数理统计课后答案.

数理统计
一、填空题
1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。

不含任何未知参数
2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为
n
X σ
μ
-
3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。

025.010
1
5u ⨯±
4、假设检验的统计思想是 。

小概率事件在一次试验中不会发生
5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。

0H ：05.0≤p
6、某地区的年降雨量),(~2
σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2
σ的矩估计值为 。

1430.8
7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2
N 与
)1,2(N ， 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2
*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知
)4(~),20(~22
2221χχχχ，则__________,
==b a 。

用
)1(~)1(22
2
*--n S n χσ
，1,5-==b a
8、假设随机变量)(~n t X ，则
2
1
X 服从分布 。

)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2
=≤λX P ，则____=λ 。

用),1(~2
n F X 得),1(95.0n F =λ
10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，
X
为子样均值，而
01.0)(=>λX P ， 则____=λ
01.04)1,0(~1z N n
X
=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2
σμN ，令∑∑==-=16
11
10
1
43i i i i
X X
Y ，则Y 的
分布 )170,10(2σμN
12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2
S 分别是子样均值和子
样方差，令2
*210S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。

)9,1(01.0F =λ
13、如果,ˆ1θ2ˆθ都是母体未知参数θ的估计量，称1ˆθ比2ˆθ有效，则满足 。

)ˆ()ˆ(2
1θθD D < 14、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
σμN ，∑-=+-=1
1
21
2
)(ˆn i i i X X
C σ
是2σ的一
个无偏估计量，则_______=C 。

)
1(21
-n
15、假设子样921,,,X X X 来自正态母体)81.0,(μN ，测得子样均值5=x ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。

025.03
9
.05u ⨯±
16、假设子样10021,,,X X X 来自正态母体),(2
σμN ，μ与2
σ未知，测得子样均值
5=x ，子样方差12=s ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。

025.0025.0025.0)99(),99(10
1
5z t t ≈⨯±
17、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
σμN ，μ与2σ未知，计算得
75.1416116
1
=∑=i i X ，则原假设0H ：15=μ的t 检验选用的统计量为 。

答案为
n
S X *
15
- 二、选择题
1、③下列结论不正确的是 ( )
① 设随机变量Y X ,都服从标准正态分布，且相互独立，则)2(~222χY X +
② Y X ,独立，)5(~)15(~),10(~
222χχχY Y X X ⇒+
③ n X X X ,,21来自母体),(~2
σμN X 的子样，X 是子样均值， 则
∑
=-n
i i n X X 1
22
2
)(~)(χσ
④ n X X X ,,21与n Y Y Y ,,21均来自母体),(~2
σμN X 的子样，并且相互独立，Y
X ,分别为子样均值，则
)1,1(~)()(1
2
1
2
----∑∑==n n F Y Y
X X
n
i i
n
i i
2、④设21ˆ,ˆθθ是参数θ的两个估计量，正面正确的是 ( ) ① )ˆ()ˆ(21θθD D >，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量 ② )ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ为比2
ˆθ有效的估计量 ③ 21ˆ,ˆθθ是参数θ的两个无偏估计量，)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量 ④ 21ˆ,ˆθθ是参数θ的两个无偏估计量，)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量 3、设θˆ是参数θ的估计量，且0)ˆ(>θ
D ，则有 （ ） ① 2
ˆθ
不是2
θ的无偏估计 ② 2ˆθ 是2
θ的无偏估计 ③ 2
ˆθ
不一定是2
θ的无偏估计 ④ 2ˆθ 不是2
θ的估计量 4、②下面不正确的是 （ ）
① ααu u -=-1 ② )()(2
21n n ααχχ-=-
③ )()(1n t n t αα-=- ④ )
,(1
),(1n m F m n F αα=
-
5、②母体均值的区间估计中，正确的是 （ ）
① 置信度α-1一定时，子样容量增加，则置信区间长度变长； ② 置信度α-1一定时，子样容量增加，则置信区间长度变短； ③ 置信度α-1增大，则置信区间长度变短； ④ 置信度α-1减少，则置信区间长度变短。

6、④对于给定的正数α，10<<α，设αu 是标准正态分布的α上侧分位数，则有（ ） ① αα-=<1)(2
u U P ② αα=<)|(|2
u U P
③ αα-=>1)(2
u U P ④ αα=>)|(|2
u U P
7、④某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布20
0200,),,(σμσμN 为已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设 （ ） ① 0H ：0μμ=
1H ：0μμ≠ ② 0H ：0μμ= 1H ：0μμ>
③ 0H ：202σσ= 1H ：202σσ≠ ④ 0H ：202σσ= 1H ：2
02σσ>
8、③测定某种溶液中的水分，由它的9个测定值，计算出子样均值和子样方差%452.0=x ， %037.0=s ，母体服从正态分布，正面提出的检验假设被接受的是 （ ） ① 在α＝0.05下，0H ：%05.0=μ ②在α＝0.05下，0H ：%03.0=μ ③ 在α＝0.25下，0H ：%5.0=μ ④在α＝0.25下，0H ：%03.0=σ 9、答案为①
设子样n X X X ,,21抽自母体X ，m Y Y Y ,,21来自母体Y ，),(~2
1σμN X
),(~2
2σμN Y ，则
∑∑==--m
i i
n
i i
Y
X 12
212
1)()(μμ的分布为
① ),(m n F ② )1,1(--m n F ③ ),(n m F ④ )1,1(--n m F
10、②设n x x x ,,,21 为来自),(~2
σμN X 的子样观察值，2
,σμ未知，∑==n
i i x n x 1
1
则2
σ的极大似然估计值为 （ ）
① ∑=-n i i x x n 12)(1 ② ∑=-n i i x x n 1)(1 ③ ∑=--n i i x x n 12)(11 ④∑=--n i i x x n 1)(11 11、③子样n X X X ,,21来自母体)1,0(~N X ，∑==n i i X n X 11，=2
*S ∑=--n i i X X n 1
2)(11 则下列结论正确的是 （ ） ① )1,0(~N X n ② )1,0(~N X ③
∑=n
i i n X 1
22)(~χ ④
)1(~*-n t S
X
12、①假设随机变量X 100212,,,),2,1(~X X X N 是来自X 的子样，X 为子样均值。

已知
)1,0(~N b X a Y +=，则有（ ）
①5,5=-=b a ②5,5==b a ③51,51-==b a ④5
1,51=-=b a
13、设子样n X X X ,,,21 )1(>n 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2
*S 分别是子样均
值和子样方差，则有（ ）
①)1,0(~N X ②)1,0(~N X n ③
)(~21
2n X
n
i i
χ∑= ④
*S
X 14、④设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
σμN ，X 与2
S 分别是子样均值和子样方
差，则下面结论不成立的是（ ）
①X 与2
S 相互独立 ②X 与2)1(S n -相互独立
③X 与
∑=-n
i i
X X
1
2
2
)(1
σ相互独立 ④X 与
∑=-n
i i
X
1
22
)(1
μσ相互独立
15、③子样54321,,,,X X X X X 取自正态母体),(2
σμN ，μ已知，2
σ未知。

则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）
① X ② μ221-+X X ③ ∑=-5
12
2)(1
i i
X X σ ④∑=-5
1
2)(3
1
i i
X X
16、②设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
σμN ，X 与2
*S
分别是子样均值和子样方
差，则下面结论成立的是（ ）
① ),(~22
12σμN X X - ② )1,1(~)(2
*2
--n F S
X n μ
③
)1(~22
2
-n S χσ ④
)1(~1*
---n t n S X μ
17、答案②设子样n X X X ,,,21 来自母体X ，则下列估计量中不是母体均值μ的无偏估计量的是（ ）。

①X ②n X X X +++ 21 ③)46(1.01n X X +⨯ ④321X X X -+ 18、②假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2σμN 。

母体数学期望μ已知，则下列估计量中是母体方差2
σ的无偏估计是（ ）
①∑=-n i i X X n 12)(1②∑=--n i i X X n 1
2)(11③∑=-+n i i X n 12)(11μ ④∑=--n i i X n 12)(11μ 19、①假设母体X 的数学期望μ的置信度是95.0，置信区间上下限分别为子样函数
),(1n X X b 与 ),,(1n X X a ，则该区间的意义是（ ）
① 95.0)(=<<b a P μ ② 95.0)(=<<b X a P ③ 95.0)(=<<b X a P ④ 95.0)(=<-<b X a P μ
20、②假设母体X 服从区间],0[θ上的均匀分布，子样n X X X ,,,21 来自母体X 。

则未知参数θ 的极大似然估计量θˆ为（ ）② ① X 2 ② )
,,max(1n X X ③ ),,min(1n X X ④ 不存在
21、②在假设检验中，记0H 为原假设，则犯第一类错误是（ ） ① 0H 成立而接受0H ② 0H 成立而拒绝0H ③ 0H 不成立而接受0H ④ 0H 不成立而拒绝0H
22、①假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
σμN ，X 为子样均值，记
=2
1
S ∑=-n i i X X n 12)(1=2
2S ∑=--n i i X X n 1
2)(11 =2
3
S ∑=-n i i X n 1
2)(1μ=2
4S ∑=--n i i X n 12)(11μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）
①
11--n S X μ ②12--n S X μ ③ n S X 3μ- ④ n S X 4
μ
- 每题前面是答案！
三、计算题 1、（1）1－⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛Φ25)54
,12(~N X （2）[]5)1(1Φ- （3）1[]5)5.1(Φ- 设母体)4,12(~N X ，抽取容量为5的子样，求 （1） 子样均值大于13的概率；
（2） 子样的最小值小于10的概率； （3） 子样最大值大于15的概率。

2、解：)5.0,10(~N X )11(≥X P 079.0=
假设母体)2,10(~2N X ，821,,,X X X 是来自X 的一个子样，
X 是子样均值，求
)11(≥X P 。

3、)5.0,10(~N X c X P ≥(）05.0= 16.11=⇒c
母体)2,10(~2
N X ，821,,,X X X 是来自X 的子样，X 是子样均值，若
05.0)(=≥c X P ，试确定c 的值。

4、由
)1,0(~210
N n
X - 所以{}{}
98.0|10|98.1002.9≤-=≤≤X P X P =0.9516=⇒n 设n X X X ,,,21 来自正态母体)2,10(2
N ，X 是子样均值， 满足95.0)98.1002.9(=≤≤X P ，试确定子样容量n 的大小。

5、∑∑====
25
17
2
161
1,i i
i i
X
Y X Y )15,140(~2
21N Y Y -得{
}18221≤-Y Y P 997.0= 假设母体X 服从正态母体)3,20(2
N ，子样2521,,,X X X 来自母体X ,计算
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑∑==18225
17161i i i i X X P
6、（1）178320ˆ,3140ˆ2
==σμ （2）∑==--=n
i i x x n 1
22
198133)(11ˆσ 假设新生儿体重),(~2σμN X ，现测得10名新生儿的体重，得数据如下： 3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260 （1）求参数μ和2
σ的矩估计； （2）求参数2
σ的一个无偏估计。

7、（1）θ+=1EX 故 1ˆ-=X θ
（2）似然函数⎪⎩
⎪⎨⎧=∏=--0);,,,(1)
(21n i x n i e
x x x L θθ 其他θ≥i x n i ,2,1=
1
)
(∑⎩⎨
⎧=--
n
i i x e θ 其他θ≥i x min n i ,2,1=故),,,min(ˆ21n X X X =θ 假设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧=--0)()(θx e x f θθ
<≥x x ，设n X X X ,,,21 来自母体
X 的一个子样，求θ的矩估计和极大似然估计。

8、估计误差||μ-x 的置信区间为)05.0,
05.0(05.005.0u n
u n
-
估计误差||μ-x 04.9601.005.005.0≥⇒≤=n u n
故子样容量n 最小应取97。

在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是05.0秒，为了以95.0的置信度使平均反
应时间的估计误差不超过01.0秒，那么测量的子样容量n 最小应取多少
9、 （1）取检验统计量X n
X
U 101
==
)1,0(~0
N =μ 对05.0=α的水平下， 拒绝域{}{}
62.062.0||96.1||=⇒≥=≥=c X U J α （2）62.01>=x ，故1021,,,x x x αJ ∈，因此不能据此推断0=μ成立 （3）{}
0003.0]1)1015.1(2[115.1||=-Φ-=≥X P 0003.0=⇒α
假设随机变量)1,(~μN X ，1021,,,x x x 是来自X 的10个观察值，要在01.0=α的水平
下检验 0H ：0=μ，1H ：0≠μ 取拒绝域{}
c X J ≥=||α （1）?=c
（2）若已知,1=x 是否可以据此推断0=μ成立？ )05.0(=α
（3）如果以{}
15.1||≥=X J α检验0H ：0=μ的拒绝域，试求该检验的检验水平α。

10、 0H ：2.5=μ，1H ：2.5≠μ 取检验统计量n
X U 12.5-=
)1,0(~2
.5N =μ {}96.1||≥=u J α 答案：可认为现在生产的金属纤维的长度仍为mm 2.5
假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X （单位mm ）服从正态分布)16.0,2.5(N ，现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度4.5=x ，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为mm 2.5
11、置信区间公式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-)8(),8(025.0*
025.0*t n S X t n S X 得()69.30,31.29 （2）检验 0H ：5.31=μ，1H ：5.31≠μ取检验统计量)8(~5.310
*
t n
S
X T H -= 拒绝域{}025.0||t T J ≥=α答案：不能认为该地区九月份平均气温为C 0
5.31
（3）对于同一α而言，在显著水平α拒绝0H ：5.31=μ与5.31在置信度为α-1的μ
置信区间之外是一致的。

某地九月份气温),(~2
σμN X ，观察九天，得C x 0
30=，C s 0
9.0=，求
（1）此地九月份平均气温的置信区间； （置信度95%）
（2）能否据此子样认为该地区九月份平均气温为C 0
5.31（检验水平)05.0=α （3）从（1）与（2）可以得到什么结论？ 30
6.2)8(025.0=t
12、检验 0H ：72=μ，1H ：72≠μ 取检验统计量)9(~720
*t n
S
X T H -=
拒绝域{}025.0||t T J ≥=α 答案：可认为患者的脉搏与正常成年人的脉搏有显著差异 正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为 54 68 65 77
70 64 69 72 62 71，假设人的脉搏次数),(~2
σμN X ，试就检验水平05.0=α下
检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？ 13、（1）0H ：222
1
σσ
=，1H ：2221σσ≠
取检验统计量)3,4(~0
2
*2
2*1F S S F H =
拒绝域{})3,4()3,4(95.005.0F F F F J ≤≥=或α答： 可认为1X 与2X 的方差相等 （2）0H ：21μμ=，1H ：21μμ≠ 由1X 2X 的方差相等， 取检验统计量2*21
2111S
n n X X T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
)7(~0
t H ，2
)1()1(212
*2
22*112
*-+-+-=
n n S n S n S
拒绝域{})7(||05.0t T J ≥=α 答：故可认为1X 与2X 的均值相等。

设随机变量22,),,(~i i i i i N X σμσμ均未知，1X 与2X 相互独立。

现有5个1X 的观察值，
子样均值191=x ，子样方差为505.72*1=s ，有4个2X 的观察值，子样均值182=x ， 子样方差为593.22*2=s ，
（1）检验1X 与2X 的方差是否相等？59.6)4,3(,12.9)3,4(,1.005.005.0===F F α （1） 在（1）的基础上检验1X 与2X 的均值是否相等。

（ 1.0=α）
14、0H ：2
2
82=σ，1H ：2
2
82≠σ 取检验统计量2
2*2
82
)1(S n -=χ {}
02.197.222≥≤=χχαor J
答：故可认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性无显著变化
假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X 服从正态分布)82,10600(2
N ，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，子样方差69922
*=s。

当显著水平为05
.0=α时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？
15、（1）0H ：2
2
005.0=σ，1H ：2
2
005.0≠σ 取检验统计量2
2*2
005.0)1(S n -=χ
{}
5.1718.222
≥≤=
χχ
αor J 答：故可认为新生产的一批导线的稳定性有显著变化
（2）2
σ的置信区间为（ )
1()1(,
)1()1(2975.02
*2025.02
*----n S n n S n χχ ）＝（ 0.0003 ,0.00023）
某种导线的电阻)005.0,(~2μN X ，现从新生产的一批导线中抽取9根，得Ω=009.0s 。

（1）对于05.0=α，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？ （2）求母体方差2
σ的95%的置信区间 16、母体均值μ的置信区间为n
s t x *025
.0± 答： ( 99.05 , 100.91 )
某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量),(~2σμN X ，某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5 (单位：千克) 试求母体均值μ的置信区间，给定置信水平为95.0。

17、21μμ-的的置信区间为
2
)1()1(,11)2(212
*2
22*112*21*
212
-+-+-=
+-+±-n n S n S n S n n S
n n t Y X α（ -0.88 , 2.04 ）
设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X 表示失眠患者服用甲药后睡眠时间
的延长时数，Y 表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服
用甲药，10人服用乙药，经计算得9.2,75.1;9.1,33.22
221====s y s x ，设
),,(~21σμN X ),(~22σμN Y ；求21μμ-的置信度为95%的置信区间。

18、22
21σσ的置信区间为 ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛)12,17(,)12,17(05.02
*22
*195.02*22*1F S S F S S ( 0.45 , 2.79 ) 研究由机器A 和B 生产的钢管的内径，随机地抽取机器A 生产的管子18根，测得子样方差
34.021=s ，抽取机器B 生产的管子13根，测得子样方差29.02
2=s ，设两子样独立，且由
机器A 和B 生产的钢管的内径服从正态分布),(),,(22
221
1σμσμN N ，试求母体方差比22
21σσ的
置信度为90%的置信区间。

19、2
σ的置信区间（ )
1()1(,)1()1(2
95.02
*2
05.02
*----n S n n S n χχ ） 2
σ的置信区间 ( 0.0575 , 0.1713 )
σ的置信区间 ( 0.2398 , 0.4139 )
设某种材料的强度),(~2
σμN X ，2
,σμ未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm
2
为强度单位，由20件子样得子样方差0912.02
*=s ，求2σ和σ的置信度为90%的置信区
间。

20、p 的置信区间为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯±)1(12n m n m n u n m α （ 0.504 , 0.696 ）
也可用中心极限定理作近似计算，所得答案为 ( 0.50 , 0.69 )
设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率p 的置信度为95%的置信区间。

21、μ的置信区间为,025
.0n
u x σ
±，65.275001800000
025
.0=⇒=n n
u 即这家广告公司应取28个商店作子样
一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。

经验表明，母体方差约为1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在母体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的子样？ 22、似然函数∑==-
n
i i
x n
e
L 1
1
)1
()(λλ
λ λ的极大似然估计量X =λ
ˆ 设电视机的首次故障时间X 服从指数分布，EX =λ，试导出λ的极大似然估计量和矩估
计。

23、21μμ-的置信区间为 2
)1()1(,11)2(212
*222*1
12*21*
212
21-+-+-=
+-+±-n n s n s n S n n s
n n t x x α (-10.2 , -2.4 ) 为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随
机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的子样均值和方差为：92.18,63.16;5.28,2.222
*22
*121====s s x x 。

假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计。

24、21p p -的置信区间为
)1(1)1(12
22221111122211n m n m
n n m n m n u n m n m -⨯+-⨯±-α，18.011=n m ，14.022=n m
所以21p p -的置信区间为 ( 0.0079 , 0.0721 )
某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机
地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。

25、0H ：1200≤μ 1H ：1200>μ 取检验统计量100
300
1200
-=
X U
拒绝域{}ααu u J ≥= 答案：不能认为该厂的显像管质量大大高于规定标准
电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。

某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。

为了进行验证，随机抽取100件为子样，测得其平均寿命为1245小时。

能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？ 26、0H ：5=μ 1H ：5≠μ 取检验统计量n
S
X T *
5
-=
拒绝域{}
)1(2
-≥=n t t J αα 计算得16.3103
.05
3.5=⨯-=
t （1）)9(05.0025.0t t >⇒=α，所以在0.05的显著水平下不能认为机器性能良好 （2）)9(01.005.0t t <⇒=α，所以在0.01的显著水平下可认为机器性能良好
某机器制造出的肥皂厚度为cm 5，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为子样，测得其平均厚度为cm 3.5，标准差为cm 3.0，试分别以0.05和0.01的显著水平检验机器性能是否良好？（假设肥皂厚度服从正态分布） 27、检验0H ：21μμ= 1H ：21μμ≠ 2
22
1
21
2
1n n X X U σ
σ
+
-=
拒绝域{
}
2
||α
αu u J ≥=
计算得故可拒绝0H ，认为两种方法生产的产品的平均抗拉强度是有显著差别
有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。

根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg ，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg 。

从两种方法生产的产品各抽取一个子样，子样容量分别为32和40，测得
kg x kg x 44,5021==。

问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别
96.1,05.0025.0==z α
28、检验0H ：21μμ≤ 1H ：21μμ> 检验统计量2
1*
2111n n S X X T +-=
拒绝域{}ααt t J ≥= 经计算得不能认为用第二种工艺组
装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短。

一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1分钟，子样标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，子样标准差为10.5分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短？
7459.1)16(,05.005.0==t α
29、0H ：250≤μ 1H ：250>μ 取检验统计量25
30
250
-=
X U
拒绝域{}ααu u J ≥= 计算得拒绝0H ，可认这种化肥是否使小麦明显增产
某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg ，其标准差为30kg 。

现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg 。

问这种化肥是否使小麦明显增产？ 05.0=α 30、0H ：05.0≤p 1H ：05.0>p
n
n m n m n m
U )1(05.0--=
接受0H ：05.0≤p ，批食品能否出厂
某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg 。

今从一批该食品中任意抽取50袋，发
现有6袋低于250kg 。

若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？ 05.0=α
31、0H ：225≤μ 1H ：225>μ 取检验统计量n
S
X T *
225
-=
拒绝域{})1(-≥=n t t J αα， 不能拒绝0H ，不能认为元件的平均寿命大于225小时。

某种电子元件的寿命服从正态分布。

现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。

7531.1)15(,05.005.0==t α
32、（1）0.998407 （2）x y
1603.1708.26652ˆ+-= （3）0.996817 （4）∑=-=
n
i i x x t 1
2
)(ˆˆσ
β＝35.39138＞1.7531线性关系和回归系数显著
某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。

下表是有关彩电销售量与城市居民户
要求：(1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数；
（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；
(3)计算判定系数2
R
(4)对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验 (05.0=α)，并对结果作简要分析。

33、)
/()1/(l n S l S F e A --=
计算得5.410/384
/4.68==
F ＞3.48
检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。

34、(1) 589.364565.0ˆ+=x y
(2) 0:0=b H 检验统计量==xx l b
t σ
ˆˆ14.9>306.2)8(025.0=t
故儿子身高关于父亲身高的回归直线方程显著成立
(3) 499.68977.35704646.0ˆ7000=+⨯=⇒=y
x 区间预测为2222020432.0]ˆ[2
1ˆ,)(11ˆˆ=--=-++±xx
yy xx l b l n l x x n t y σσα 故0y 的区间预测为 ( 67.656 , 69.345 )
测量9对做父子的身高，所得数据如下(单位：英
(1) 试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程
(2) 检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？306.2)8(025.0=t （3）父亲身高为70，试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测
35、)16,3(31.1105.0F F >=,即不同的方式推销商品的效果有显著差异
某商店采用四种不同的方式推销商品。

为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取子样，得到如下数据：（24.3)16,3(,05.005.0==F α）
计算F 统计量，并以05.0=α的显著水平作出统计决策。

四、证明题
1、设n X X X ,,,21 )2(>n 来自正态母体X ，母体X 的数学期望μ及方差2
σ均存在，
求证：4321ˆ,ˆ,ˆ,ˆμμμμ
均是母体X 的数学期望μ的无偏估计。

其中)(2
1
ˆ,ˆ1211n X X X +==μμ X X X X =++=43213ˆ),32(6
1
ˆμ
μ
2、假设随机变量X 服从分布),(n n F 时，求证：{}5.01)1(=≥=≤X P X P
3、设n X X X ,,,21 )2(>n 来自正态母体X ，母体X 的方差2
σ存在，2
*S 为子样方差，
求证：2
*S
为2
σ的无偏估计。

4、假设母体X 的数学期望μ和方差2
σ均存在，n X X X ,,,21 来自母体X ，求证：X
与W 都是母体期望μ的无偏估计，且DW X D ≤。

其中∑==n
i i X n X 11，
)1(,1
1
==∑∑==n
i i n
i i i a X a W
5、已知)(~n t T ，证明),1(~2n F T
6、设母体X 的k 阶矩)(k i k X E =μ存在，n X X X ,,,21 来自母体X ,证明子样k 阶矩
∑==n i k
i k X n A 1
1为母体的k 阶矩)(k i k X E =μ的无偏估计。

7、设母体X 的密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧=-01)(1x e
x f λ
λ 00≤>x x 试证X 是λ的无偏估计，而X 1不是
λ1的无偏估计。

8、设母体),0(~θU X ，证明),,,max(1
ˆ,2ˆ212
1n X X X n n
X +==θθ均是θ的无偏估计 （n X X X ,,,21 来自母体X 的子样）。