辽宁省大连市第十八中学2018年高三数学理月考试卷含解析

辽宁省大连市第十八中学2018年高三数学理月考试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设全集，且，则满足条件的集合的个数是
A.3
B.4
C.7
D.8
参考答案：
D
，所以满足的集合有个，选D.
2. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
3. 若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数的值是
A.1
B.2
C.0
D.
参考答案：
A
4. 已知向量=（sinA，）与向量=（3，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由，可得sinA（sinA+cosA）﹣=0，化为=1，由于A∈（0，π），即可得出．
【解答】解：∵，
∴sinA（sinA+cosA）﹣=0，
∴2sin2A+2sinAcosA=3，
化为1﹣cos2A+sin2A=3，
∴=1，
∵A∈（0，π），∴∈．
∴=，解得A=．
故选：C．
5. 等比数列满足，且，则当时，
（）
A. B. C.
D.
参考答案：
D
略
6. 在△ABC中，已知，，则的值为（）A．B．
C．D．
参考答案：
【知识点】平面向量数量积的运算．F3
【答案解析】D 解析：∵=，∴sinA=；
∴cosA=±∴==4×1×（±）=±2，故选：D．
【思路点拨】先根据三角形的面积公式可求得A的正弦值，从而可求得余弦值，根据向量的数量积运算可得到的值．
7. 已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A.33
B.34
C.35
D.36
参考答案：
略
8. 已知，且，则等于（）
A.-Ｂ.-7 Ｃ. Ｄ. 7
参考答案：
D
9. 函数的部分图像如图所示，则函数表达式
为
（）
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
答案：A.
10. 在复平面内,复数对应的点的坐标为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．
参考答案：
24
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．
【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，
记为{a n}，其中a1=193，d=13；
驽马每日行的距离成等差数列，
记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；
设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m
=193m++97m+
=290m+×12.5≥2×3000，
化为5m2+227m﹣1200≥0，
解得m≥，取m=24．
故答案为：24．
12. 设，若，则的最小值为__________．
参考答案：
4
【知识点】基本不等式；等比数列的性质．D3 E6
解析：，当且仅当时取等
号，所以的最小值为．故答案为4.
【思路点拨】由条件a+b=1,利用基本不等式求出它的最小值．
13. 已知奇函数是定义在R上的增函数,数列是一个公差为2的等差数列满足,则的值
参考答案：
4003
14. 已知△ABC满足BC?AC=2，若C=， =，则AB= ．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值化简可得b=，由BC?AC=2，可解得a，b的值，利用余弦定理即可得解．
【解答】解：设三角形的边AB，BC，AC所对的边分别为c，a，b，
∵=，C=，
∴=﹣，解得：cosC=﹣=﹣，
∴b=，
∵BC?AC=2，可得：ab=2，解得：a=，b=2．
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=5a2=10，
∴c=．即AB的值为．
故答案为：．
15. 设x,y满足约束条件,若目标函数的最大值为12,
则的最小值为______．
参考答案：
【分析】
先根据条件画出可行域,设,再利用几何意义求最值,将最大值转化为y轴上的截距,只需求出直线,过可行域内的点(4,6)时取得最大值,从而得到一个关于a,b的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．
【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,
当直线过直线与直线的交点时, 目标函数取得最大,
即,即,
而．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题．
16. 若方程在区间，，且上有一实根，则的值为-------------（★ ）
A． B．C． D．
参考答案：
C
17. 已知是方程的两个虚根，且，则实数的值为
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当时，讨论f（x）的单调性．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）当a=1时，直接求出f′（x）从而确定f（2）和f′（2），利用点斜式方程即可求出切线方程；
（2）分情况讨论a=0，，三种情况下f′（x）的正负，即可确定f （x）的单调性．
【解答】解：（1）当a=1时，，
此时
，
又，
∴切线方程为：y﹣（ln2+2）=x﹣2，
整理得：x﹣y+ln2=0；
（2），
当a=0时，，
此时，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，，
当，即时，
在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递减；
当时，，
此时在（0，1），，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
f（x）在，f′（x）＞0单调递增；
综上所述：
当a=0时，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增；
当时，f（x）在单调递减，f（x）在
单调递增；
当时f（x）在（0，+∞）单调递减．
【点评】本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查导数在研究函数单调性中的作用，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．
19. 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1) 现有可围成36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
(2) 若使每间虎笼的面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？
参考答案：
(1) 设每间虎笼长为xm，宽为ym，
则面积S＝xy.
由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时取等号．
则
所以每间虎笼长、宽分别为4.5m、3m时，可使面积最大．
(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm，则l＝4x＋6y，且xy＝24，所以l＝4x＋6y＝
2(2x＋3y)≥2×2＝4＝4×＝48(m)，当且仅当2x＝3y时取等号．
故每间虎笼长、宽分别为6m、4m时，可使钢筋网的总长最小为48m. 20. “开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：
20~30；30~40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．
每扇门对应的梦想基金：（单位：元）
（Ⅰ）写出列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？
说明你的理由．（下面的临界值表供参考）
（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回
答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互
不影响．设该选手所获梦想基金总数为，求的分布列及数学期望．
参考公式其中）
参考答案：
解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，
……………2分
联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3 ∵……………3分
∴有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．……………4分
（Ⅱ）的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000 则……………5分
……………6分
……………7分
……………8分
……………9分
的分布列为
0 1000 3000 6000 11000
数学期望
略
21. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设，证明：．
参考答案：
解法一：（Ⅰ）（ⅰ）当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是
；………
………2分
（ⅱ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式无
解；
………………3分
（ⅲ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式的解是
；………………4分
综上，
．
………………5分
（Ⅱ）因为
………………6分
………………7分
．………………8分
因为，所以，
，………………9分
所以，即．………………10分解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因为，……… 7分
所以，要证，只需证，
即证
，
………………8分
即证，
即证，即证
．………………9分
因为，所以，所以成立，
所以原不等式成
立．
………………10分
22. 设关于的方程
(Ⅰ）若方程有实数解，求实数的取值范围；
(Ⅱ）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解. 参考答案：
（Ⅰ）原方程为，
，
时方程有实数解；
(Ⅱ）①当时，，∴方程有唯一解；
②当时，.
的解为；令
的解为；
综合①.②，得
1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解。