9.6.1 双曲线的方程及性质

作
A1(0，－a)，A2(0，a)
业
报
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
告
二
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
第9章 第6节 第1课时
第9页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
离心率 e＝ac，e∈_(1_，__＋___∞_)_，其中c＝ a2＋b2
告
一
性
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长
一
方程 (a>0，b>0)
(a>0，b>0)
课 时
作
业
报 告
图形
二
第9章 第6节 第1课时
第8页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
范围 x≥_a_或x≤_－___a_，y∈R y≤_－__a_或y≥_a_，_x_∈__R__
报
告
对称轴：坐标轴
一
对称性
性
对称中心：原点
课 时
质 顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
课
时
1．已知F是双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲
作 业
报 告
线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
二
[答案] 9
第9章 第6节 第1课时
第24页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
[解析] 如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．
[双基夯实]
链接教材
报 告 一
1．[人A选修2－1·P62·习题B组T1]已知双曲线C：ax22－by22＝
课
1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝ 25x，且与椭圆1x22 ＋y32＝
时 作 业
报 1有公共焦点，则C的方程为( B )
告 二
A.x82－1y02 ＝1
B．x42－y52＝1
C.x52－y42＝1
业
报(B )
告
二
A．2 15a2
B． 15a2
C．30a2
D．15a2
第9章 第6节 第1课时
第30页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
[解析] 由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，
报
告 一
由e＝ac＝2，得c＝2a，
课
时
∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋
第9章 第6节 第1课时
第4页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
一
课
报告一 基础知识普查清单
时 作
业
报 告 二
第9章 第6节 第1课时
第5页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
[必备知识]
报
考点1 双曲线的概念
告 一
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对
业
|OA|>r，
报 告
所以点Q的轨迹是以O，A为焦点的双曲线．
二
第9章 第6节 第1课时
第15页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
易错问题
1．双曲线的定义中条件的理解．
报
告 一
(1)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之差的绝对值
课
等于4，则动点P的轨迹是________．
时 作
一
答案：双曲线的右支，即x92－y72＝1(x≥3)
课 时 作
业
解析：依题意有|PA|－|PB|＝6<8＝|AB|，
报 告
所以动点P的轨迹是双曲线，但由|PA|－|PB|＝6知，动点P
二
的轨迹是双曲线的右支，即x92－y72＝1(x≥3)．
第9章 第6节 第1课时
第17页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
告 一
平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨
课
迹是什么？为什么？
时 作
业
报 告 二
第9章 第6节 第1课时
第14页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告 一
解：点Q的轨迹是双曲线．
课
这是因为|QA|＝|QP|，而||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝r，且
时 作
作 业
4a，
报
告 二
又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，
又∵|AF1|－|AF2|＝2a，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，
第9章 第6节 第1课时
第31页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，
告 一
∴cos∠F1AF2＝|AF1|22＋|A|AFF1|·2||A2－F2||F1F2|2
作 业
二
故所求双曲线方程为53x32－1y12 ＝1.
第9章 第6节 第1课时
第22页
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报
告
一
课
报告二 名校备考方案调研
时 作 业
报 告 二
第9章 第6节 第1课时
第23页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
1 双曲线的定义及应用
告
一
Ⅰ.利用双曲线的定义进行转化求值
课
质 实、虚轴 |A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚
时 作 业
轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的
报 告
实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
二
a，b，c的关系
c2＝__a_2_＋__b_2___ (c>a>0，c>b>0)
第9章 第6节 第1课时
第10页
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业
报
告
故选B.
二
第9章 第6节 第1课时
第33页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告 一
4．[2019唐山模拟]P是双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1右支上一点，F1，
课
F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心
时 作
报 告 二
第9章 第6节 第1课时
第28页
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报
告 一
|PA|＋|PB|≥|AB|，等号成立的条件为P在线段AB上．
课
|PA|－|PB|的最大值为|AB|，当P在线段AB的延长线时取
时 作
业
最大值；最小值为－|AB|，当P在线段BA的延长线时取最小
报 告
值．
二
1x62 －y92＝1， x－52＋y2＝36，
解得yx＝＝±8，3 3.
所以P(8，±3 3)．
第9章 第6节 第1课时
第13页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
3．[人A选修2－1·P62·习题A组T5]如图，圆O的半径为定
报 长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直
课 时
作
＝4a22＋×42aa×2－2a4a2＝14.
业
报
告 二
∴sin∠F1AF2＝ 415，
第9章 第6节 第1课时
第32页
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报
告 一
∴S△AF1F2＝12|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2
课
时
作
＝12×4a×2a× 415＝ 15a2.
D．x42－y32＝1
第9章 第6节 第1课时
第11页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
解析：由y＝ 25x可得ba＝ 25.①
报
告 一
由椭圆1x22 ＋y32＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
课
时
可得a2＋b2＝9.②
作 业
由①②可得a2＝4，b2＝5.
报
告 二
所以C的方程为x42－y52＝1.
y2 16
＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.∴|PQ|＝4b＝
报 16>2a.
告
一
又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，
课
时
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
作 业
报 告
由双曲线定义，知||PQFF||－－||PQAA|＝|＝22aa＝＝66，，
二
∴|PF|＋|QF|＝28.
故选B.
第9章 第6节 第1课时
第12页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
2．[人A选修2－1·P61·习题A组T1]双曲线1x62 －y92＝1上的点
报 P到点(5,0)的距离是6，则点P的坐标是________．
告
一
答案：(8，±3 3)
课
时
作
解析：设P(x，y)，由已知，得
业
报 告 二
第9章 第6节 第1课时
第21页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
解析：由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上，故可设双
报 曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
告
一
∵所求双曲线经过P(3,2)，Q(－6,7)，
课
时
报 告
∴93A6A＋＋4B49＝B1＝，1， 解得AB＝ ＝3－53， 111.
报 告
由双曲线的定义及标准，
课 时
作
则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.
业
报
由图可得，当A，P，E三点共线时，
告
二
(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，
从而|PF|＋|PA|的最小值为9.
第9章 第6节 第1课时
第25页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告 一
2．已知F为双曲线C：x92－1y62 ＝1的左焦点，P，Q为C上的 课
时
点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△
作 业
PQF的周长为________．
报
告
二
[答案] 44
第9章 第6节 第1课时
第26页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
[解析]
由
x2 9
－
报 告
2．双曲线的标准方程：关注实轴的位置．
一
双曲线的渐近线方程为y＝± 3 x，虚轴长为2
线的方程为________．
3 ，则双曲
课 时
作
业
报 告
答案：x2－y32＝1或y92－x32＝1
二
第9章 第6节 第1课时
第18页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告
解析：当实轴在x轴上时，设双曲线的方程为ax22－by22＝
业
答案：两条射线
报
告
解析：因为||PA|－|PB||＝4＝|AB|，
二
所以动点P的轨迹是以A，B为端点，且没有交点的两条射
线．
第9章 第6节 第1课时
第16页
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(2)动点P到点A(－4,0)的距离比到点B(4,0)的距离多6，则
报 告
动点P的轨迹是________．
第9章 第6节 第1课时
第29页
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Ⅱ.焦点三角形的问题
报 告 一
3．[2019江西赣南五校联考]已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝
1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在
课 时 作
双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为
报
告
一
(1)当 a<c 时，点P的轨迹是双曲线；
课
时
(2)当 a＝c 时，点P的轨迹是两条 射线 ；
作 业
报
(3)当 a>c 时，点P不存在．
告
二
第9章 第6节 第1课时
第7页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
考点2 双曲线的标准方程和几何性质
报 告
标准
ax22－by22＝1
ay22－bx22＝1
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
第9章 第6节 第1课时
第27页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
小提示
报
应用定义把双曲线上的点到一个焦点的距离，转化为到另
告
一 一个焦点的距离，这样有利于求相关距离的最值，如本例中的
课
1小题．
时 作
业
A，B为定点，P为动点．
课
值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做 双曲线 ．这
时 作
两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线 业
报 告
的 焦距
．
二
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为
常数且a>0，c>0：
第9章 第6节 第1课时
第6页
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报
告
一
课
时
第九章 平面解析几何
作 业
报 告 二
第9章 第6节 第1课时
第1页
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报
告
一
课
时
第六节 双曲线
作 业
报 告 二
第9章 第6节 第1课时
第2页
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报
告
一
课
时
第1课时 双曲线的方程及性质
一
1(a>0，b>0)．
课 时
作
由已知可知ba＝ 3，b＝ 3，
业
报
告 二
所以a2＝1，即所求方程为x2－y32＝1.
第9章 第6节 第1课时
第19页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告
当实轴在y轴上时，设双曲线的方程为
y2 a2
－
x2 b2
＝1(a>0，
一
b>0)．
课 时
作
由已知可得b＝ 3，ab＝ 3，
作 业
报 告 二
第9章 第6节 第1课时
第3页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告
[考纲展示] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方
一
程，知道它的简单几何性质．
课
时
2．了解圆锥曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景，
作 业
报 了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．
告
二
3．理解数形结合的思想．
业
报
告 二
所以a2＝9，即所求方程为y92－x32＝1.
第9章 第6节 第1课时
第20页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报