，
∴2a−2b+2=2(a−b)+2=2×1+2=4，
故答案为：4．
先变形，再代入求出即可．
本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．
14.答案：37.5°
解析：解：如图，连接OE，
∵∠CDE=30°，
∴∠COE=60°，
∵∠AOC=45°，
∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=75°，
∴∠BDE=1
2
∠BOE=37.5°
故答案为：37.5°．
先求出∠BDE所对弧所对的圆心角的度数，再转化成同弧所对的圆周角即可．
此题是圆周角定理题目，主要考查了邻补角，圆周角定理，解本题的关键是求出∠BOE，此题也可以连接AD直接用直径所对的圆周角是直角来计算．
15.答案：(8,3)
解析：解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点(0,3)，∵2019÷6=336…3，
当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为(8,3)，
故答案为：(8,3)．
动点的反弹与光的反射入射是一个道理，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2016除以6得到336，且没有余数，说明点P 第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，因此点P的坐标可求出．
此题主要考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
16.答案：2π
解析：解：根据题意得，S阴影部分=S扇形BAD−S半圆BA，
∵S
扇形BAD =90π⋅42
360
=4π，
S
半圆BA =1
2
⋅π⋅22=2π，
∴S
阴影部分
=4π−2π=2π．
故答案为2π．
根据题意有S 阴影部分=S 扇形BAD −S 半圆BA ，然后根据扇形的面积公式：S =nπR 2360和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可． 此题考查了扇形的面积公式：S =
nπR 2360，其中n 为扇形的圆心角的度数，R 为圆的半径)，或S =1
2lR ，l 为扇形的弧长，R 为半径． 17.答案：2.
解析：
本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形相似是解决问题的关键．
过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AC 于D ，则∠ACO =∠BDA =90°，OC =1，AC =n ，先判定△AOC∽△
BAD ，即可得到AD =32，BD =32n ，进而得出B(1+32n,n −32)，依据k =1×n =(1+32n)(n −3
2)可得到n 的值，即可得到k 的值．
解：如图，
过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AC 于D ，
则∠ACO =∠BDA =90°，OC =1，AC =n ，
∵∠BAO =90°，
∴∠CAO +∠BAC =∠ABD +∠BAC =90°，
∴∠CAO =∠DBA ，
∴△AOC∽△BAD ，
∴AD OC =BD
AC
=AB OA ，即AD 1=BD n =32， ∴AD =32，BD =32n ，
∴B(1+32n,n −3
2)，
∵k =1×n =(1+32n)(n −32)， 解得n =2或n =−0.5(舍去)，
∴k =1×2=2，
故答案为2．
18.答案：解：原式=4√3−3+2018−4×√
32 =4√3−3+2018−2√3
=2015+2√3．
解析：直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19.答案：解：原式=[3x+4−2(x+1)
(x+1)(x−1)]⋅(x−1)2
x+2
=x +2(x +1)(x −1)⋅(x −1)2x +2
=x−1
x+1，
当x =−3时，原式=−3−1−3+1=2．
解析：先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20.答案：(1)解：如图所示：
(2)证明：由(1)得：∠FAB =∠CEB ，
∴AF//CE ，又在▱ABCD 中，CF//AE ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AF =CE ．
解析：(1)根据作一个角等于已知角的方法作∠FAB =∠CEB 即可；
(2)首先根据平行线的判定可得AF//CE ，再根据平行四边形的性质可得CF//AE ，然后证明四边形AECF 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF =CE ．
此题主要考查了基本作图和平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行且相等． 21.答案：解：(1)设购买一台电子白板需x 元，一台台式电脑需y 元，
根据题意得：{x −2y =30002x +3y =27000
, 解得：{x =9000y =3000
． 答：购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元．
(2)设需购买电子白板a 台，则购买台式电脑(24−a)台，
根据题意得：24−a ≤3a ，
解得：a ≥6，
设总费用为w 元，
则w =9000a +3000(24−a)=6000a +72000，
∵6000>0，∴w 随a 的增大而增大，
∴a =6时，w 有最小值．
答：购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱．
解析：本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出关系式．
(1)先设购买一台电子白板需x 元，一台台式电脑需y 元，根据购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元列出方程组，求出x ，y 的值即可；
(2)先设需购买电子白板a 台，则购买台式电脑(24−a)台，根据台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍列出不等式，求出a 的取值范围，再设总费用为w 元，根据一台电子白板和一台台式电脑的价格列出w 与a 的函数解析式，根据一次函数的性质，即可得出最省钱的方案．
22.答案：(1)15；60；0.25；0.2；
(2)补全频数分布直方图如下：
(3)用X、Y表示男生、A、B、C、D表示女生，
画树状图如下：
由树状图知共有30种等可能结果，其中选取的两名学生恰好是两名女生的结果数为12，
所以选取的两名学生恰好是两名女生的概率为12
30=2
5
．
解析：
本题考查读频数(率)分布表的能力和利用图表获取信息的能力．利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：各小组频数之和等于数据总数；各小组频率之和等于1；频率=频数÷数据总数；概率=所求情况数与总情况数之比．(1)根据阅读时间为1≤x<2的人数及所占百分比可得，求出总人数b=60，再根据频率、频数、总人数的关系即可求出m、n、a；
(2)根据数据将频数分布直方图补充完整即可；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到两名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：(1)∵本次调查的总人数b=9÷0.15=60，
∴a=60−(9+18+12+6)=15，
则m=15
60=0.25、n=12
60
=0.2，
故答案为：15、60、0.25、0.2；
(2)见答案；
(3)见答案．
23.答案：解：(1)∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=√62+82=10；
(2)根据折叠可得：∠C=∠AED=90°，AC=AE=6，CD=ED，则BE=
4，
设CD=DE=x，则DB=8−x，
∵DE2+EB2=DB2，
∴(8−x)2=42+x2，
解得：x=3．
∵AD2=AC2+CD2，
∴AD=√62+32=3√5．
解析：(1)在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长；
(2)首先根据折叠的性质可得∠C=∠AED=90°，AC=AE=6，CD=ED，则BE=4，设CD=DE=x，则DB=8−x，根据勾股定理得出DE2+EB2=DB2，即(8−x)2=42+x2，求出x=3.然后在Rt△ADC中利用勾股定理即可求出AD的长．
该题主要考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理，牢固掌握翻折变换的性质是解题的关键．24.答案：(1)证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切线；
(2)解：如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴AE
AC =CE
CD
，
∵tan∠D=CE
CD =1
2
，
∴AE
AC =1
2
；
(3)由(2)可知：AE
AC =1
2
，
∴设AE=x，AC=2x，∵△ACE∽△ADC，
∴AE
AC =AC
AD
，
∴AC2=AE⋅AD，
∴(2x)2=x(x+6)，
解得：x=2或x=0(不合题意，舍去)，∴AE=2，AC=4，
∴AO =AE +OE =2+3=5，
如图，连接CF 交AD 于点M ，
∵AC ，AF 是⊙O 的切线，
∴AC =AF ，∠CAO =∠OAF ，
∴CF ⊥AO ，
∴∠ACO =∠CMO =90°，
∵∠COM =∠AOC ，
∴△CMO∽△ACO ，
∴OC OM =OA OC ，
∴OC 2=OM ⋅OA ，
∴OM =95，
∴CM =√OC 2−OM 2=√32−(95)2=
125， ∴CF =2CM =245．
解析：(1)由于题目没有说明直线AB 与⊙O 有交点，所以过点O 作OF ⊥AB 于点F ，然后证明OC =OF 即可；
(2)连接CE ，先求证∠ACE =∠ODC ，然后可知△ACE∽△ADC ，则AE AC =CE CD ，而tan∠D =CE CD =12，即可求解；
(3)连接CF 交AD 于点M ，由(2)可知，AC 2=AE ⋅AD ，先求出AE ，AC 的长，则AO 可求出，证△CMO∽△ACO ，可得OC 2=OM ⋅OA ，求出OM ，CM ，则CF =2CM 可求解．
本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解方程，圆的切线判定，切线长定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线才能解决问题． 25.答案：解：(1)∵B(2,0)，AO =2BO ，
∴AO =4，A(−4,0)，
将A(−4,0)、B(2,0)代入y =ax 2+bx −4，
解这个方程组，得{a =12b =1
∴此抛物线的解析式：y =12x 2+x −4；
(2)①设P(m,0)，则BP =2−m ，AB =6，S △ABC =12
∵PE//AC ， ∴△BPE∽△BAC ，
∴S △BPE
S △ABC =(BP AB
)2=(2−m 6)2=(2−m )236， ∴S △BPE =13(2−m )2，
∵S △BPC =12(2−m )×4=4−2m ，
∴S △PCE =S △BPC −S △BPE =(4−2m )−13(2−m )2=−13m 2−23m +83=−13(m +1)2+3
∴当m =−1时，△PCE 面积的最大值为3，此时P(−1,0)；
②存在，Q(−8,20).理由如下：
∵PE//AC ，
∴∠EPC =∠ACP ， ∵∠PEC =∠APC ，
∴∠PAC =∠PCB ，
∴△BAC∽△BCP ，
∴BC BA =BP BC ，
B(2,0)，A(−4,0)，C(0,−4)，
∴BC =2√5，AB =6，
∴2√5
6=2√5， ∴BP =103，P (−4
3,0)， ∴CQ 解析式为y =−3x −4，
联立{y =−3x −4y = 1 2 x 2+x −4,解得x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=−8，
∴y=20，
∴Q(−8,20)．
解析：本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数相关知识是解题的关键，是一道函数综合题．
(1)根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)①通过S△PCE=S△BPC−S△BPE计算；②根据题意易得△BAC∽△BCP，然后根据相似比例求出BP 的值，进而求出P的坐标和PQ解析式，再与二次函数解析式联立求出Q的坐标．。