2021初中数学八年级下册同步讲练专题4.1-3因式分解(原卷版)

专题4.1-3因式分解
一、知识点
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解 因式）；
2、公因式：多项式的各项都有的一个公共因式；
3、因式分解的方法：
提公因式法：关键在于找出最大公因式
因式分解：
平方差公式：a² -b² =(a + b)(a - b)
公式法
完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab +b²
(a - b)² = a² + 2ab +b²
二、考点点拨与训练
考点1：判定是否是因式分解
典例：（2021·山东烟台市·八年级期末）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A ．211m m m m ⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭ B ．()22211x x x ++=-
C ．()()22m n m n m n -=+-
D ．()24343x x x x -+=-+
方法或规律点拨
本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·沙坪坝区·重庆八中八年级期末）下列各式，从左到右变形是因式分解的是（
）
A ．a （a+2b ）＝a 2+2ab
B ．x ﹣1＝x （1﹣1
x ）
C ．x 2+5x+4＝x （x+5）+4
D ．4﹣m 2＝（2+m ）（2﹣m ）
2．（2021·北京九年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A ．x （x ﹣2）＝x 2﹣2x
B ．（x +1）2＝x 2+2x +1
C ．x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）
D ．x +2＝x （1+2
x ）
3．（2020·浙江七年级期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A ．22()()x y x y x y -=-+
B ．3(3)xy x x y +=+
C ．221(1)(1)2x x x x x +-=+-+
D ．22122x x x x
4．（2020·浙江七年级期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A ．2(3)(3)9a a a +-=-
B ．22410(2)6x x x ++=++
C ．2269(3)x x x -+=-
D ．243(2)(2)3x x x x x -+=-++
5．（2021·重庆渝中区·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A ．a （a +1）＝a 2+a
B ．a 2+2a ﹣1＝a （a +2）﹣1
C ．4a 2﹣2a ＝2a （2a ﹣1）
D ．a 2﹣4+4a ＝（a +2）（a ﹣2）+4a
6．（2021·广东韶关市·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A ．2323623x y x y -=-⋅
B ．()23131y y y y -+=-+
C ．()ma mb m a b +=+
D ．()1a b ab a -=-
7．（2021·山东泰安市·八年级期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A ．()22211x x x +-=-
B ．()()22a b a b a b +-=-
C ．()22442x x x ++=+
D ．11⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭
x x x x 8．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A ．()2296131x x x -+=-
B ．()24141x x x x -+=-+
C ．()2333m m n m mn -=-
D ．()32x y x y y +=++
9．（2021·江苏南通市·八年级期末）对于①53(53)a ab a b -=-，②2(6)(2)412m m m m +-=+-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A ．都是因式分解
B ．①是因式分解，②是乘法运算
C ．都是乘法运算
D ．①是乘法运算，②是因式分解
10．（2021·河南开封市·八年级期末）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A ．2(3)(3)9x x x -+=-
B ．(1)(3)(3)(1)y y y y +-=---
C ．2422(2)yz y z y z yz z -=-+
D ．228822(21)x x x -+-=--
考点2：求因式中的字母系数
典例：（2021·江西赣州市·八年级期末）仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式及m 的值．
解：设另一个因式为x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，
则225(2)2x x m x n x n ++=+++，
25n ∴+=，2m n =，
解得3n =，6m =，
∴另一个因式为3x +，m 的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式254x x -+可分解为(1)()x x a -+，则a =________；
（2）若二次三项式226x bx +-可分解为(23)(2)x x +-，则b =________；
（3）已知二次三项式229x x k +-有一个因式是21x -，求另一个因式以及k 的值．
方法或规律点拨
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
巩固练习
1．（2020·浙江杭州市·七年级期末）把多项式2x ax b ++分解因式，得(2)(3)x x +-，则a ，b 的值分别是（ ）
A ．1,6a b ==
B ．1,6a b =-=
C ．1,6a b =-=-
D ．1,6a b ==-
2．（2021·四川宜宾市·八年级期末）因式分解2x mx n ++时，甲看错了m 的值，分解的结果是(6)(2)x x -+，乙看错了n 的值，分解的结果为(8)(4)x x +-，那么2x mx n ++分解因式正确的结果为（ ） A ．(3)(4)x x +-
B ．(4)(3)x x +-
C ．(6)(2)x x +-
D ．(2)(6)x x +-
3．（2021·四川省遂宁市第二中学校八年级月考）多项式 2x px q +-(0,0p pq >>)分解因式的结果足()()++x m x n ，则下列判断正确的是( )
A ．0mn >
B ．0mn <
C ．0m >且0n >
D ．0m <且0n <
4．（2020·山西临汾市·）把23x x c ++分解因式得()()12x x ++，则c 的值是（ ）
A ．3
B ．2
C ．3-
D ．1
5．（2020·山东泰安市·东平县江河国际实验学校八年级月考）如果多项式x 2﹣mx ＋6分解因式的结果是（x ﹣3）（x ＋n ），那么m ，n 的值分别是（ ）
A ．m ＝﹣2，n ＝5
B ．m ＝2，n ＝5
C ．m ＝5，n ＝﹣2
D ．m ＝﹣5，n ＝2
6．（2020·福建宁德市·八年级期末）多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7），则m 的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．10 D ．﹣10
7．（2020·全国七年级专题练习）若x-2和x+3是多项式x 2+mx+n 仅有的两个因式，则mn 的值为( ) A ．1 B ．1- C ．6- D ．6
8．（2020·江苏苏州市·七年级期末）若代数式x 2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m 的值是（ ）
A ．﹣4
B ．4
C ．﹣2
D ．±4
9．（2019·四川成都市·八年级期末）已知多项式x 2+bx+c 分解因式为（x+3）（x ﹣1），则b 、c 的值为（ ） A ．b ＝3，c ＝﹣2 B ．b ＝﹣2，c ＝3 C ．b ＝2，c ＝﹣3 D ．b ＝﹣3，c ＝﹣2
10．（2021·全国九年级专题练习）若多项式3x x m ++含有因式22x x -+，则m 的值是________． 11．（2020·大庆市万宝学校八年级期末）多项式26x mx ++因式分解得(2)()x x n -+，则m =__________． 12．（2021·全国九年级专题练习）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：
26(2)()x x x x +-=++☆，（其中、☆代表两个被污染的系数），则=_______，=☆_______．
13．（2021·社旗县新时代国际学校八年级月考）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(1)(9)x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成2(2)(4)x x --，求出原多项式． 考点3：用提公因式法因数分解
典例：63．（2020·山东中区·初二期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x （x+1）+x （x+1）2
=（1+x ）[1+x+x （x+1）
]
=（1+x ）2（1+x ）
=（1+x ）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+x （x+1）2019，则需应用上述方法 次，结果是 ． （3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+x （x+1）n （n 为正整数）结果是 ．
方法或规律点拨
本题考查因式分解-提公因式法，解题的关键是掌握因式分解-提公因式法.
巩固练习
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）把多项式m 2（a ﹣2）﹣m （a ﹣2）因式分解，结果正确的是（ ）
A ．（a ﹣2）（m 2﹣m ）
B ．m （a ﹣2）（m +1）
C ．m （a ﹣2）（m ﹣1）
D ．m （2﹣a ）（m +1） 2．（2020·重庆月考）一个长、宽分别为a 、b 的长方形的周长为10，面积为6，则22a b ab +的值为________． 3．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）分解因式：ab ﹣b ＝_____．
4．（2019·广东潮州·其他）分解因式：x 2y ﹣2xy ＝_____．
5．（2020·山东东明·期末）若2,1xy x y =-=，则代数式22x y xy -+的值为_________．
6．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）因式分解：24a a -=_________.
7．（2020·四川开江·期末）因式分解：2273-=a a ____．
8．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室一模）分解因式：22x 4x -= .
9．（2020·山东日照·中考真题）分解因式：mn +4n ＝_____．
10．（2021·温州市第二十三中学初三开学考试）因式分解：2a 2a -=________．
11．（2020·陕西城固·初二期末）分解因式；x 2﹣16x ＝______．
考点4：用平方差公式因式分解
典例：（2020·思南县张家寨初级中学期末）因式分解：
(1) 33a b ab -； (2) 44-b a ．
方法或规律点拨
本题考查了运用提公因式法和平方差公式法分解因式，难度不大，属于基础题，熟练掌握基本运算公式和方法是解答的关键．
巩固练习
1．（2020·陕西横山·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A ．a 2+4b 2
B ．﹣x 2+16y 2
C ．﹣a 2﹣4b 2
D ．a ﹣4b 2 2．（2020·湖南邵阳·期末）（______）()224x x -=-．
3．（2020·全国月考）因式分解：a 2b ﹣25b ＝_____．
4．（2020·深圳市福田区南华实验学校其他） 因式分解：（x +2）2﹣9＝_____．
5．（2020·广东高州·期中）在实数范围内分解因式：a 4﹣4＝_____．
6．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果490m n +=，2310m n -=，那么
()()2223m n m n +--=______.
7．（2019·四川南充·一模）把()22
23m m -+分解因式，结果是 _________． 8．（2021·浙江瑞安·开学考试）若x a y b =⎧⎨=⎩是方程组235237
x y x y +=-⎧⎨-=⎩的解，则代数式2294b a -的值是_______． 考点5：用完全平方公式因式分解
典例：（2020·沈阳市第一二七中学期中）如果二次三项式x 2﹣16x+m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）
A ．±8
B ．4
C ．±4
D ．8
方法或规律点拨
本题考查了完全平方公式．能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
巩固练习
1．（2020·湖南期末）下列因式分解错误的是（ ）
A ．29(3)(3)x x x -=+-
B ．24(4)x x x x +=+
C ．2244(2)x x x ++=+
D ．2239(3)x x x -+=- 2．（2020·重庆月考）下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A ．﹣a 2+b 2
B ．﹣a 2﹣b 2
C ．a 3﹣3a 2+2a
D ．a 2﹣2ab+b 2﹣1
3．（2020·思南县张家寨初级中学期末）已知x 2＋kx ＋25可以用完全平方公式进行因式分解，那么k 的值是（ ）
A ．5
B ．±5
C ．10
D ．±10
4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列各式能分解因式的是（ ）．
A ．21x --
B ．214x x -+
C ．222a ab b +-
D ．2a b -
5．（2020·吉林市舒兰市教育局初三开学考试）分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( )
A ．(x －1)(x －2)
B ．x 2
C ．(x ＋1)2
D ．(x －2)2
6．（2020·银川唐徕回民中学二模）分解因式：2x 3-8x 2y+8xy 2=______．
7．（2020·广东高州·期中）分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．
8．（2020·江苏徐州·期末）因式分解：222m mn n ++=__________．
9．（2020·江苏初三一模）分解因式：（a+b ）2﹣4ab= ．
10．（2020·湖南期末）因式分解：22288m mn n ++=__________．
11．（2020·思南县张家寨初级中学期末）分解因式：x 3y －2x 2y 2＋xy 3＝____．
12．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）把下列各式进行因式分解
（1）22818x y -
（2）322a b a b ab -+
13．（2020·黑龙江哈尔滨·初三一模）分解因式：22369xy x y y --
14．（2020·湖南永州·初一期末）因式分解：
(1)()()323x x x --- ；(2)3231827a a a -+-
15．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）把()()2222221t t t t ++++分解因式，并求3t =-时的
值．
考点6：综合应用提公因式法和公式法进行因式分解
典例：（2020·福建宁化·期末）已知有理数x ，y 满足12x y +=
，3xy =-． （1）求(1)(1)x y ++的值；
（2）求22x y +的值．
方法或规律点拨
本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是整体思想的应用．
巩固练习
1．（2020·湖南邵阳·期末）把32221218x x y xy ++因式分解．
2．（2020·湖南期末）因式分解：a 2（x ﹣y ）+b 2（y ﹣x ）
3．（2020·江苏梁溪·期末）把下列各式分解因式：
（1）2221218a ab b -+；
（2）222(2)(12)x y y ---．
4．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）分解因式：
（1）x 3﹣x ；
（2）2a 2﹣4a +2；
（3）m 4﹣2m 2+1．
5．（2020·江苏盱眙·期末）因式分解：
（1）()()35a x y b y x ---
（2）32231025ab a b a b -+
6．（2021·浙江长兴·开学考试）已知223,13x y x y -=+=，求
（1）xy 的值；
（2）32232x y x y xy -+的值．
7．（2020·苏州市吴江区同里中学期末）因式分解：
(1)3m 2n-12mn+12n ； (2)a 2(x-y)+9(y-x)
8．（2020·西藏日喀则·期末）已知 a+b=3，ab = 2，求代数式 a 3b+2a 2b 2+ab 3 的值． 9．（2019·陕西商州·初二期末）先因式分解，再求值：12a 3b +a 2b 2+12ab 3
，其中a ＝2，b ＝3．。