二项式定理与导数结合题

二项式定理与导数结合题
根据二项式定理，我们知道：
$(x+a)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}a^k$
现在我们来求导数。

对于$x^k$来说，它的导数是$kx^{k-1}$。

所以对于$a^k$来说，它的导数是$0$。

根据导数的线性性质，我们知道对于$(x+a)^n$来说，其导数
等于各项的导数之和。

也就是说：
$\frac{d}{dx}(x+a)^n = \frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^n
\binom{n}{k} x^{n-k}a^k\right) = \sum_{k=0}^n
\binom{n}{k}\frac{d}{dx}(x^{n-k}a^k)$
由于$a^k$是常数项，所以它的导数是$0$。

所以上式可以简化为：
$\frac{d}{dx}(x+a)^n = \sum_{k=0}^n
\binom{n}{k}\frac{d}{dx}(x^{n-k})a^k$
再继续求导，我们知道对于$x^{n-k}$来说，其导数是$(n-
k)x^{n-k-1}$。

所以上式可以进一步简化为：
$\frac{d}{dx}(x+a)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(n-k)x^{n-
k-1}a^k$
我们可以将导数写成多项式形式：
$\frac{d}{dx}(x+a)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(n-k)x^{n-k-1}a^k$
这就是$(x+a)^n$的导数的多项式表达式。