第十二章 全等三角形 讲义 2021--2022学年人教版八年级数学上册

第十二章全等三角形讲义
题型一、全等三角形的概念和性质
例1、下列说法一定正确的是( )
A．所有的等边三角形都是全等三角形
B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形
D．全等三角形的周长和面积分别相等
变式1、下列各组图形中，全等的一组是（）
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
变式2、下列说法正确的是（）
A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等
题型二、全等三角形的判定（SSS）
例1、如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE.求证：∠DAB＝∠EAC．
变式1、如图，AB DE =，AC DF =，BE CF =，求证：ABC DEF △≌△．
变式2、如图，已知AB．ED．BC=DF．AF=EC．
求证：（1．△ABC ≌△EDF．
．2．BC ∥DF.
例1、已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．
分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，
又需证______≌______．
证明：∵ AB ∥CD （ ），
∴ ∠______＝∠______ （ ），
在△______和△______中，
⎪⎩⎪⎨⎧===),
______(______),______(
______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）．
∴ ∠______＝∠______ （ ）．
∴ ______∥______（ ）．
变式1、如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．
（1）求证：△ABE ≌△CBD ；
（2）证明：∠1=∠3．
变式2、 如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD ＝AE ，AB ＝AC ，若∠B ＝20°，则∠C ＝_______．
例1、如图，点B，C，E，F在同一直线上，BE=CF，AB∥DE，AC∥DF，求证：AC=DF .
变式1、如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数．
变式2、如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
题型五、全等三角形的判定（AAS）
例1、如图，AF=CE,AD∥CB，∠B=∠D，求证：△ADF≌△CBE.若∠D=20°，∠C=25°，求∠AEB的度数.
变式1、如图，AB CB ⊥，DC CB ⊥，E 、F 在BC 上，A D ∠=∠，BE CF =，求证：AF DE =.
变式2、如图，已知∠1=∠2．∠3=∠4，求证：BC=BD．
题型六、全等三角形的判定（HL ）
例1、如图，∠A=∠D=90°．AC=DB．AC．DB 相交于点O ．求证：OB=OC．
变式1、已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF =．
求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥．
变式2、已知：如图，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为点C、D，且AC＝BD．求证：OA ＝OB．
题型七、角平分线的性质与判定
例1、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
变式1、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF，
(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=20， BE=4，求AB的长.
变式2、如图，在⊥ABC中，⊥C=90°，AD平分⊥CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E （1）求证：⊥ACD⊥⊥AED；
（2）若⊥B=30°，CD=1，求BD的长．
题型八、角平分线的性质的应用
例1、 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和38，则△EDF 的面积为（ ）
A ．8
B ．12
C ．4
D ．6
变式1、到三角形三边距离相等的点是（ ）
A.三角形三条高线的交点
B.三角形三条中线的交点
C ．三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点
变式2、
已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，若AB=6，AC=8，ABC 28S ∆=，则DE=_______________
题型九、全等三角形性质的应用
例1、如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的一点，AB ＝DB ，BE 平分∠ABC ，交AC 边于点E ，连接DE ．
（1）求证：∠AEB ＝∠DEB ；
（2）若∠A ＝100°，∠C ＝50°，求∠AEB 的度数．
变式1、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．
变式2、王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
题型十、全等三角形综合问题
=，例1、如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC CD 再作出BF的垂线DE，使点A，C，E在同一条直线上（如图所示），可以说明ABC≌EDC，得=，因此测得DE的长就是AB的长，判定ABC≌EDC，最恰当的理由是（）
AB DE
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
例2、如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若OM平分∠EOF，求证：OM⊥EF．
变式1、在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．
求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD＝AB+CD；
变式2、如图,某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,最省事的方法是( )
A．带①和②去 B．只带②去 C．只带③去 D．都带去
题型十一、多次证明全等
例1、如图，AC OB ⊥于点C ，BD OA ⊥于点D ，AC 与BD 交于点E ，OA OB =，求证：AE BE =．
变式1、如图，已知B 、E 是线段AC 、AD 上的点，且AB AE =，AC AD =，BD
与CE 相交于点F ．求证：AF 是CAD ∠的角平分线．
题型十二、全等三角形提升题（选讲）
例1、如图，点C 是AB 的中点，点E 是CD 上一点，AEC D ∠=∠，求证：AE BD =．
变式1、如图，90ACB ︒∠=，
AC BC =，过点C 作CF AE ⊥于F ，过点B 作BD BC ⊥交CF 延长线于点D ．求证：AE CD =．
变式2、如图，2B C ∠=∠，AD 是BAC ∠的角平分线．求证：AC AB BD =+．
变式3、如图，ABC △中，点D 是BC 的中点，延长BA 至E ，连接ED 交AC 于F ，若BE FC =．求证：AE AF =．。