《欧拉公式的应用》PPT课件

3
4、求积分
例1： /
4
eit
dt
iei/4 i i
1

i
i
1
i1
1

0
2 2
2 2
例2：
1 dx
x4 1

2iRzec0s
f
z
Re s z c1
f
z

2i
1 4
3i
z 1 z2 2iaz 1
z z1
a2 1
5、 倍角和半角的
cot
证：左
e2i e2i i e2i e2i
e2i e2i
sin 2 1 cos 2

1

2i e2i
e2i
2、求方根
例： 4 1 i 4
i
2n i4
2e 4 8 2e 4 n 0,1,2,3
3、初等函数求值
例： Log 1
3i ln 2 i 2 2n ln 2 2n 1 in 0,1,2,
3
设m是大于1的整数，（a,m）=1，则 am 1mod m
《复变函数论》中的欧拉函数：
ei cos i sin (Eulersformula )
《数值分析》中的欧拉函数：
一般的，设已作出该折线的极点,过依方向场的方 向再推进到，显然两个极点的坐标有以下关系
yn1 yn xn1 xn
将欧拉公式换为得到欧拉公式成为人们公认的最优美公式被视为数学美的一个象征数学家们评价它是上帝创造的公sincosi上帝创造的公式欧拉公式的两个基本性质由欧拉公式可以看出在复数域内指数函数是周期函数具有基本周期cos1sin1cossincossincossincos2sin21012ki2在欧拉公式中用代替得到由上式容易看出正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数
ei cos i sin ，
得到
cos ei ei , sin ei ei
2
2i
由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函
数是偶函数．
欧拉公式的应用
欧拉公式在计算中的应用：
1、幂乘
例： 3 i 7 (2ei / 6 )7 27 ei7 / 6 26 ei 2ei / 6 64 3 i
得到 ei 1 0
欧拉公式成为人们公认的最优美公式，被视为数学 美的一个象征，数学家们评价它是“上帝创造的公 式” 。
欧拉公式的两个基本性质
1、ei cos1 i sin1
i
e2
cos
i sin
i
2
2
ei cos i sin 1
3 i
e2
cos 3
2
1 ei ei ei ei i ei ei

i ei ei 2
ei ei
cot =右
所以原式成立
谢谢
i sin 3
i
2
2
e2ki cos 2k i sin 2k 1k 0, 1, 2
由欧拉公式可以看出，在复数域内，指数函数是周
期函数，具有基本周期 2 i 。
2、在欧拉公式中用 代替 ，则ei cos isin
由 ei cos i sin
欧拉公式的应用
目录
1、什么是欧拉公式 2、认识欧拉 3、 “上帝创造的公式” 4、欧拉公式的应用
欧拉公式
• 欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其 中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公 式---将复数、指数函数与三角函数联系起 来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数 论中的欧拉函数公式。
《初等数论》中的欧拉公式：

f (xn , yn ),
即
yn1 yn hf (xn , yn )
《离散数学》中的欧拉公式：
若G为连通平面图，则n-m+r=2,其中，n,m,r分别 为G的结点数，边数和面数。
另外，我们在《常微分方程》中还学了欧拉折
线；在《离散数学》中 学过欧拉图。
认识欧拉
欧拉---瑞士人（Euler,L. 1707---1783）； 欧拉---16 岁获得硕士学位； 欧拉---数学史上“高产”的数学家。在世发表论文700多篇，
去世后还留下100多篇待发表；
欧拉---首先使用f(x)表示函数，用e表示自然对数的底，用a、
b、c 表示△ABC，用∑表示求和，用i表示虚数单位等。
欧拉---目前数学中有欧拉公式、欧拉常数、欧拉猜想、欧拉
方法、欧拉方程、欧拉定理。
“上帝创造的公式”
将欧拉公式 ei cos i sin 中的 换为
e4

1 4
1 i
e4


2
例3：
2

0
a
d a
sin
1
Sol:Let z ei 0 2 sin z z 1 2i
d dz
iz
2 d a 1
2i dz 2 Re s f z 2 1
0 a sin