贵州省贵阳清镇高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案(无答案)新人教A版必修4
导学案1：3.1.1 两角差的余弦公式
必修四第3章 三角恒等变形3．1.1 两角差的余弦公式教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：应用两角差的余弦公式求三角函数值2、难点：应用两角差的余弦公式求三角函数值[知识要点]．两角差的余弦公式cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ[预习自测]1、(易)tan 2tan 3αβ==,则tan()αβ-=( )A.7-B.15 C.15- D.17-2、(易)设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( ) A.15 B.75 C.75- D.15- 3、(易)sin110sin 40cos 40cos70+等于( )A.12- C.12D.4、(中)0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( )A.16B.8C.4D.25、(中)13sin10sin 80-的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.146、(中)sin 1212ππ的值是( )B. D.-12 [归纳反思]能力提升 7、(易)已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________. 8、(中)若tan()24πα+=,则212sin cos cos ααα=+____________.9、(中)0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________. 10、(中)化简:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦. 11、(中)已知44απ3π<<,0＜β＜4π,cos(4π+α)=－53,sin(43π+β)=135, 求sin(αβ+)的值.参考答案预习自测: 1.D tan tan 23tan()1tan tan 123αβαβαβ---==++⨯=17- 2.A ∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=, 原式cos sin sin )44ααππ-=431cos sin 555αα-=-= 3.B 原式cos 40cos 70sin 40sin(18070)=+- cos 40cos70sin 40sin 70=+=3cos(4070)cos(30)2-=-=4.C 0000(1tan 21)(1tan 24)2,(1tan 22)(1tan 23)2++=++=,更一般的结论045,(1tan )(1tan )2αβαβ+=++=,5.C 原式cos103sin10sin10cos10-=()2sin 301041sin 202-= 6.B 原式=12sin cos 212212⎛⎫ππ- ⎪⎝⎭=2sin 2sin 1234πππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭能力提升 7.10 由3sin5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α===, 于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πππ432525⎛⎫=-- ⎪⎝⎭= 8.23 由1tan tan()241tan αααπ++==-,得1tan 3α= ∴212sin cos cos ααα=+2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13ααααααα++==++∵0000000tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-000020tan 40tan 20tan 40=+,即原式10.解:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ = ()()()1sin cos sin sin 2αβααβααβα+-++-+-⎡⎤⎣⎦= ()()()()()1sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2αβααβααβααβααβα+-+++-+++⎡⎤⎣⎦ =()()sin cos cos sin αβααβα+-+=()sin αβα+-=sin β11.解:∵4π＜α＜4π3, ∴2π＜4π+α＜π.又cos(4π+α)=－53, ∴sin(4π+α)=54. 又∵0＜β＜4π, ∴4π3＜4π3+β＜π.又sin(4π3+β)=135, ∴cos(4π3+β)=－1312, ∴sin(α+β)=－sin ［π+(α+β)］=－sin ［(4π+α)+(4π3+β)］ =－［sin(4π+α)cos(4π3+β)+cos(4π+α)sin(4π3+β)］ =－［54×(－1312)－53×135］=6563.。
3.1.1两角差的余弦公式教学设计
第三章 三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式主备教师:杨宝贵一、内容及其解析本节的内容是《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
这一部分的知识是在之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
学习这一部分的内容的关键是要理解透前面的知识，进而推导这三个公式，教科书中给出了推导公式的过程，都是借助前面的知识推导而得。
学习这一部分的内容要熟悉各个公式及其推导过程，并熟悉他们内在联系。
二、目标及其解析（一）目标定位（1)了解两角差的余弦公式的推导过程.（2）掌握两角差的余弦公式的应用.（二）目标解析(1)余弦公式:C αβ-（）简记（2）要熟记两角差的余弦公式的结构特征。
三、问题诊断分析在本节主要存在的问题是学生难以理解余弦公式推导过程。
产生这一个问题的原因是学生前面学习的知识没有掌握好，忘记了正弦与余弦之间存在的一些关系。
这样老师只能是边讲边回顾，尽可能让学生理解，最后达到应用的效果。
四、教学支持条件分析的一般模式在本节课的教学中为了增加教学容量准备使用多媒体辅助教学。
五、教学过程问题 一：如何用角α、β的正弦、余弦值来表示cos()αβ+呢？设计意图:直接提出问题,让学生明确目标.师生活动:以以下小问题串的形式完成.小问题1：你认为cos()cos cos αβαβ-=-吗？结论：不妨以特例作验证，容易发现cos30cos(6030)cos60cos30︒=︒-︒≠︒-︒因此cos()cos cos αβαβ-≠-。
小问题2：你认为要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？结论： 由于这里涉及的是三角函数的问题，是α-β 这个角的余弦问题，所以可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的知识。
高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦高一数学教案
3.1.1 两角和与差的余弦(1)两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. (2)两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. 思考：cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？ [提示] 不成立． 1．思考辨析(1)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsinβ.( )(2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.( ) (3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )(4)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2α.( )[解析] 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确． [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．cos 75°＝________；cos 15°＝________. 6－246＋24[cos 75°＝cos(30°＋45°) ＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝6－24.cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝6＋24.]3．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________． 32[cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32.]两角和与差余弦公式的简单应用 【例1】 求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．思路点拨：从所求式子的形式、角的特点入手，化简求值． [解] (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32.(2)原式＝cos15°－8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos45°＋sin 60°sin 45°＝2＋64.(3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.(4)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用．1．求下各式的值(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；(2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°.[解] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36° ＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12.已知三角函数值求角【例2】 已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值．思路点拨：先求出cos α，sin β，再利用两角和的余弦公式求出cos(α＋β)，最后由α＋β的范围确定α＋β的值．[解] 因为α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010，所以cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π.因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4.已知三角函数值求角，一般分三步： 第一步：求角的某一三角函数值该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围； 第三步：根据角的范围写出所求的角.2．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．[解] 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.给值求值问题 [探究问题]1．角“α＋β”“β”及“α”间存在怎样的等量关系？ 提示：α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α.2．已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？ 提示：由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．【例3】 已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<3π2，π2<β<π，求cos(α－β)．思路点拨：由sin α求cos α；由sin β求cos β后套用公式求值．[解] ∵sin α＝－45，π<α<3π2，∴co s α＝－1－sin 2α＝－35.又∵sin β＝513，π2<β<π，∴cos β＝－1－sin 2β＝－1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665.且π<α<2π，0<β<π2，求cos(α－β)．[解] ∵sin β＝513，0<β<π2，∴cos β＝1－sin 2β＝1213.又sin α＝－45，且π<α<2π，①当π<α<3π2时，cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665；②当3π2<α<2π时，cos α＝1－sin 2α＝35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665. 综上所述，cos(α－β)＝－5665或1665.2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－45，π<α<3π2，cos(α－β)＝1665，π2<β<π.求sin β.＝－5，且<2，＝－1－sin 2α＝－5.又∵2<－2，∴0<＝65，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16652＝6365，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1665＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×6365＝－1213，∴sin β＝1－cos 2β＝513.公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．教师独具1．本节课的重点是两角和与差的余弦公式，难点是公式的推导及应用．2．要掌握两角和与差的余弦公式的三个应用 (1)解决给角求值问题． (2)解决给值(式)求值问题． (3)解决给值求角问题．3．本节课的易错点是：利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误．1．cos 15°＝( )A ．cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°B ．cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°C ．cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°D ．cos 45°sin 30°－sin 45°cos 30°B [cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°.]2．cos 105°＋sin 195°＝________.2－62 [cos 105°＋s in 195°＝cos 105°＋sin(105°＋90°)＝cos 105°＋cos 105° ＝2cos(135°－30°)＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22×32＋22×12＝2－62.]3．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．－210 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35 ＝－210.]4．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°.[解] 原式＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4(1)
3.1.1 两角差的余弦公式1.公式C(α-β)的推导是本节的难点:(1)结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;(2)探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其讨论线索进行探索,然后再作反思,予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则).其中完善的过程既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.2.学习本节内容的要求是:经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用,强调掌握数学公式,应用公式解决相关问题.3.本节的教学重点是两角差的余弦公式的应用,主要涉及两角差的余弦公式的正用、逆用和变形应用、直接求三角函数式的值或结合向量进行综合命题.1.已知角α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,求β-α的值.解:由已知得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β,将两式分别平方,然后相加得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1.∴sin2β-2sin βsin α+sin2α+cos2α-2cos αcos β+cos2β=1,即cos βcos α+sin βsin α=.∴cos(β-α)=.又∵α,β,γ∈,且sin γ=sin β-sin α>0,∴0<β-α<,∴β-α=.2.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈.(1)求sin θ和cos θ的值;(2)若sin(θ-φ)=,0<φ<,求cos φ的值.解:(1)∵a⊥b,∴sin θ-2cos θ=0.∵θ∈,sin2θ+cos2θ=1,∴sin θ=,cos θ=.(2)∵0<φ<,0<θ<,∴-<θ-φ<.∵sin(θ-φ)=,∴cos(θ-φ)=.∴cos φ=cos[θ-(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)=.3.设向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,求β-α.解:2a+b=(2cos α+cos β,2sin α+sin β),a-2b=(cos α-2cos β,sin α-2sin β).∵|2a+b|=|a-2b|,∴|2a+b|2=|a-2b|2.∴(2cos α+cos β)2+(2sin α+sin β)2=(cos α-2cos β)2+(sin α-2sin β)2.∴4+4cos αcos β+4sin αsin β+1=1-4cos αcos β-4sin αsin β+4.∴8cos αcos β+8sin αsin β=0.∴cos(β-α)=0.又0<α<β<π,∴0<β-α<π.∴β-α=.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式知识巧解学案新人教A版必修.doc
3.1.1 两角差的余弦公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角差的余弦公式1.推导方法1(向量法)：把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究.如图3-1-2，设α、β的终边分别与单位圆交于点P 1(cos α,sin α),P 2(cos β,sin β)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只需考虑0≤α-β＜π的情况.图3-1-2设向量a =1OP =(cos α,sin α)，b =2OP =(cos β,sin β)，则ab =|a |·|b |·cos(α-β)=cos(α-β);另一方面，由向量数量积的坐标表示有a ·b =cos αcos β+sin αsin β，所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.于是对于任意的α、β都有上述式子成立.图3-1-3推导方法2(三角函数线法)：设α、β、α-β都是锐角，如图3-1-3，角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠POx=α-β；过点P 作PM⊥x 轴于M ，则OM 即为α-β的余弦线.在这里，我们想法用α、β的三角函数线来表示OM ；过点P 作PA⊥OP 1于A ，过点A 作AB⊥x 轴于点B ，过点P 作PC⊥AB 于点C ，则OA 表示cos β，AP 表示sin β，并且∠PAC=∠P 1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcos α+APsin α=cos βcos α+sin βsin α,即cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.2.公式的结构特征记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.3.两角差的余弦公式C α-β的应用(1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数值表示出来.(2)已知角α、β的弦函数值，求cos(α-β)的值.由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，只需求得α、β的正弦值与余弦值即可.其中sin α、cos α，sin β、cos β都是同角的三角函数关系.(3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式.(4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos 30°=21. 误区警示 和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(α±β)≠cos α±cos β. 典题•热题知识点一 已知角α、β的三角函数值，求cos(α-β)的值例1 已知sin α=1715，α∈(2π,π),求cos(3π-α)的值. 思路分析：由于3π是特殊角，根据cos(3π-α)的展开式，只需求出cos α的值即可. 解：∵sin α=1715,α∈(2π,π)，∴cos α=178)1715(1sin 122-=--=--α. ∴cos(3π-α)=cos 3πcos α+sin 3πsin α=348315171523)178(21-=⨯+-⨯. 例2 已知sin α=1312，cos β=53-，α、β均为第二象限角，求cos(α-β). 思路分析：由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，还需求出cos α、sin β. 解：由sin α=1312，α为第二象限角，∴cos α=135)1312(1sin 122-=--=--α. 又由cos β=53-，β为第二象限角， ∴sin β=54)53(1cos 122=--=-β. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=6563541312)53()135(=⨯+-⨯-. 方法归纳 若所求角能用已知角表示出来，则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值表示出来，因此合理进行角的变换是解题的关键.例3 求函数y=cosx+3sinx 的周期、最值及取得最值时x 的集合.思路分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.解：y=cosx+3sinx=2(21cosx+23sinx)=2(cosxcos 3π+sinxsin 3π)=2cos(x-3π). 所以所求周期为2π. 当x-3π=2k π,k∈Z ，即{x|x=3π+2k π,k∈Z }时，y max =2； 同理,可知当{x|x=-32π+2k π,k∈Z }时，y min =-2. 例4 已知cos α+cos β=53,sin α+sin β=54，求cos(α-β)的值. 思路分析：由于两角和、差的余弦公式与同名的两个三角函数的积有关，根据条件，将其平方后即可构造出同名的三角函数之积的形式.解：将cos α+cos β=53,sin α+sin β=54的两边分别平方并整理，得 cos 2α+cos 2β+2cos αcos β=259,sin 2α+sin 2β+2sin αsin β=2516. 把上述两式的两边分别相加，得2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1,即cos(α-β)=21-. 方法归纳 要牢记C α-β的展开式的特点，着眼于式子结构形式的变换是解好本题的关键. 知识点二 利用两角差的余弦公式证明三角恒等式例5 利用差角余弦公式证明下列等式：(1)cos(π-α)=-cos α； (2)cos(23π-α)=-sin α. 思路分析：直接利用差角余弦公式展开，利用特殊角的三角函数值化简证明.证明：(1)cos(π-α)=cos πcos α+sin πsin α=-cos α+0·sin α=-cos α; (2)cos(23π-α)=cos 23πcos α+sin 23πsin α=0·cos α-1·sin α=-sin α. 例6 证明3cos α+sin α=2cos(6π-α). 思路分析：由于右边是我们熟悉的两角差的余弦形式，所以可从展开右边入手，把复角的三角函数转化成两单角的三角函数的形式.证明：∵右边=2(cos 6πcos α+sin 6πsin α)=3cos α+sin α=左边， ∴原式成立.知识点三 逆用两角差的余弦公式化简三角函数式例7 化简下列各式：(1)cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α；(2)cos50°cos20°+cos40°sin20°.思路分析：逆用两角差的余弦公式化简的关键是观察题目的特点，从整体出发，利用诱导公式，转化成两角差的形式.逆用公式求值是一种常见思路.解：(1)原式=cos ［(α+β)-α］=cos β；(2)原式=cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos30°=23. 方法归纳 通过对变换对象和变换目标进行对比、分析，逐步学会如何根据题设与结论的特点选择公式、变形公式，从而找到两者间的联系是我们学习的关键，为此可从角的角度、函数名称的角度及式子结构形式的角度入手去分析解决问题.问题•探究思想方法探究问题 在三角恒等变换中，角的变换是解决问题的有效手段，在本节当中，角有哪些变换方法？在解题中如何应用？探究过程:角的代换的实质是根据解题的需要灵活处理角的形式，也就是将单角、倍角的形式变成几个角的和或差，而这些角的和或差在题目中已知，如：若α、β均为锐角，且cos α=71,cos(α+β)=1411-，求cos β的值.如果展开cos(α+β)进行运算则烦琐难解，但若利用β=(α+β)-α代换，也就是cos β=cos ［(α+β)-α］，则解法十分简便，大大降低问题的难度.探究结论:本节涉及角的以下几种变换，在以后解题中常常见到，请你多加注意.常见的角的代换关系有：α=(α+β)-β；α=β-(β-α)；β=(α+β)-α；2α=［(α+β)+(α-β)］；2β=［(α+β)-(α-β)］等.方案设计探究问题 在自然界中，存在着大量的周期函数，研究这些周期函数有利于我们在科学技术中加以应用.两个周期函数合成后，是否还是周期函数？如果是周期函数，那么函数的类型是否发生了改变?比如两个正弦电流i 1=3sin(100πt+3π)和i 2=sin(100πt-6π)合成后是否仍是正弦电流呢？类似地，两个声波和光波合成后又是怎样的？探究思路:利用现代信息技术作一研究，可以按下面的程序进行操作，也可以设计其他的研究方案.1.上网搜寻并安装绘图软件；2.分别选取不同的函数y=asinx+bcosx ，猜想你所选取的y=asinx+bcosx 的化简后的类型，再利用绘图工具绘制出其图象，并与y=asinx+bcosx 的图象对比；3.尝试确定猜测的该类型函数中的参变量与y=asinx+bcosx 中a 、b 的关系，得出asinx+bcosx 的化简公式；4.尝试采用不同的方法证明得出的结论，并说明与其相关联的三角变换公式之间的联系；5.利用结论求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅、周期、初相.探究结论:由于两电流分别为i 1=3sin(100πt+3π)，i 2=sin(100πt-6π)， 将它们相加后，可以写成i=i 1+i 2=3sin(100πt+3π)+sin(100πt-6π)， 利用正弦的和角公式S (α+β)，可得到 i=3(sin100πtcos 3π+cos100πtsin 3π)+(sin100πtcos 6π-cos100πtsin 6π).整理得到i=3sin100πt+cos100πt.此式可以写成i=2(23sin100πt+21cos100πt)=2(cos 6πsin100πt+sin 6πcos100πt)=2sin(100πt+6π).这样就得到了一个频率仍然为100π rad/s 的正弦电流(单位：A).。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式的推导思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α ＝2sin αcos α；cos2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α ＝cos 2α－sin 2α； tan2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α(α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z )． 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos2α？答案 cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1； 或cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin2α，sin αcos α＝12sin2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α1－tan 2α＝tan2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α， 1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.1．sin α＝2sin α2cos α2.( √ )2．cos4α＝cos 22α－sin 22α.( √ ) 3．对任意角α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.( × ) 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝π4及α＝π2，上式均无意义.类型一 给角求值 例1 (1)计算：cos2π12－sin 2π12； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 解 原式＝cos π6＝32.(2)计算：1－tan 275°tan75°；考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正切的二倍角公式化简求值解 1－tan 275°tan75°＝2·1－tan 275°2tan75°＝2·1tan150°＝－2 3.(3)计算：cos20°cos40°cos80°. 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值解 原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80° ＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18. 反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 (1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( )A.14B ．－14C.18D ．－18考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 D解析 cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 4π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7＝2sin π7cos π7cos 2π7cos4π72sinπ7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos4π74sinπ7＝sin8π78sinπ7＝－18.(2)12－cos 2π8＝________； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 －24解析 原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2π8＝－12cos π4＝－24.类型二 给值求值例2 (1)若sin α－cos α＝13，则sin2α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 89解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，即sin2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于( )A.6425B.4825C ．1D.1625考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 A解析 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin2α.解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19，∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19，∴sin 2α＝－89.反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 (1)(2017·石家庄高一检测)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( ) A ．－429B ．－229C.229D.429考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利有二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 A解析 因为sin(π－α)＝13，所以sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. (2)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案2425解析 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35>0， 所以α＋π6为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×45×35＝2425.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425. 类型三 利用二倍角公式化简证明 例3 (1)化简：1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 解 方法一 原式＝－cos 2θ＋sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θθ＋cos θ2cos θθ＋sin θ＝tan θ.方法二 原式＝θ＋cos θ2－2θ－sin 2θθ＋cos θ2＋2θ－sin 2θ＝θ＋cos θθ＋cos θ－θ－sin θθ＋cos θθ＋cos θ＋θ－sin θ＝2sin θ2cos θ＝tan θ.(2)求证：4sin αcos α1＋cos2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan2α. 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边． 反思与感悟 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等． 跟踪训练3 α为第三象限角，则1＋cos2αcos α－1－cos2αsin α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 答案 0解析∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0，∴1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝2cos2αcosα－2sin2αsinα＝－2cosαcosα－－2sinαsinα＝0.1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos2x 等于( )A ．－14B.14C ．－18D.18考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的余弦值 答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.故选D.2．sin15°sin75°的值是( ) A.12B.32C.14D.34考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 C解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14.3．sin4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C.12D.32考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 B 解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 4.3tanπ81－tan2π8＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正切的二倍角公式化简求值 答案 32解析 原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝32tan π4＝32. 5．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n 是α2n ＋1的二倍(n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos2α2；③1－cos2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos2α2.一、选择题1．已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin2α等于( )A ．－1213B.1213C ．－120169D.120169考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 D解析 由α是第三象限角，且cos α＝－513，得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169，故选D.2．(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α等于( )A ．－79B ．－29C.29D.79考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin2α＝169，∴sin2α＝－79.故选A.3．已知α为锐角，且满足cos2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 因为cos2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12， 所以α＝30°.故选D.4．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724B ．－724C.247D ．－247考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 D解析 由cos x ＝45，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34， 所以tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247，故选D. 5.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2D ．－3cos2考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 原式＝1＋cos 22＋2cos 22－1＝3cos 22＝－3cos2. 6．函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5.7．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α等于( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 A解析 由题意得(sin α＋cos α)2＝13， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－1－49＝－53，故选A. 二、填空题8．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 116解析 原式＝sin6°cos48°cos24°cos12° ＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6° ＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 9．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝________. 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 －247解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210， 得22(sin θ－cos θ)＝210，即sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247.10．若1＋tan α1－tan α＝2018，则1cos2α＋tan2α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 2018解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2018.11．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2 ＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 三、解答题12．(2017·山东青岛城阳一中期中考试)已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠k π2，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 因为sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α； sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.又α≠k π2，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )， 所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.13．化简：＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°， 所以cos α2<0，所以原式＝cos α. 四、探究与拓展14．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________． 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 459解析 设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)化简f (x )；(2)若f (α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 (1)f (x )＝12cos2x －32sin2x －cos2x ＋3sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝17，2α是第一象限角， 即2k π<2α<π2＋2k π(k ∈Z )，∴2k π－π6<2α－π6<π3＋2k π(k ∈Z )， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝437， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6·cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6·sin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案含解析新人教A版必修
学习资料3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1。
1两角差的余弦公式内容标准学科素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算。
直观想象数学运算逻辑推理授课提示：对应学生用书第72页[基础认识］知识点两角差的余弦公式阅读教材P124～127，思考并完成以下问题如何用α，β的正、余弦值来表示cos（α－β）呢?(1）计算下列式子的值,并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝__________；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________；③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________．猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即______________________________．提示：①1＝cos 0°②错误!＝cos 30°③0＝cos 90°④错误!＝cos 60°cos(α－β)cos（α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β（2）单位圆中（如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？错误!与错误!的夹角是多少?提示:A（cos α，sin α）、B(cos β，sin β），∠AOB＝α－β。
(3)错误!·错误!＝________．提示：错误!·错误!＝(cos α，sin α)·(cos β,sin β）＝cos αcos β＋sin αsin β.错误!·错误!＝｜错误!||错误!｜cos∠AOB＝cos（α－β）．知识梳理C(α－β）：cos（α－β）＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β．思考（1）对任意α，β都有cos(α－β）＝cos α－cos β吗？提示：不是．（2)存在α,β∈R,使cos(α－β)＝cosα－cos β吗？提示:存在．[自我检测］1．计算cos错误!cos错误!＋cos错误!sin错误!的值是(）A．0B。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式学案 新人教A版必修4
3.1.1 两角差的余弦公式1.了解两角差的余弦公式的推导过程.(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤.(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.(重点、易混点)[基础·初探]教材整理两角差的余弦公式阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立.( )(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立.( )(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )【解析】(1)×.cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.(2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)√.结论为两角差的余弦公式.(4)√.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0.【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√[小组合作型]利用两角差的余弦公式化简求值(1)cos 345°的值等于( ) A.2－64 B.6－24 C.2＋64D.－2＋64(2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2(3)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)·sin(θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.【精彩点拨】 (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.(2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用. 【自主解答】 (1)cos 345°＝cos(360°－15°) ＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝6＋24. (2)原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝2cos 30°·cos 20°＋2sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝3sin 70°sin 70°＝ 3.(3)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝22，所以原式＝22； ②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32. 【答案】 (1)C (2)C (3)①22 ②321.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.2.两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦. (2)把所得的积相加.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α). 【解】 (1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6＝－⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α) ＝cos[(α－20°)－(α＋40°)] ＝cos(－60°)＝12.已知三角函数值求角已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5143，求β. 【导学号：00680066】【精彩点拨】 本题是已知三角函数值求角的问题.解答此类问题一般先确定所求角的某一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小.【自主解答】 ∵α为锐角，且cos α＝17，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π).又sin(α＋β)＝5143<sin α，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫51432＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12.又β为锐角，∴β＝π3.1.这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解.2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.[再练一题]2.已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值. 【导学号：70512041】【解】 ∵α，β均为锐角， ∴sin α＝55，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.[探究共研型]利用角的变换求三角函数值探究1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ 【提示】 cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.探究2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？【提示】 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β). 探究3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？ 【提示】 cos(α－β)＝2－a 2－b22.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，求cos α的值. 【精彩点拨】 先根据sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45求出cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值，再根据α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4构造两角差的余弦，求出cos α的值.【自主解答】 ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，∴π2<α＋π4<π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－35×22＋45×22＝210.巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求或证明另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和差角，如α＝α－β＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和差角，如2α＝α＋β＋α－β等等.[再练一题]3.设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cosα＋β2的值. 【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527.1.cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A.cos 100° B.sin 100° C.32D.12【解析】 原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32. 【答案】 C2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝( ) A.22 B.12 C.32D.－12【解析】 a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 【答案】 A3.已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( )A.3365 B.－3365C.5475D.－5475【解析】 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A.【答案】 A4.sin 75°＝________. 【解析】 sin 75°＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝6＋24. 【答案】6＋245.已知α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值.【解】 因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π.又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式导学案(无答
3.1.1 两角差的余弦公式一、温故互查：复习1、任意角的三个三角函数是怎样定义的？设角α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么： 则____sin =α；___cos =α; ____tan =α复习2、____________________=⋅b a若已知()11,a x y =r ，()22,b x y =r则____________________=⋅b a复习3、同角三角函数的基本关系式：平方关系：__________________________ 我们已经知道的三角函数值，那么能否利用这两个角的三角函数值来求的三角函数值呢？二、设问导读：（阅读课本P 124——126完成以下问题）： 1.有人认为，你认为正确吗？能否举例说明2.通过对平面向量知识的学习，我们知道利用向量的数量积也可以求角的余弦。
试一试，选择适当的向量，利用向量的数量积探索与的正线、余弦之间的关系。
向量法： 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
结论：两角差的余弦公式：=_______________________________________ 可简记为__________________3.要计算，应做哪些准备？4.公式应用：1、参看例1体会差角余弦公式的应用，并利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）ααπsin )2cos(=-； （2）cos(2)cos παα-=2、阅读例2完成下列练习题练习1.已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈，求)4cos(απ-的值。
练习2.15sin cos 173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值练习3.已知)23,(,32sin ππαα∈-=，)2,23(,43cos ππββ∈=，求)cos(αβ-的值三、自学检测1.cos79cos34sin 79sin34 +=o o o o （） A 12 23B 1C D222 0cos50cos 20sin50sin 20+的值为 （ ） A.12 B. 13333.化简00cos(30)cos sin(30)sin αααα+++=4.若()0000cos60,sin 60,(cos15,sin15)a b ==r r ，则a b •r r =四、能力提升1.已知βα，都是锐角，1411)cos(,71cos -=+=βαα，求βcos 的值。
2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式导学案新人教A版必修4.doc
2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式导学案新人教A 版必修4【学习目标】1.理解用三角函数线或向量方法推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式及其应用.【新知自学】 知识回顾1、三角函数线的有关定义？2、三角函数中，已学习了哪些基本的三角函数公式？ 新知梳理βα,为两个任意角, 你能判断βαβαcos cos )cos(-=-恒成立吗?2、我们设想)cos(βα-的值与βα,的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？ 120=3、试推导上述公式（利用三角函数线）思考感悟βα,适用于任意角吗？2、公式的特点是什么？如何记忆？公式能逆用吗？对点练习cos17等于 （ ）A.cos200cos30-sin200sin30B. cos200cos30+sin200sin30C. sin200sin30- cos200cos30D.cos20 0sin20 0+sin3 0cos3 0【合作探究】 典例精析：例1、利用差角余弦公式求cos15的值.变式练习：1、利用差角余弦公式求︒105cos 的值.变式练习：2、︒75sin =例2、利用两角差的余弦公式证明等式ααπcos )cos(-=-.变式练习：3、利用两角差的余弦公式证明等式ααπsin )2cos(=-.例3、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.变式练习：4、53cos =θ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，则)6cos(πθ-=（ ） A.10433- B. 10433+ C. 5433+ D.23【课堂小结】【当堂达标】1. )15cos(︒-=（ ） A.462- B. 426- C.426+ D. 426+-2.︒︒+︒︒15sin 105sin 15cos 105cos =3.︒︒+︒︒75cos 75sin 75sin 75cos =4. cos(20)cos(40)θθ+︒-︒sin(20)sin(40)θθ++︒-︒ =【课时作业】1.计算︒︒+︒︒25sin 110sin 335cos 70cos 的结果是（ ） A. 1 B. 22 C.23 D.212.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,1312cos παα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos πα=（ ） A.1325 B.26217 C.2627 D.1327 *3.化简x x sin 6cos 2+=（ ） A.)6cos(22x -πB. )3cos(22x -πC. )6cos(22x +πD. )3cos(22x +π*4已知11sin sin ,cos cos ,23αβαβ+=+=则()cos αβ-=*5.已知 0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα，求)cos(βα-的值.6. 已知sin 35α=，8cos ,13ββ=-是第三象限角，求()cos αβ-的值.*7.已知βα,都是锐角， 1411)cos(,71cos -=+=βαα，求β的值.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4
3.1.1 两角差的余弦公式一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
五、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课前准备1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。
2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）创设情景，揭示课题以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。
并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C 点处往该点正对的地面上的A 点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15 （2）0cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案新人教A版
3.1.1两角差的余弦公式课前预习学案一、预习目标预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。
二、预习内容阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题：1. 如何用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-；2. 如何求出0cos15的值;3. 会求0sin 75的值吗？课内探究学案一、学习内容 通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打 好基础。
二、学习过程探究一：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15（2）0000cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？探究二：两角差的余弦公式的推导1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。
②怎样作出角αβ-的余弦线OM③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。
2.向量法：问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
例题整理例1. 利用差角余弦公式求0cos15的值变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）ααπsin )2cos(=-； （2）cos(2)cos παα-=4π52.sin α= α πcos β= - βcos 5213αβ∈-例已知，（，），，第三象限角，求（）的值变式训练：15sin cos 173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值 。
三、反思总结本节主要考察如何用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，回顾公式 C αβ-（） 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角α，β的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.四、当堂检测1.利用两角和（差）的余弦公式，求00cos 75,cos1052.求值 0000cos75cos30sin 75sin 30+3．化简cos()cos sin()sin αββαββ+++14.cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos课后练习与提高一、选择题1. 0000cos50cos 20sin50sin 20+的值为 （ ）A. 12B. 13C. 2D. 3 2. 0cos(15)-的值为 （ ）A. 4B. 4C. 4D 4-.3.已知12cos ,0,132παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则cos()4πα-的值等于（ ）A. 13B. 26C. 26D. 13二、填空题4.化简00cos(30)cos sin(30)sin αααα+++=5.若()0000cos60,sin 60,(cos15,sin15)a b ==，则a b ∙=三、解答题、6.已知233sin ,,cos ,0,3242ππααπβα⎛⎫⎛⎫=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos()αβ-的值.。
3.1.1《两角差的余弦公式》教学案1
第三章三角恒等变换本章教材分析本章知识框图本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一.在本册第一章，学生接触了同角三角函数公式.在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，并体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.本章内容安排按两条线进行，一条明线是建立公式，学习变换；一条暗线就是发展推理能力和运算能力，并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中，也体现在建立公式的过程之中.因此在本章教学中，教师要特别注意恰时恰点地提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，使学生能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换，还包括式子中角的变换，以及不同三角函数之间的变换，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识.突出数学思想方法的教学，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导，本章不仅关注使学生得到和(差)角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法.例如，在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，在这个过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法，特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导，这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极的促进作用.另外，还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结.例如，在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的，2α是α的二倍，4α是2α的二倍，这里蕴含着换元的思想”等，都是为了加强思想方法而设置的.两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热点”，在高考中占有重要的地位，主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用，考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用能力，其考查难度属低档，这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些特殊的变化技巧，应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上.教师在教学中，要注意控制好难度.因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低，但教材中部分习题却有一定难度，因此教师要把握好难度.本章教学时间约需8课时，具体分配如下(仅供参考):3.1《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》3.1.1《两角差的余弦公式》教学案整体设计一、教学分析本节是以一个实际问题做引子，目的在于从中提出问题，引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意，用解直角三角形的知识布列方程的过程中，提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要；②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.本节首先引导学生对cos(α-β)的结果进行探究，让学生充分发挥想象力，进行猜想，给出所有可能的结果，然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程，最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一，利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导，让学生动手画图，构造出α-β角，利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度，教师要作恰当的引导.方案二，利用向量知识探索两角差的余弦公式时，要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用；②结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备；③探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其线索进行探索，然后再反思，予以完善；④补充完善的过程，既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式.本节是数学公式的教学，教师要遵循公式教学的规律，应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来；②使学生认识公式的结构特征，加以记忆；③使学生掌握公式的推导和证明；④通过例子使学生熟悉公式的应用，灵活运用公式进行解答有关问题.二、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质.2．过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.三、重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.四、课时安排 1课时五、教学设想(一)导入新课思路1.(问题导入)播放多媒体，出示问题，让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意，用解直角三角形的知识布列方程的过程中，提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan (45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要；②实际问题中存在研究像sinα与tan (45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.在此基础上，再一般化而提出本节的研究课题进入新课.思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos 45°=22，cos 30°=23，由此我们能否得到c os 15°=cos (45°-30°)=？这里是不是等于cos 45°-cos 30°呢？教师可让学生验证，经过验证可知，我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos (α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案，由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.(二)推进新课、新知探究、提出问题①请学生猜想cos (α-β)=？②利用前面学过的单位圆上的三角函数线，如何用α、β的三角函数来表示cos (α-β)呢？ ③利用向量的知识，又能如何推导发现cos (α-β)=？④细心观察C (α-β)公式的结构，它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题①，出示问题后，教师让学生充分发挥想象能力尝试一下，大胆猜想，有的同学可能就首先想到cos (α-β)=cosα-cosβ的结论，此时教师适当的点拨，然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°，β=30°，则cos (α-β)=cos 30°=23，而cosα-cosβ=cos 60°-cos 30°=231 ，这一反例足以说明cos (α-β)≠cosα-cosβ. 让学生明白，要想说明猜想正确，需进行严格证明，而要想说明猜想错误，只需一个反例即可.问题②，既然cos (α-β)≠cosα-cosβ，那么cos (α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题，是α-β这个角的余弦问题，我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1，设角α的终边与单位圆的交点为P 1，∠POP 1=β，则∠POx =α-β.过点P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，那么OM 就是角α-β的余弦线，即OM =cos (α-β)，这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM .过点P 作P A 垂直于OP 1，垂足为A ，过点A 作AB 垂直于x 轴，垂足为B ，过点P 作P C 垂直于AB ，垂足为C .那么，O A 表示cosβ，A P 表示sinβ，并且∠P AC =∠P 1Ox =α.于是，OM =O B +B M =O B +C P =O A cosa +A Psina =cosβcosα+sinβsinα，所以，cos (α-β)=co sαcosβ+sinαsinβ.教师引导学生进一步思考，以上的推理过程中，角α、β、α-β是有条件限制的，即α、β、α-β均为锐角，且α>β，如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程比较繁琐，由同学们课后动手试一试.图2问题③，教师引导学生，可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢？如图2，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则OA=(cosα，sinα)，OB=(cosβ，sinβ)，∠A O B=α-β.由向量数量积的定义有·=||||·cos(α-β)=cos(α-β)，由向量数量积的坐标表示有·=(cosα，sinα)(cosβ，sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ，于是，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现，运用向量工具进行探究推导，过程相当简洁，但在向量数量积的概念中，角α-β必须符合条件0≤α-β≤π，以上结论才正确，由于α、β都是任意角，α-β也是任意角，因此就是研究当α-β是任意角时，以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈［0，2π)，使cosθ=cos(α-β)，若θ∈［0，π］，则OA·OB=cosθ=cos (α-β).若θ∈［π，2π］，则2π-θ∈［0，π］，且·=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).由此可知，对于任意角α、β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α)-β)此公式给出了任意角α差角的余弦公式，简记为C(α-β).有了公式C(α-β)以后，我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值，就可以求得cos(α-β)的值了.问题④，教师引导学生细心观察公式C(α-β)的结构特征，让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”，右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”，可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆，特别是运算符号，左“-”右“+”.或让学生进行简单填空，如:cos(A-B) =__________，cos(θ-φ)=__________等.因此，只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了.问题⑤，对于公式的正用是比较容易的，关键在于“拆角”的技巧，而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性，特别是变形应用，这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos 75°cos 45°+sin 75°sin 45°=cos (75°-45°)=cos 30°=23， cosα=cos ［(α+β)-β］=cos (α+β)cosβ+sin (α+β)sinβ.讨论结果:①—⑤略.(三)应用示例思路1 例1 利用差角余弦公式求cos 15°的值.活动:先让学生自己探究，对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°，它可以拆分为哪些特殊角的差，如15°=45°-30°或者15°=60°-45°，从而就可以直接套用公式C (α-β)计算求值.教师不要包办，充分让学生自己独立完成，在学生的具体操作下，体会公式的结构，公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学，教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos 15°=cos (45°-30°)=cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° =.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos 15°=cos (60°-45°)=cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°=21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos 15°的值，属于套用公式型的，这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式，灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分，让学生在应用中仔细体会.变式训练1.不查表求sin 75°，sin 15°的值.解:sin 75°=cos 15°=cos (45°-30°)=cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°=.42621322322+=⨯+⨯ sin 15°=ο15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式，比例题有一定的难度，但学生只要细心分析，利用相关的诱导公式，不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos 110°cos 20°＋sin 110°sin 20°.解:原式=cos (110°-20°)=cos 90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉，需要教师加以引导，让学生细心观察，再结合公式C (α-β)的右边的特征，逆用公式便可得到cos (110°-20°).这就是公式逆用的典例，从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54，α∈(2π，π)，cosβ=135-，β是第三象限角，求cos (α-β)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征，联想到刚刚推导的余弦公式，学生不难发现，欲求cos (α-β)的值，必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，然后利用公式C (α-β)即可求解.从已知条件看，还少cosα与sinβ的值，根据诱导公式不难求出，但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时，角α、β所在的象限，准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sinα=54，α∈(2π，π)，得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-，β是第三象限角，得 si nβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos (α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯- 点评:本题是直接运用公式C (α-β)求值的基础练习，但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时，一定要弄清角的范围，准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点，养成良好的学习习惯.变式训练已知sinα=54，α∈(0，π)，cosβ=135-，β是第三象限角，求cos (α-β)的值. 解:①当α∈［2π，π)时，且sinα=54，得cosα=53)54(1sin 122-=--=--a ， 又由cosβ=135-，β是第三象限角，得sinβ=22)135(1cos 1---=--β=1312-. 所以cos (α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-. ②当α∈(0，2π)时，且sinα=54，得 cosα=53)54(1sin 122=-=-a ， 又由cosβ=135-，β是第三象限角，得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos (α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6563)1312(54)135(53-=-⨯+-⨯ 点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0，π)，这样cosα的符号可正、可负，需讨论，教师引导学生运用分类讨论的思想，对角α进行分类讨论，从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.思路2例1 计算:(1)cos (-15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°；(3)sinxsin (x +y )＋cosxcos (x +y ).活动:教师可以大胆放给学生自己探究，点拨学生分析题目中的角-15°，思考它可以拆分为哪些特殊角的差，如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°，然后套用公式求值即可.也可化cos (-15°)=cos 15°再求值.让学生细心观察(2)(3)可知，其形式与公式C (α-β)的右边一致，从而化为特殊角的余弦函数.解:(1)原式=cos 15°=cos (45°-30°)=cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° =.42621222322+=⨯+⨯ (2)原式=cos (15°-105°)=cos (-90°)=cos 90°=0.(3)原式=cos ［x -(x +y )］=cos (-y )=cosy .点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值，从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力，为后面公式的学习打下牢固的基础.例2 已知cosα=71，cos (α+β)=1411-，且α、β∈(0， 2π)，求cosβ的值. 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求，让学生探究α、α+β、β之间的关系，也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到β=(α+β)-α的关系式，然后利用公式C (α-β)求值即可.但还应提醒学生注意由α、β的取值范围求出α+β的取值范围，这是很关键的一点，从而判断sin (α+β)的符号进而求出cosβ.解:∵α、β∈(0，2π)，∴α+β∈(0，π). 又∵cosα=71，cos (α+β)=1411-， ∴sinα=,734cos 12=-a sin (α+β)=.1435)(cos 12=+-βa 又∵β=(α+β)-α，∴cosβ=cos (α+β)cosα+sin (α+β)sinα =.21734143571)1411(=⨯+⨯- 点评:本题相对于例1难度大有提高，但是只要引导适当，学生不难得到β= (α+β)-α的关系式，继而运用公式解决.但值得注意的是α+β的取值范围确定，也是很关键的，这是我们以后解题当中常见的问题.变式训练1.求值:cos 15°+sin 15°.解:原式=22(2cos 15°+22sin 15°)=2(cos 45°cos 15°+sin 45°sin 15°) =2cos (45°-15°)= 2cos 30°=26.2.已知sinα+sinβ=53，cosα+cosβ=54，求cos (α-β)的值. 解:∵(sinα+sinβ)2=(53)2，(cosα+cosβ)2=(54)2， 以上两式展开两边分别相加得2+2cos (α-β)=1，∴cos (α-β)=21-.点评:本题又是公式C (α-β)的典型应用，解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方，从而得到公式C (α-β)中cosαcosβ和sinαsinβ的值，即可求得cos (α-β)的值，本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.3.已知锐角α、β满足cosα=54，tan (α-β)=31-，求cosβ. 解:∵α为锐角，且cosα=54，得sinα=53. 又∵0<α<2π，0<β<2π， ∴-2π<α-β<2π. 又∵tan (α-β)= 31-<0， ∴cos (α-β)=103. 从而sin (α-β)=tan (α-β)cos (α-β)=101-.∴cosβ=cos ［α-(α-β)］=cosαcos (α-β)+sinαsin (α-β) =54×).101(53103-⨯+ =50109.(四)课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程，观察公式的特征，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识；三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导，要正确熟练地运用公式进行解题，在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.(五)作业。
贵州省贵阳清镇高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1
3.3.1 两角差的余弦公式使用说明与学法指导1、认真自学课本，牢记基础知识，弄清课本例题，试完成教学案练习，掌握基本题型，再针对疑问重新研读课本.2、限时完成，书写规范，高效学习，激情投入.3、小组长在课中讨论环节要组织高效讨论，做到互学，帮学。
一、学习目标1预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。
2通过探究得到两角差的余弦公式（重点）3对公式探索过程的理解和运用（难点） 二、问题导学（自学课本后，请解答下列问题）1.如图所示，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则A 点坐标是________________，B 点坐标是______________，向量OA →＝______________，向量OB →＝______________.OA →·OB →＝______________.另一方面OA →·OB →＝|OA →| ·|OB →|·cos∠AOB ＝____________.2．两角差的余弦公式cos(α－β)＝________________________________，简记符号：C (α－β)利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）ααπsin )2cos(=-； （2）cos(2)cos παα-=三、合作探究灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．公式的简单运用例1：求下列各式的值．(1)sin 195°＋cos 105°；(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．变式1：求下列各式的值．(1)cos π12；(2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)sin(x －40°)．给值求值问题例2：设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2.变式2：已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．给值求角问题例3：已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求β的值．变式3：已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值．四、当堂检测1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )A ．cos αB ．cos βC ．cos(2α＋β)D ．sin(2α＋β)2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝54π B ．α＝1312π，β＝34π C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π4，β＝π63．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π64．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－55 B.55 C.11525 D. 55．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( )A.12B ．－32 C.34 D ．16．cos 47°cos 77°－sin 47°cos 167°＝________.7．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.8．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．9．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．五、我的学习总结①知识与技能方面：②数学思想与方法方面：。
贵州省贵阳清镇高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案(无答案)
3.1.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式使用说明与学法指导1、认真自学课本，牢记基础知识，弄清课本例题，试完成教学案练习，掌握基本题型，再针对疑问重新研读课本.2、限时完成，书写规范，高效学习，激情投入.3、小组长在课中讨论环节要组织高效讨论，做到互学，帮学。
一、学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．二、问题导学（自学课本后，请解答下列问题）请思考：两角和公式与二倍角公式有联系吗？试用之前的和、差角公式推导二倍角公式。
与同学谈论其思想或者方法。
阅读教材内容，完成以下公式：1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝ ，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ ；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝ ，sin 2α2cos α＝ ； (2)(sin α±cos α)2＝ ；(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝ （请思考如何变形而来）； (4)1－cos α＝ ， 1＋cos α＝2cos2α2.（请思考如何变形而来） 三、合作探究例1： 求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；变式1：求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8；(2)2cos 25π12－1；(3)tan 30°1－tan 230°例2：已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x<π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．变式2：已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．例3：已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．变式3：已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．四、当堂检测1．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32 2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是3.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x)，则y ＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )4．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.795．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )6．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝ . 7．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2 θ在角α的终边上，点Q(sin 2 θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12. (1)求cos 2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．8．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b. (1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．五、我的学习总结①知识与技能方面： ②数学思想与方法方面：。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式学案(含解析)新人教A版必修4-新人教A
3.1.1 两角差的余弦公式考试标准课标要点学考要求高考要求两角差的余弦公式b b两角差的正弦公式及两角和的正弦、余弦公式 c c两角和与差的正切公式c c 知识导图学法指导本节内容公式较多，需要在理解的基础上进行记忆；试题灵活多样、技巧性强，要多练多总结，如角度之间的联系、公式的逆用及变形应用等都需要总结.两角差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β为任意角状元随笔对两角差的余弦公式的记忆和理解(1)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cosα－cosβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝α＋β2－α－β2等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( ) (3)对任意α，β∈R ，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( ) (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．cos(30°－45°)等于( ) A.22 B.32 C.2＋34 D.2＋64解析：cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝2＋64. 答案：D3．cos 45°·cos 15°＋sin 45°·sin 15°等于( ) A.12 B.32 C.33D. 3 解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 答案：B4．已知cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.解析：因为cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝265. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos α cos π3＋sin αsin π3＝15×12＋265×32＝1＋6210.答案：1＋6210类型一 运用公式化简求值 例1 化简求值：(1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； (2)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.【解析】 (1)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝32. (2)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.(1)由117 °＝180 °－63 °，57 °＝90 °－33 °，利用诱导公式化成同角． (2)利用公式求值． 方法归纳两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．跟踪训练1 求值： (1)cos 15°＝________；(2)cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝________.解析：(1)cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.答案：(1)6＋24 (2)12(1)15 °＝45 °－30 °. (2)利用公式求值． 类型二 给值求值问题例2 已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．【解析】 因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以0<α＋β<π，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365，又sin α＝45，所以cos α＝35，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1665×35＋6365×45＝204325. β看成是β＝(α＋β)－α，从已知条件中求出(α＋β)与α的正、余弦的值，然后运用差角的余弦公式．方法归纳给值求值的解题策略(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎪⎫π4－β等．跟踪训练2 若把本例2中“α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2”改为“α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π”，求cos β的值．解析：因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以π<α＋β<2π，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝－6365，又sin α＝45，所以cos α＝－35，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1665×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－6365×45＝－204325.由α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得α＋β∈(π，2π)，由已知求α＋β，α的正(余)弦值再利用公式求值．类型三 由三角函数值求角 例3 已知cos α＝55，cos(α＋β)＝－1010，且0<β<α<π2，求β的值． 【解析】 因为0<β<α<π2，所以0<α＋β<π， 由cos α＝55，cos(α＋β)＝－1010， 得sin α＝255，sin(α＋β)＝31010，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1010×55＋31010×255＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2所以β＝π4.要求β，因为0<β<π2所以先求cosβ，又cosβ＝cos[(α＋β)－α]再利用公式求值．方法归纳(1)要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时，要根据角的范围确定其符号． 跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且sin α＝255，sin β＝1010，则α－β＝________.解析：因为α，β均为锐角， 所以cos α＝55，cos β＝31010. 所以cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又因为sin α>sin β，所以0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，故α－β＝π4.答案：π4由sinα，sinβ求cosα，cosβ，再利用公式先求cos(α－β)的值，再求α－β的范围，最后求α－β的值．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A ．cos 100° B ．sin 100° C.32 D.12解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32.故选C.答案：C2．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A ．0 B.12C.22 D.32解析：5π12和π12不是特殊角，但5π12＋π12＝π2，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用C α－β求值．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝cos π4＝22.答案：C3．sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－25 B ．－210C ．－7210D ．－725解析：由条件可得cos α＝－45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos α＋22sin α＝22(cos α＋sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－210， 故选B. 答案：B4．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )且a ·b ＝1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：因为a ·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形．故选B.答案：B5．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β等于( ) A.22 B ．－210 C.22或－210 D.22或210解析：因为α，β都是锐角，且cos α＝55， sin(α－β)＝1010， 所以sin α＝1－cos 2α＝255；同理可得cos(α－β)＝31010，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22，故选A. 答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．求值：cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°＝________. 解析：原式＝cos(15°＋105°)＝cos 120°＝－12.答案：－127．计算：cos 555°＝________.解析：cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165° ＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45° sin 30°) ＝－⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12 ＝－6＋24.答案：－6＋248．已知sin α＝1517，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________． 解析：∵sin α＝1517，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫15172＝－817，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－817＋22×1517＝7234. 答案：7234三、解答题(每小题10分，共20分) 9．计算下列各式的值：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θsin θ. 解析：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26° ＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝32. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22.10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453， 所以12cos α＋32sin α＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝45.[能力提升](20分钟，40分)11．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋β2的值为( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69解析：因为0<α<π2，－π2<β<0，所以π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2.又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 答案：C12．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.解析：原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83.答案：8313．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且54π<α<74π，求cos α的值． 解析：因为54π<α<74π，所以32π<α＋π4<2π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4>0， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－1625＝35， 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝35×22＋45×22＝7210. 14．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值． 解析：由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437， 由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又因为cos(α－β)＝1314， 所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π3.。
高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式教案(含解析)高一数学教案
3.1.1 两角差的余弦公式[提示] 不一定成立，这是对公式的误解． 2．两角差的余弦公式的推导在平面直角坐标系中作单位圆O ，以Ox 为始边作α，β，它们的终边与单位圆分别交A ，B ，则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)， ∴OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β， 设OA →与OB →的夹角为θ，则由数量积定义知 OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos θ＝cos θ，∴cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.∵α＝2k π＋β＋θ(如图1)或α＝2k π＋β－θ(k ∈Z )(如图2)，∴α－β＝2k π±θ(k ∈Z )，图1 图2所以cos(α－β)＝cos θ，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． 1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A ．cos 100° B ．sin 100° C ．32D ．12C [原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32.]2．cos(－15°)的值是( ) A ．6－22B ．6＋22C ．6－24D ．6＋24D [cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.]3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ ．12[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.]4．已知α是锐角，sin α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝ ．5＋236 [由条件可求的cos α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12×53＋32×23＝5＋236.]给角求值问题【例1】 (1)cos 12的值为( )A ．6＋24B ．6－24C ．2－64D ．－6＋24(2)求下列各式的值：①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； ③12cos 15°＋32sin 15°. (1)D [cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－cos π4cos π6－sin π4sin π6＝－22×32－22×12＝－6＋24.](2)[解] ①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝3 2 .③12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝2 2 .1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin313°.[解](1)原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos 45°＝2 2 .(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.给值(式)求值问题1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ 提示：cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sinαsin(α－β)．【例2】 (1)已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝( ) A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，求cos α的值．思路点拨：(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C (α－β)求cos(α－β)．(2)由已知角π3＋α与所求角α的关系即α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3寻找解题思路．(1)D [因为sin α－sin β＝1－32，所以sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－322，①因为cos α－cos β＝12，所以cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122， ②由①②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－3＋34＋14所以－2cos(α－β)＝－3， 所以cos(α－β)＝32.](2)[解]∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴π3＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－1－sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.∵α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3，cos α＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin π3＝－513×12＋1213×32＝123－526.]1．将本例(2)的条件改为“sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4”，如何解答？[解]∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，∴π2<α＋π4<π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－35×22＋45×22＝210.2．将本例(2)的条件改为“sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6”，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12的值．[解] ∵π6＜α＜5π6，∴－π2＜π3－α＜π6，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－1213＜0，∴－π2＜π3－α＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1－sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， ∴cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝22×513＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－7226. 给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)．给值求角问题【例3】 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝25，sin β＝1010，则α－β＝(2)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝ ．思路点拨：(1)求α－β的范围→求cos （α－β）值→求α－β(2)明确β范围→利用β＝（α＋β）－α求cos β→确定β的值(1)π4 (2)π3 [(1)∵α，β均为锐角，∴cos α＝55，cos β＝31010.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又∵sin α＞sin β，∴0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2.故α－β＝π4.(2)∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12.∵0＜β＜π2，∴β＝π3.]1．本例(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β”变为“cos β”，α－β的值怎样？[解] ∵α，β均为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝55，sin β＝1－cos 2β＝31010，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.∵sin α＜sin β， ∴0＜α＜β＜π2.∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.2．若本例(2)变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，结果怎样？[解] 由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围而得到错误答案．1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值．(2)确定角所在的范围(找区间)．(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.1．下列命题正确的是( )A ．对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos α－cos βB ．对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cos α－cos βC ．不存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．存在α和β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βD [A 明显不成立；B 中当α＝π4，β＝π2时，等式成立， ∴B 不成立；C 中，当α＝k π或β＝k π时(k ∈Z )等式成立，D 正确，因为当α＝β＝0时，等式成立．]2．cos 50°＝( )A ．cos 70°cos 20°－sin 70°sin 20°B ．cos 70°sin 20°－sin 70°cos 20°C ．cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20°D ．cos 70°sin 20°＋sin 70°cos 20°C [50°＝70°－20°，根据两角差的余弦公式知C 正确．]3．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为 ． 1 [由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.]4．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．[解] 因为sin α＝－45，180°＜α＜270°，所以cos α＝－35. 因为sin β＝513，90°＜β＜180°， 所以cos β＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665.。
高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦教案新人教B新人教B高一数学教案
3.1.1 两角和与差的余弦Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？[提示]依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α＝y 1，cos α＝x1，所以x＝cos α，y＝sin α，即点P坐标为(cos α，sin α)．1．cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为( )A.12B.13C.32D.33A[原式＝cos (22°＋38°)＝cos 60°＝12.]2．化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为( )A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β)C．cos αD．cos βC[原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.]3．cos (－40°)cos 20°－sin (－40°)sin (－20°)＝________.12[原式＝cos(－40°)·cos(－20°)－sin (－40°)·sin(－20°)＝cos[－40°＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.]利用两角和与差的余弦公式化简求值A ．2－64 B ．6－24 C ．2＋64D ．－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. [思路探究] 利用诱导公式，两角差的余弦公式求解． (1)C [cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝6＋24.] (2)解：①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝22，所以原式＝22； ②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32. 1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．1．求下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)． [解] (1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.给值(式)求值【例2】 (1)已知cos α＝5，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，2π，则cos α－3＝________. (2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．[思路探究] (1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3；(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. (1)3－4310 [因为cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，所以sin α＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×32＝3－4310.](2)解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π.又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.(3)求解.结合公式C α±β求解便可.2．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值．[解] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437 ＝12.已知三角函数值求角【例3】 已知α，β均为锐角，且cos α＝25，cos β＝10，求α－β的值．[思路探究] 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．[解] ∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010，∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定． 3．设α，β是锐角，sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3.[证明] 由0<α<π2，0<β<π2，知0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－1114，故sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314. 由sin α＝437，可知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32， ∴β＝π3.利用角的变换求三角函数值1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ [提示] cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. 2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？[提示] cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)． 3．若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？ [提示] cos(α－β)＝2－a 2－b22.【例4】 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( )A ．33B ．－33 C ．539D ．－69[思路探究] 利用角的交换求解，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α －⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2.C [∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2， 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C.] 巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等.4．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cosα＋β2的值．[解] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53， ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.(教师用书独具)对公式C (α－β)和C (α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos α cos β＝sin α sin β. ②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]等. 1．下列式子中，正确的个数为( )①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个A [由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sinα，故②错误，故选A.]2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( )A ．3365 B ．－3365C ．5475D ．－5475A [因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A.]3．sin 75°＝________. 6＋24[sin 75°＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝6＋24.] 4．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，求cos β的值． [解] ∵α，β都是锐角且cos α＝55<12， ∴π3<α<π2， 又sin(α＋β)＝35>12，∴π2<α＋β<π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.。
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3.3.1 两角差的余弦公式
使用说明与学法指导
1、认真自学课本，牢记基础知识，弄清课本例题，试完成教学案练习，掌握基本题型，再针对疑问重新研读课本.
2、限时完成，书写规范，高效学习，激情投入.
3、小组长在课中讨论环节要组织高效讨论，做到互学，帮学。
一、学习目标
1预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。
2通过探究得到两角差的余弦公式（重点）
3对公式探索过程的理解和运用（难点）
二、问题导学（自学课本后，请解答下列问题）
1.如图所示，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则A 点坐标是________________，B 点坐标是______________，向量OA →＝______________，向量OB →＝______________.OA →·OB →＝______________.另一方面OA →·OB →＝|OA →| ·|OB →|·cos∠AOB ＝____________.
2．两角差的余弦公式
cos(α－β)＝________________________________，简记符号：C (α－β)
利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）ααπsin )2cos(
=-； （2）cos(2)cos παα-=
三、合作探究
灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．
公式的简单运用
例1：求下列各式的值．
(1)sin 195°＋cos 105°；(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．
变式1：求下列各式的值．
(1)cos π12
；(2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)sin(x －40°)．
给值求值问题
例2：设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2
.
变式2：已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129
，求cos β的值．
给值求角问题
例3：已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，求β的值．
变式3：已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，α＋
β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，2π，求角β的值．
四、当堂检测
1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )
A ．cos α
B ．cos β
C ．cos(2α＋β)
D ．sin(2α＋β)
2．满足cos αcos β＝32
－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝54π B ．α＝1312π，β＝34
π C ．α＝π2，β＝π6
D ．α＝π4，β＝π6
3．若cos(α－β)＝
55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A.
π6 B.π4 C.3π4 D.5π6
4．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－
55 B.55 C.11525 D. 5
5．若sin α＋sin β＝1－
32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( )
A.12
B ．－32 C.34 D ．1
6．cos 47°cos 77°－sin 47°cos 167°＝________.
7．若cos(α－β)＝13
，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.
8．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114
，α、β均为锐角，求cos β的值．
9．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2
<α＋β<2π，求β的值．
五、我的学习总结
①知识与技能方面：
②数学思想与方法方面：。