数学---黑龙江省大庆铁人中学2017-2018学年高二下学期开学考试(3月)

黑龙江省大庆铁人中学2017-2018学年
高二下学期开学考试（3月）
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

） 1、下列各组数据中，数值相等的是( )
A. (25)10和(10110)2
B. (13)10和(1101)2
C. (11)10和(1100)2
D. (10)10和(10)2 2、儿子的身高和父亲的身高是( )
A. 确定性关系
B. 相关关系
C. 函数关系
D. 无任何关系
3、下列四个命题中，其中为真命题的是( )
A. ∀x ∈R ，x 2+3<0
B. ∀x ∈N ，x 2≥1
C. ∃x ∈Z ，使x 5<1
D. ∃x ∈Q ，x 2=3
4、将正弦曲线y =sin x 经过伸缩变换
后得到曲线的方程的周期为( )
A. π
2
B. π
C. 2π
D. 3π
5、用秦九韶算法计算f (x )=3x 6+5x 5+6x 4+20x 3−8x 2+35x +12，当x =−2 时，v 4=( )
A. 16
B. −16
C. 32
D. −32
6．已知p ：x ≥3或x ≤－2，q ：x ∈Z ，p ∧q 与¬ q 都是假命题，则x 的可取值有( ).
A ．5个
B ．3个
C ．4个
D ．无数个
7.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7 8.已知x 与y 之间的一组数据：
x 0 1 2 3 y
m
3
5.5
7
已求得关于y 与x 的线性回归方程y ^
＝2.2x ＋0.7，则m 的值为( ) A. 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5 9．阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( ) A ．S ＝2*i －2
B ．S ＝2*i －1
C ．S ＝2*i
D ．S ＝2*i ＋4
10. 已知三棱锥S −ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB =2，SA =SB =SC =2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是( )
A. 33
B. 1
C. 3
D. 3 32
11．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2
7＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的
面积为( ) A ．7
B.7
2
C.74
D.752
12. 已知圆(x −1)2+y 2=3
4的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0，b >0)有两
个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A. (1， 3)
B. (1，2)
C. ( 3，+∞)
D. (2，+∞)
第Ⅱ卷 解答题部分
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13.曲线C 的参数方程为，
x =1+ 3t y = 3−t
(t 为参数)，则此曲线的极坐标方程为______．
14.设O 是坐标原点，F 是抛物线
的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°，则
为_____________________.
15.平面上画了一些彼此相距20cm 的平行线，把一枚半径为4cm 的硬币任意掷在这平面上，则硬币与任一条平行线相碰的概率为______．
16.若命题“∃t ∈R ，t 2−2t −a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 三、 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设函数f (x )=x 2+2ax −b 2+4．
(Ⅰ)若a 是从−2、−1、0、1、2五个数中任取的一个数，b 是从0、1、2三个数中任取的一个数，求函数f (x )无零点的概率；
(Ⅱ)若a 是从区间[−2，2]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求函数f (x )无零点的概率．
)0(22>=p px y FA ||OA
18.已知曲线C 1的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴
为极轴的极坐标系中，曲线C 2：
．
（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若C 1与C 2相交于A 、B 两点，设点F （1，0），求的值．
19.某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：
价格x (元/kg ) 10 15 20 25 30 日需求量y (kg )
11
10
8
6
5
(Ⅰ)求y 关于x 的线性回归方程；
(Ⅱ)当价格x =40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？ 线性回归方程∧y =∧bx +∧a 中系数计算公式： ∧b =
(n i =1x i −x )(y i −y )
(n i =1x i −x )
2=
x i n i =1y i −nx⋅y
x i 2n i =1−nx
2
∧a =y −∧bx ，其中x ，y 表示样本均值．
20.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2．
(Ⅰ)求证：C1D//平面ABB1A1；
(Ⅱ)求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值.（文）
求二面角D−A1C1−A的余弦值．（理）
21. (12分)在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．
(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；
(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A.在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．
22.设A，B分别是直线y=25
5x和y=−25
5
x上的两个动点，并且|AB|=20，动点P满足
OP=OA+OB，记动点P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若点D的坐标为(0，16)，M，N是曲线C上的两个动点，并且DM=λDN，求实数λ的取值范围；
(3)M，N是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l 交y轴于点E(0，y0)，求y0的取值范围．
参考答案1——6、BBBCB
7——12、CDCABD
)=2
13.ρsin(θ+π
6
21
14. p
2
15.2
5
16.
17. 解：(Ⅰ)函数f(x)=x2+2ax−b2+4无零点等价于方程x2+2ax−b2+4=0无实根，可得△=(2a)2−4(−b2+4)<0，可得a2+b2<4
记事件A为函数f(x)=x2+2ax−b2+4无零点，
总的基本事件共有15个：(−2，0)，(−2，1)，(−2，2)，(−1，0)，
(−1，1)，(−1，2)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，
(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，事件A包含6个基本事件，
∴P(A)=6
15=2
5
(Ⅱ)如图，试验的全部结果所构成的区域为(矩形区域)
事件A所构成的区域为A={(a，b)|a2+b2<4且(a，b)∈Ω}即图中的阴影部分．
∴P(A)=S A
SΩ
=
2π
8
=
π
4
18.解：（I）∵曲线C1的参数方程为（为参数），∴，∴，
∴曲线C1的普通方程为．…2分
∵曲线C2：，∴3ρ2+ρ2sin2θ=12，
∴3（x2+y2）+y2=12，∴3x2+4y2=12，
∴C2的直角坐标方程为．…5分
（Ⅱ）由题意可设，与A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
将C1的参数方程代入C2的直角坐标方程，
化简整理得，5t2+4t-12=0，∴，…7分
∴，
∵，∴，∴…10分．
19. 解：(Ⅰ)x=10+15+20+25+30
5=20，y=11+10+8+6+5
5
=8，
∴b=110+150+160+150+150−5×20×8
100+225+400+625+900−5×202
=−0.32，a=8−(−0.32)×20=14.4，
∴所求线性回归方程为y=−0.32x+14.4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当x=40时，y=−0.32×40+14.4=1.6，
故当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为1.6kg．
20. 解：(Ⅰ)证明：四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BB1//CC1，
又CC1⊄面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1，(2分)ABCD是正方形，所以CD//AB，
又CD⊂面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，(3分)
所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，
所以C1D//平面ABB1A1.(4分)
(Ⅱ)解：ABCD是正方形，AD⊥CD，
因为A1D⊥平面ABCD，
所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，
以D为原点建立空间直角坐标系D−xyz，.(5分)
在△ADA1中，由已知可得A1D=3，
所以
D(0，0，0)，A1(0，0，3)，A(1，0，0)，C1(−1，1，3)，B1(0，1，3)，D1(−1，0，3)，B(1，1，0)，(−2，−1，3)，(6分)
因为A1D⊥平面ABCD，
所以A 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1D ⊥B 1D 1， 又B 1D 1⊥A 1C 1，
所以B 1D 1⊥平面A 1C 1D ，(7分)
所以平面A 1C 1D 的一个法向量为n =(1，1，0)，(8分) 设BD 1 与n 所成的角为β，
则cos β=n
⋅BD 1 |n ||BD 1
|
=−3
2
8
=−3
4(9分) 所以直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为3
4.(10分) (Ⅲ)解：设平面A 1C 1A 的法向量为m =(a ，b ，c )， 则m ⋅A 1C 1 =0，m ⋅A 1A =0， 所以−a +b =0，a − 3c =0，
令c = 3，可得m =(3，3， 3)，(12分) 设二面角D −A 1C 1−A 的大小为α， 则cos α=m ⋅n
|m ||n |
=6 2
21
= 42
7
． 所以二面角D −A 1C 1−A 的余弦值为 42
7
.(13分)
21.解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25＝40(人)．
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)
＝40×0.075＝3.
(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
140
[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]＝2.9. (3)因为两科考试中，共有6个A ，又恰有2人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目成绩等级为A.
设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为
Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，一共有6个基本事件．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件M ，所以事件M 中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，则P(M)＝1
6
22. 解：(1)设P(x，y)，A(x1，25
5x1)，B(x2，−25
5
x2)．
∵OP=OA+OB，∴x=x1+x2
y=25
5
(x1−x2)
∴
x1+x2=x
x1−x2=5
2
y，
又|AB|=20，∴5
4y2+4
5
x2=20，即所求曲线方程为x2
25
+y2
16
=1；
(2)设N(s，t)，M(x，y)，则由DM=λDN可得(x，y−16)=λ(s，t−16)故x=λs，y=16+λ(t−16)
∵M，N在曲线C上，∴s2
25
+t2
16
=1
λ2s2
25
+(λt−16λ+16)2
16
=1
，
消去s，得λ2(16−t2)
16+(λt−16λ+16)2
16
=1，由λ≠0，λ≠1解得t=17λ−15
2λ
，
又|t|≤4，∴3
5≤λ≤5
3
且λ≠1；
(3)设直线MN为y=kx+b(k≠0)，则x2
25
+y2
16
=1 y=kx+b
得：(25k2+16)x2+50kbx+25(b2−16)=0
由△>0解得：b2<25k2+16①，且x1+x2
2=−25kb
25k2+16
，y1+y2
2
=−16b
25k2+16
则直线l为y−16b
25k2+16=−1
k
(x+25kb
25k2+16
)，
由E(0，y0)在直线l上，∴y0=−9b
25k2+16
②
由①②得y02<81
25k2+16<81
16
∴−9
4
<y0<9
4
．。