九年级数学直线和圆知识精讲

九年级数学直线和圆
【本讲主要内容】
直线和圆
圆的切线定义，圆的切线的判定与性质。

切线长性质，三角形的内切圆。

【知识掌握】
【知识点精析】
1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。

这条直线叫圆的切线。

2. 圆的切线的判定与性质：
（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

如图所示：OA是⊙O半径，直线BC经过点A且垂直于OA，则直线BC与⊙O相切，A为切点。

B A C
判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：
①经过半径外端
②垂直于半径
两个条件缺一不可
（2）圆的切线的性质：
圆的切线垂直于过切点的半径
如图：若直线AB切⊙O于A，则AB⊥OA于A。

A B
注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。

例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。

求证：⊙O与PB也相切。

P
B
分析：这题既反映了圆的切线的性质，又应用了圆的切线的判定，是理解定理的典型题目，
要加强理解，进行练后反思，对以后证题能给以启发。

解：连结OC ，过O 点作OD ⊥PB 于D
P
B
∵直线PA 切⊙O 于C ∴PA ⊥OC 于
C
∵PB ⊥OD 于D ，PO 是∠APB 的平分线 ∴OC=OD
∴OD 为⊙O 半径 ∴⊙O 与PB 相切 3. 切线长定理：
（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。

圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。

（2）切线长性质
从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。

如图：直线PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，则PA=PB ，PO 平分∠APB 。

P
例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12，求圆半径。

P
分析：由题目条件，联想切线长性质可知△ABP 为等边△，∴PA=AB=12，由切线的性质：连结AO 、PO 得到Rt △AOP ，并且∠APO=30°，解Rt △AOP 得出圆的半径OA 长。

总结规律：连结过切点的半径构造Rt △是解决问题的常用方法。

解：连结AO 、PO
P
∵PA 、PB 切⊙O 于A 、B ∴∠PAO=90°，AP=PB ∵∠APB=60°
∴△ABP 为等边△，∠APO=30° ∴PA=AB=12
在Rt △PAO 中，tan 303
3
1243︒=
=⋅=AO PA AO ， ∴圆半径为43
（3）三角形的内切圆：
对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 三角形的内心是三角形三角平分线的交点
【解题方法指导】
例1. 已知如图：C 为⊙O 上一点，DA 交⊙O 于B ，∠DCB=∠CAB 。

求证：DC 为⊙O 的切线。

解题思路：要证明DC 为⊙O 切线，又知点C 为⊙O 上一点，这就需说明要证点C 为切点，因此，连半径OC 证明OC 与CD 垂直即可。

证明：作直径CA ，并连结A B
∵CA 是⊙O 直径
∴∠A BC=90°
∴∠A CB ＋∠A =90° ∵∠A=∠A ∠A=∠DCB ∴∠A CB ＋∠DCB=90° ∴DC 是⊙O 的切线
例2. 已知如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，点C 在AC 上，CD 为⊙O 直径，⊙O 切AB 于E ，若BC=5，AC=12，求⊙O 的半径。

B
C
分析：此题是一个综合性较强的题目，由已知得知：通过勾股定理求出AB=13，又由CD是⊙O直径，∠C=90°，得出BC切⊙O于C。

∵AB切⊙O于E，因此联想到切线长相等，得出BC=BE=5，AE=8，再要求⊙O半径，则需连EO，证△AEO∽△ABC即可。

解：连结EO
B
C
∵∠C=90°，BC=5，AC=12
∴由勾股定理：AB=13
∵DC是⊙O直径，∠C=90°
∴BC切⊙O于C
∵AB切⊙O于E
∴∠AEO=90°，BE=BC=5，AE=13－5=8
在△AEO和△ABC中
∠A=∠A，∠AEO=∠ACB
∴△AEO∽△ABC
∴EO
BC
AE
AC
=
∴EO
5
8
12
=∴EO=
10
3
∴⊙O的半径为10 3
方法指导：本题考察的知识有很多，需要把各种知识结合起来，适当地添加辅助线，使所学定理得以实施，要求学生定理要熟悉，要善于联想，把部分加以组合，建立新的认知结构。

例3. 已知如图：边长为1的正方形ABCD，边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在AD上，BE是⊙O的弦。

求：（1）△CDF的面积；（2）线段BE的长。

C
B
分析：本题考察的知识有：正方形的性质，切线性质，切线长相等，勾股定理。

本题渗透的数学思想有：设未知数（方程的思想）、添加辅助线（转化的思想）。

解：（1）∵ABCD 是正方形∴∠ABC=∠ADC=90° ∵AB 是⊙O 直径∴BC 切⊙O 于B ∵CF 切⊙O 于E ∴CE=CB=1 同理可得：AF=FE
设AF=FE=x ，则DF=1－x ，FC=1＋x 在Rt △DCF 中，由勾股定理得：
DC DF FC 222+=
∴1112
2
2
+-=+()()x x 解得x =14
∴S CDF ∆=
38
（2）连结OC 交EB 于G
C
B
在Rt △BOC 中，由勾股定理得OC =
52
再通过△BOC 的面积不变得：OB BC OC GB ⋅=⋅ 代入得GB =
55
∵OC 是EB 的垂直平分线 ∴EB =25
5
【考点突破】
【考点指要】
圆的切线是教材的重点，也是中考的重点，占的比重较大，因为切线的应用经常作为综合题出现，因此它又是难点，因此要重视圆的切线的学习和应用，在练习中总结规律提高解题能力。

【典型例题分析】
例1. （某某省2006年中考试题）（8分）如图，⊙O 的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D 是线段BC 的中点。

（1）试判断点D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，求证直线DE 是⊙O 的切线。

B
分析：第（1）问要判断点D 与⊙O 的位置关系，就是要求出点D 到圆心O 的距离与半径的关系，因此连结OD ，求出OD=2=OB ，说明点D 在⊙O 上。

第（2）问要判断一条直线是⊙O 的切线，根据切线的判定定理，需要证出∠EDO=90°。

解：（1）点D 在⊙O 上。

连结OD ，过点O 作OF ⊥BC 于点F
B
在Rt △BOF 中，
OB AB B =
==︒1
2
230，∠ 所以BF =⋅︒=2303cos
因为BD BC ==1
2
23 所以DF =
3
在Rt △ODF 中，OD OB =
+==312
所以点D 在⊙O 上
（2）因为D 是BC 的中点，O 是AB 的中点 所以OD//AC 又因为DE ⊥AC 所以∠EDO=90°
由OD 是⊙O 的半径，得DE 是⊙O 的切线 评析：切线的判定在中考试题中经常作为考点，因此如何证明一条直线是圆的切线的方法要求较熟练的掌握，其中连半径证垂直是常用方法。

例2. （2005年某某市课改区）本小题提供了两个备选题，请你从下面的20－1和20－2题中任选一个予以解答，多做一个不多计分。

20－1。

如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC=BD ，连接AC 交⊙O 与点F 。

（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。

20－2。

小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：
①反向延长射线OM；
②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C；
③连接CB；
④以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB。

（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由。

（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON=60o，OF=10时，求AE的长。

分析：20－1中的第（1）问：探究AB与AC的大小关系，可以通过观察的方法，猜想AB=AC，证明的方法很多。

法一：连AD，由AB是⊙O直径得出∠ADC=90°，又BD=DC，∴AD是BC 的垂直平分线，∴AB=AC；法二：连OD，证明OD//AC，由角的相等∠B=∠C得到AB=AC。

第（2）问的问题比较新颖，需要连AD、BF，借助于直角说明∠A、∠B、∠C都是锐角，方能说明△ABC是锐角三角形。

20－2的第（1）问是通过作图，找到相关角的关系，即∠AOP=∠OCB，∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠POB，从而得到∠AOP=∠BOP，说明射线OP是∠MON的平分线。

第（2）问由切线的
⋅=⋅，求出AE的长。

性质得到AF⊥AO，在直角△AOF中，通过面积不变，即AO AF FO AE
答案：20－1。

（1）连接DO，OD是△ABC的中位线，∴DO//CA。

∵∠ODB=∠C，∴OD=BO，∴∠OBD=∠ODB，∴∠OBD=∠ACB，∴AB=AC。

（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B<∠ADB=90°。

∠C<∠ADB=90°，∴∠B、∠C为锐角。

∵AC 和⊙O 交于点F ，连接BF ，∴∠A<∠BFC=90°。

∴△ABC 为锐角三角形。

20－2。

（1）∵∠AOF=∠OCB 又∵∠BOA=2∠OCB ∴∠AOF=∠BOF
∴OP 为∠BOA 的角平分线
（2）∵AF 与⊙O 相切，∴AF ⊥AO ∵∠MON=60°，∴∠=
∠=︒AOF MON 1
2
30 ∴=
=AF OF 1
2
5，由勾股定理得：AO =53 ∵AO=BO ，∴△AOB 是等腰三角形 ∵OP 平分∠AOB ，∴PO ⊥AB 在Rt AOF S AO AF FO AE Rt AOF ∆∆中，=⋅=⋅121
2
即：53510⨯=AE
∴=
=AE 2531053
2
评析：这里采用了二选一的方式考查圆的中档题，是课改区一种有益的尝试。

主要检查学生
对圆中基本定理、基本计算的熟练程度。

但题型还是很新颖，如果学生不能认真审题，则丢分较多。

这也体现了课改区对学生能力的新要求、新变化。

20－2中以画图的形式给出了题设，可关注。

【综合测试】
一. 选择题：
1. 在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=12，AC=5，若以A 为圆心，以5为半径作圆，则斜边BC 与⊙A 的位置关系是（）
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 不能确定
2. 等腰△ABC 的腰AB=AC=4cm ，若以A 为圆心，2cm 为半径的圆与BC 相切，则∠BAC 的度数为（）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120° 3. 下列说法正确的是（）
A. 垂直于切线的直线必经过切点
B. 垂直于半径的直线是圆的切线
C. 圆的切线垂直于过切点的半径
D. 垂直于切线的直线必经过圆心
4. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切⊙O 于点C ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ，若AM=6，BN=4，则⊙O 的半径为（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 10
5. 已知：如图，⊙O 的直径，AB 的长为4cm ，C 是
AB 延长线上一点，CD 切⊙O 于D ，且
OD=CD ，则BC 的长为（）
A. 2
B. 2cm
C. ()222-cm
D. 4cm
C
6. 若直角三角形的斜边长为10cm ，其内切圆半径为2cm ，则它的周长为（）
A. 24cm
B. 22cm
C. 14cm
D. 12cm
7. 从圆外一点，向半径为1cm 的圆引两条切线，其切线长为3cm ，则两切线所夹锐角是（）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 以上都不对
8. 已知：如图过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线
PA 、PB ，切点为A 、B ，若AB=8，AB 的弦心距为3，则PA 的长是（）
A.
203
B.
253
C. 5
D. 8
P
9. △ABC 内切圆与三边切点分别为D 、E 、F ，则△ABC 的内心是△DEF 的（） A. 外心 B. 重心 C. 垂心 D. 内心
10. 已知三角形的三边a=3，b=4，c=5则它的内切圆面积为（）
A.π
B.
254
π
C. 4π
D.
94
π
二. 填空题：
1. ∠AOB=30°，P 为边OA 上的一点，且OP=5cm ，若以P 为圆心，r 为半径的圆与OB 相
切，则半径r 的长为___________。

2. 如图，∠AOB=60°，C 为OA 上一点，且OC =23，若以C 为圆心，R 为半径的圆与直线OB 相离，则R 的取值X 围是___________。

B
3. 已知⊙O 的半径为5，点P 到点O 的距离为15，则过点P 所作⊙O 的切线长为___________。

4. 已知：如图，PA 切⊙O 于A ，OP=10cm ，OA ：AP=1：2，则OA=___________cm 。

5. 已知：如图，CD 切⊙O 于D ，CD=6cm ，∠C=30°，则⊙O 的面积=_________cm 2。

6. PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，PA=43，AB=12，则S 四边形OAPB =___________。

7. 已知如图，AB 是半圆的直径，MN 切半圆于点P ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ，如果AM=5，BN=3，那么⊙O 半径为___________。

8. 已知：如图半径为3cm 的⊙O 切直线AC 于B ，AB=3cm ，BC cm =3，则∠AOC 的度数
为___________。

9. 如图，P 是⊙O 外一点，OP 垂直于弦AB 于点C ，交AB
于D ，连结OA 、OB 、PA 、PB ，根据以上条件，写出三个正确的结论：①_________，②_________，③_________。

10. 已知：如图，⊙O 切△ABC 的三边AB 、BC 、AC 于D 、F 、E ，∠B=45°，∠C=60°，则∠DEF=___________度。

B F C
三. 解答题：
1. 如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD//BC ，E 为AB 上的一点，DE 平分∠
ADC ，CE 平分∠BCD ，以AB 为直径的圆与边CD 有怎样关系？
E
C
2. 已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，DE ⊥AC 于E 。

求证：DE 是⊙O 的切线。

3. 已知：如图，OA 、OB 是⊙O 两条互相垂直的半径，P 为OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于Q ，过Q 作⊙O 的切线交OA 的延长线于R 。

求证：RP=RQ 。

4. 已知：如图，AB 为直径，AD 、BC 、CD 为切线，设⊙O 的半径为6cm ，梯形ABCD 的周长为42cm 。

求证：（1）OC ⊥OD ，（2）OE AD BC 2=⋅，（3）求AD 和
BC 的长。

5. 如图，AB
为⊙O 直径，过B 点作⊙O 的切线，C 为切线上的一点，连结OC 交⊙O 于E ，
AE 的延长线交BC 于D 。

求证：（1）CE CD CB 2=⋅。

（2）若AB=BC=2，求CD 的长。

综合测试答案
一. 选择题： 1. A 2. D 3. C 4. B 5. C
6. A
7. B
8. A
9. A
10.
A
二. 填空题： 1.
5
2
cm 2. 0<R<3 3. 102
4. 25
5. 12π
6. 483
7. 4
8. 75°
9. PA=PB ，AC=BC ，∠APO=∠BPO ，或∠POB=∠POA 等
°
三. 解答题：
1. 解：以AB 为直径的圆与边CD 有相切关系： 理由：过E 作EF ⊥CD 于F ，
C
∵DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，且∠A=∠B=90° ∴AE EF BE AB ===
1
2
∴以AB 为直径的圆的圆心为E
EF 的长是圆心E 到CD 的距离，且EF AB =
1
2
∴AB 为直径的圆与CD 是相切的关系 2. 证明：连AD 、OD ，AB 为直径
∴∠ADB=90°，AD ⊥BC 又AB=AC ∴D 为BC 中点 又∵O 为AB 中点∴OD//AC
又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE 又OD 为⊙O 半径∴DE 是⊙O 的切线 3.证明：连结OQ
∵RQ 为⊙O 的切线∴OQ ⊥RQ ∴∠OQB ＋∠BQR=90°
∵OB ⊥OA
∴∠B ＋∠BPO=90°∠B ＋∠RPQ=90° 又∵OB=OQ
∴∠B=∠OQB
∴∠RQP=∠RPQ
∴RP=RQ
4. （1）证明：连结OD 、OC 、OE
∵AD 、BC 、CD 为⊙O 的切线
OD 平分∠ADC 和∠AOE ，⊙C 平分∠BCE 和∠BOE 又∠AOD ＋∠DOE ＋∠EOC ＋∠COB=180° ∴∠COD=90°
∴OC ⊥OD
（2）证明：AD 、
BC 、CD 为⊙O 的切线 DA=DE ，BC=CE 且OE ⊥CD
又OC ⊥OD ∴△DOE ∽△OCE
OE CE DE
OE
=
即OE CE DE 2=⋅，∴=⋅OE AD BC 2 （3）OA=OB=OE=6
又四边形ABCD 周长为42cm
AD BC CD ++=30
又AD=DE ，EC=BC
∴+==⋅AD BC OE AD BC 15
2
∴⋅===AD BC AD BC 36312
5. （1）证明：连结BE ，AB 为直径
C
∴∠AEB=90°∴∠A ＋∠ABE=90°
又∵CB 切⊙O 于B
∴AB ⊥BC ∠ABC=90° ∴∠EBC ＋∠ABE=90° ∴∠A=∠EBC 又OA=OE ∴∠A=∠AEO 又∠AEO=∠CED ∴∠CED=∠EBD
又∠C=∠C ∴△EBC∽△DEC
∴CE
DC
BC
EC
=∴EC DC BC
2=⋅
（2）CD=-
35。