直观理解欧拉公式

直观理解欧拉公式
欧拉的身份似乎莫名其妙：
它来自一个更通用的公式：
)sin()cos(x i x e i +=π
Yowza ——我们将一个虚指数与正弦和余弦联系起来！并以某种方式插入 pi 给出 -1？这可能是直观的吗？
不是根据 1800 年代数学家 Benjamin Peirce 的说法：
● 这绝对是自相矛盾的；我们无法理解它，我们不知道它的含义，但我们已经证明了它，
因此我们知道它一定是真理。

啊啊啊，这态度让我热血沸腾！公式不是需要记住的魔法：我们必须，必须，必须找到洞察力。

这是我的：
欧拉公式描述了两种等价的圆周运动方式。

就是这样？这个惊人的方程式是关于旋转的？是的——我们可以通过一些类比来理解它：
● 从数字 1 开始，将乘法视为改变数字的变换：π
i e
•1
● 规则指数增长在一段时间内以某种速度持续增加1；虚指数增长在一段时间内连续旋转
1
● 为“pi ”单位时间增长意味着围绕圆圈旋转pi 弧度 ● 所以，π
i e
•1 意味着从 1 开始并旋转 pi （绕一圈的一半）到 -1
这是高级视图，让我们深入了解细节。

顺便说一句，如果有人试图给你留下深刻印象
，向他们询问i 的i 次幂。

如果他们想不通，欧拉公式对他们来说仍然是一
个神奇的咒语。

更新：在写作时，我认为可能有助于更清楚地解释这些想法：
理解 cos(x) + i * sin(x)
1-=πi e 1-=π
i e
等号过载。

有时我们的意思是“将一件事设置为另一件事”（例如x = 3），而其他人的意思是“这两件事描述相同的概念”（例如√−1=i）。

欧拉公式是后者：它给出了两个公式来解释如何做圆周运动。

如果我们使用三角函数检查圆周运动，并以x 弧度移动：
●cos(x) 是x 坐标（水平距离）
●sin(x) 是y 坐标（垂直距离）
该声明
cos(x) + i sin(x)
是一种将x 和y 坐标粉碎成单个数字的巧妙方法。

类比“复数是二维的”帮助我们将单个复数解释为圆上的位置。

当我们将x 设置为π，我们在旅行π单位圆外的单位。

因为总周长是2π, 老样子π已经过了一半，让我们处于-1。

Neato：欧拉公式的右边(cos(x) + i sin(x)) 用虚数描述圆周运动。

现在让我们弄清楚等式的e边是如何完成它的。

什么是想象增长？
将x 和y 坐标组合成一个复数很棘手，但很容易管理。

但是虚指数是什么意思呢？
让我们退后一步。

当我看见，我是这样想的：
● 3 是以ln(3) 的速率即时增长（使用 e ）的最终结果。

换句话说)
3ln(3e =：
●
43与增长到 3 相同，但随后增长了 4 倍。

所以43=814)3ln(=•e
您可以将数字视为必须“成长”的东西，而不是单独看到数字。

实数，如 3，给出的利率为 ln(3) = 1.1，这就是 e 在它进行时“收集”的，并且不断增长。

定期增长很简单：它不断“推动”一个数字朝着它原来的方向前进。

3 × 3 向原始方向推动，使其大 3 倍 (9)。

想象的增长不一样：我们赚的“利息”方向不同！它就像一个被绑在侧面的喷气发动机——我们不是向前推进，而是开始以 90 度角推进。

恒定正交（垂直）推动的巧妙之处在于它不会使您加速或减慢您的速度——它会旋转您！取任何数字并乘以i 不会改变它的大小，只会改变它指向的方向。

直觉上，我是这样看待连续的假想增长率的：“当我成长时，不要在我已经前进的方向上推动我前进或后退。

而是旋转我。

”
但是我们不应该越来越快地旋转吗？
我也想知道。

常规增长复合我们原来的方向，所以我们去 1、2、4、8、16，每次乘以 2 倍
e)2ln(，这意味着在“x”秒内以ln(2) 的速度立即增长。

并保持实数。

我们可以考虑这个x
嘿——如果我们的增长率是两倍快，2ln(2) vs ln(2)，它看起来就像增长了两倍（2x vs x）。

e 的魔力让我们交换速率和时间；ln(2) 处的2 秒与2ln(2) 处的1 秒增长相同。

现在，假设我们有一些纯虚构的增长率(Ri)，它会旋转我们直到达到i，或向上90 度。

如果我们将这个比率加倍到2Ri 会发生什么，我们会脱离这个圆圈吗？
不！具有2Ri 的速率意味着我们只是以两倍的速度旋转，或者以R 的速率旋转两倍的时间，但我们仍停留在圆圈上。

旋转两倍的时间意味着我们现在面对180 度。

一旦我们意识到某种指数增长率可以将我们从 1 带到i，那么增加该增长率只会使我们旋转得更多。

我们永远也逃不出这个圈子。

然而，如果我们的增长率是复数（a+bi vs Ri），那么实部(a) 会像往常一样增长，而虚部(bi)
e, 是关于让我们留在圈子里的纯粹想象的增会旋转我们。

但我们不要幻想：欧拉公式，ix
长（稍后会详细介绍）。

快速健全性检查
在写作的过程中，我不得不为自己澄清几个问题：
为什么使用x e，我们不是在旋转数字1 吗？
e表示从1 开始并在1 个单位时间内以100% 的利率持续增长的过程。

当我们写e 时，我们用一个数字来捕捉整个过程——e 代表了持续增长的所有完整细节。

所以真的，x e是说“从1 开始，并在x 秒内以100% 的速度持续增长”，然后像我们想要的那样从1 开始。

但是作为指数的i 是做什么的？
对于像这样的常规指数43我们问：
●什么是隐含增长率？我们从1 增长到3（指数的底数）。

●我们如何改变这种增长率？我们将其缩放4 倍（指数的幂）。

我们可以将我们的增长转换为“e”格式：我们的瞬时增长率是ln(3)，我们将其增加到ln(3) * 4。

同样，指数(4) 的幂只是缩放了我们的增长率。

4)3ln(4)3ln(4)(3e e ==•
当最高指数为 i 时（如i
3 )，我们只需将隐含增长率乘以 i 。

因此，我们不是以普通的 ln(3) 增长，而是以 ln(3) * i 增长。

i i i e e )(3)3ln()3ln(==•
指数的顶部修改了底部的隐含增长率。

详细信息
让我们仔细看看。

记住e 的这个定义：
n
n n
e
e )%1001(lim %
100+==∞→
那 代表我们在每个微观时期赚取的部分利息。

我们假设实际维度上的利率是 100%——但
是如果它在虚方向上是 100% 呢？
n
n i
n
e
)i %1001(lim %100•+=∞→•
现在，我们新形成的兴趣增加了我们在 90 度方向上的兴趣。

令人惊讶的是，这并没有改变
我们的长度——这是一个棘手的概念，因为它似乎构成了一个斜边必须更大的三角形。

我们正在处理一个限制，额外的距离在我们指定的误差范围内。

这是我想改天解决的问题，
但请
相信我的话：持续的垂直增长会让你旋转。

这是正弦和余弦的核心，你的变化垂直于你当前的位置，你在一个圆圈中移动。

我们以无限小的增量应用i 个增长单位，每个单位都以 90 度角推动我们。

没有“越来越快”的旋转——相反，我们沿着圆周爬行了 |i| 的距离。

= 1（i 的大小）。

嘿 - 绕圆爬行的距离是以弧度为单位的角度！我们找到了另一种描述圆周运动的方法！
获得圆周运动：通过以 90 度角（又名假想增长率）旋转来不断变化。

所以，欧拉的公式是说“指数的，想象的增长描绘出一个圆圈”。

这条路径与在虚平面中使用正弦和余弦在圆中移动是一样的。

在这种情况下，“指数”这个词令人困惑，因为我们以恒定的速度绕圆运动。

在大多数讨论中，假设指数增长具有累积的复合效应。

一些例子
你不会真的相信我吧？这里有几个例子，以及如何直观地思考它们。

例子：i
e
x 在哪里？啊，它只是 1。

直观地，不用计算器，我们知道这意味着“沿单位圆走 1 弧度”。

在我的脑海中，我看到“e ”试图在同一个方向上以 100% 的速度增长 1，但我一直在移动球并迫使“1”沿着圆的边缘增长：
i e = cos(1) + i sin(1) = .5403 + .8415i
不是最漂亮的数字，但确实如此。

请记住在输入时将计算器置于弧度模式。

例子： i
3
这很棘手——它不是我们的标准格式。

但要记住，
i i 313•=
我们希望在周期结束时初始增长 3 倍，或 ln(3) 的瞬时速率。

但是，i 出现并将 ln(3) 的比率更改为 "i * ln(3)"：
i
i
i e
e
•==)3ln()3ln()(3
我们认为我们将以 ln(3) 的常规速率进行转换，比 100% 连续增长快一点，因为 e 约为
2.718。

但是哦，不，我让我们转了一圈：现在我们正在以想象的速度转变，这意味着我们只是在旋转。

如果我是一个像 4 这样的普通数字，它会让我们的增长速度提高 4 倍。

现在我们以 ln(3) 的速度增长，但横向增长。

我们应该期待单位圆上的复数——增长率不会增加我们的规模。

求解方程：
i 3 = i e •)3ln(= cos(ln(3)) + isin(ln(3)) = .4548 + .8906i
所以，而不是在圆圈周围结束“1”个单位（比如 ) 我们最终得到 ln(3) 个单位。

例子： i
i
几个月前，这会让我泪流满面。

今天不行！让我们分解一下转换：
i i =1i i
我们从 1 开始，想改变它。

喜欢解决i
3，以i 为基数表示的瞬时增长率是多少？
嗯。

通常我们会做 ln(x) 来获得在 1 个单位时间结束时达到 x 所需的增长率。

但是对于虚率？我们需要解决这个问题。

为了从 1 开始并增长到i ，我们需要从一开始就开始旋转。

多快？好吧，我们需要在 1 个单位时间内获得 90 度（pi/2 弧度）。

所以我们的汇率是. 请记住，我们的速率必须是虚构的，因为我们是在旋转，而不是在增长！朴素的老pi/2 约为 1.57 并导致正常增长。

这应该是有道理的：要在 1 个单位结束时将 1.0 变为i ，我们应该旋转pi/2在那段时间内的弧度（90 度）。

所以，为了得到“i ”，我们可以使用2
π
i
e .
2
π
i
e
i =
呼。

这将 i 描述为基础。

指数呢？
好吧，另一个我告诉我们改变我们的费率——是的，我们花了很长时间才弄清楚这个费率！所以，而不是以速度旋转，这就是i 的基数的意思，我们将比率转换为：
2
12
2
π
π
π
-
=-•=
•i i
i 取消并再次使增长率变为真实！我们轮换了利率并将自己推向负数。

负增长率意味着我们正在萎缩——我们应该期待使事情变小。

它确实：
2.~2
π
-
=e
i i
多田！（在百度上搜索“i^i ”以使用其计算器）
喘口气：您可以直观地弄清楚虚底和虚指数应该如何表现。

哇。

作为奖励，你想出了 ln(i) -- 使 x
e 变成 i ，让 e 旋转 2
π
弧度。

2
)ln(π
•
=i i
例子：(i^i)^i
双虚指数？如果你坚持。

首先，我们知道括号内的增长率是多少：
2
2
)(π
π
-
==e
e i i
i
i
我们得到 -pi/2 的负（收缩）增长率。

现在我们再次通过i 修改该速率：
i i i
i i e
e i 2
2)()(π
π
-==
现在我们有了一个负轮换！我们以 1 倍的速度绕圈2
π
-
每单位时间。

我们去多久？嗯，
在这个指数链的最顶端有一个隐含的“1”时间单位；隐含的默认值是使用 1 个时间单位（就像1e e =）。

1个时间单位给我们一个旋转 -π/2 弧度（-90 度）或 -i!
i i i i -=)(
而且，只是为了踢球，如果我们把这个疯狂的结果平方：
1))((2-=i i i
它“只是”旋转了两倍：2 是一个常规数字，因此在单位时间内将我们的旋转速率翻倍至 -180 度。

或者，您可以将其视为连续两次应用 -90 度旋转。

乍一看，这些是非常奇怪的指数。

但是通过我们的类比，我们可以从容应对。

复杂的增长
我们可以同时拥有实数和虚数的增长：实数部分让我们放大，而虚数部分让我们旋转：
像 (a + bi) 这样的复杂增长率是真实增长率和虚构增长率的混合。

实部 a 表示“以 100%的速度增长a 秒”，虚部 b 表示“旋转b 秒”。

请记住，旋转不会获得复合的好处，因为您一直在不同的方向“推动”——旋转会线性增加。

考虑到这一点，我们可以使用 (a+bi) 表示任何大小圆上的任何点！半径为 角度由下式确定
bi e . 这就像将数字放入 expand -o -tron 两个循环：一次将其增长到正确的大小（a 秒），
另一次将其旋转到正确的角度（b 秒）。

或者，您可以先旋转它，然后再成长！
假设我们想知道达到 6 + 8i 的增长量。

这实际上是在求一个虚数的自然对数：我们如何增加 e 以获得 (6 + 8i)？
● 半径：我们需要多大的圆？嗯，幅度是101008622==+. 这意味着我们需要增长 ln(10) = 2.3 秒才能达到这个数量。

● 旋转量：那个点的角度是多少？我们可以使用 arctan 来计算：atan(8/6) = 53 度 = .93
弧度。

● 合并结果：ln(6+8i) = 2.3 + .93i
也就是说，如果我们使用，我们可以到达随机点 (6 + 8i)i e 93.3.2+ .
为什么这很有用？
欧拉公式为我们提供了另一种描述圆周运动的方法。

但是我们已经可以用正弦和余弦来做到
这一点——有什么特别的？
这都是关于视角的。

正弦和余弦根据网格描述运动，绘制出水平和垂直坐标。

欧拉公式使用极坐标——你的角度和距离是多少？同样，它有两种描述运动的方式：
●网格系统：向东走3 个单位，向北走4 个单位
●极坐标：以53.13 度的角度走5 个单位
根据问题，极坐标或直角坐标更有用。

欧拉公式让我们可以在两者之间进行转换，以使用最适合这项工作的工具。

还有，因为可以转换为正弦和余弦，我们可以将trig 中的公式重写为e 的变体，这非常方便（无需记住sin(a+b)，您可以推导出它-改天再说）。

每个数字，无论是实数还是复数，都是 e 的变体，这很美妙。

但是实用性，灵活性：最重要的结果是认识到，通过正确的类比，令人困惑的方程可以变得直观。

不要让像欧拉公式这样美丽的方程仍然是一个魔法——建立在你知道的类比的基础上，看看方程中的洞察力。

快乐数学。

附录
截屏很有趣，绝对欢迎反馈。

我认为它有助于想法流行，浏览这篇文章帮助我找到直觉中的差距。

参考：
●布赖恩·斯莱辛斯基(Brian Slesinsky)对欧拉公式进行了简洁的介绍
●Visual Complex Analysis 对Euler 公式进行了很好的讨论——请参见第10 页。

●我做了一个关于数学和类比的演讲，它更直观地解释了欧拉的恒等式：。