新人教A版必修高中数学第三章《倾斜角与斜率》

k=- a ,由题意知- a >1 或- a <0,解得-1<a<- 1 或 a<-1 或 a>0.
a 1
a 1
a 1
2
综上知,a<- 1 或 a>0. 2
答案:(-∞,- 1 )∪(0,+∞) 2
课堂探究
题型一 直线的倾斜角、斜率的定义
【例1-1】 直线l的倾斜角为α,斜率为k,则当k=
k=
时,α=135°;当k>0时,α的范围是
即时训练1-1:已知一条直线过点(4,-2)与点(1,-2),则这条直线的倾斜 角为( ) (A)0° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:因为 k= 2 2 =0,所以直线的倾斜角为 0°.故选 A.
4 1
1-2:给出下列命题:
①任意一条直线有唯一的倾斜角;
②一条直线的倾斜角可以为-30°;
(4)若 y1=y2,x1≠x2,则直线与 x 轴平行或重合,斜率 k= 0 =0.
x1 x2 x2 x1
x2 x1
自我检测(教师备用)
1.下列说法正确的是( D ) (A)一条直线和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角 (B)直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 (C)与x轴平行的直线的倾斜角为180° (D)每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率 2.若直线的倾斜角为120°,则直线的斜率为( B )
.
4.斜率与倾斜角之间的关系
当当0°<α<90°时,斜率k>0,且k值增大,倾斜角随着增大;
当α=90°时,斜率k不存在(此时直线是存在的,直线与x轴垂直);
当90°<α<180°时,斜率k<0,且k值增大,倾斜角随着增大.
倾斜角α不是90°的直线都有斜率,倾斜角不同,直线的斜率也不同,因此,
a2 1
a2 1
范围是[ 3π ,π).故选 B. 4
4.若直线l经过二、四象限,则其倾斜角α的范围是 答案:90°<α<180°
5.直线l:ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°,则a的取值范围是
. .
解析:当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90°,符合题意.当 a≠-1 时,直线 l 的斜率
③倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴;
④若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1);
⑤若α是直线l的倾斜角,且sin α= 2 ,则α=45°. 2
其中正确命题的个数是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
解析:任意一条直线有唯一的倾斜角,倾斜角不可能为负,倾斜角为0°的直 线有无数条,它们都垂直于y轴,因此①正确,②③错误.④中α=0°时, sin α=0;α=90°时,sin α=1,故④错误.⑤中α有可能为135°,故⑤错误. 故选A.
方法技巧 (1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图,则直线 向上的方向与x轴的正方向所成的角,即为直线的倾斜角. (2)直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况: ①当0°≤α<90°时,随α的增大,k在[0,+∞)范围内增大; ②当90°<α<180°时,随α的增大,k在(-∞,0)范围内增大.
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
课标要求:1.理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.掌握倾斜角与斜率的对 应关系.3.掌握过两点的直线的斜率公式.
自主学习
知识探究
1.倾斜角与倾斜程度 当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向 之 间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α,且倾斜程度相同 的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.因此,我们 可用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.
题时,一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.
(2)斜率公式中k的值与P1,P2两点在该直线上的位置无关,即在直线l上任 取不同的两点P1,P2,其斜率均不变.
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换,也就是说,如果分子
是 y2-y1,分母必须是 x2-x1;如果分子是 y1-y2,分母必须是 x1-x2,即 k= y1 y2 = y2 y1 .
围是
.
解析:由斜率的定义 k=tan α, 得α=60°时,
k=tan 60°= 3 , 当α=135°时,k=tan 135°=-1,当 k>0 时, 0°<α<90°;当 k<0 时,90°<α<180°.
答案: 3 -1 0°<α<90° 90°<α<180°
时,α=60°;当 ;当k<0时,α的范
2.倾斜角的范围 当直线l与x轴 平行或重合
时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线
的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.具体如下:
α=0°
0°<α<90°
α=90°
90°<α<180 °
3.斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,通常用小写字
母k表示,即 k=tan α
我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.
5.过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为
k y2 y1 x2 x1
.
过程如下:
(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°,所以斜 率公式的适用范围不包括倾斜角α=90°的情况.凡是在研究直线的斜率问
(A) 3
(B)- 3
(C) 3 3
(D)- 3 3
3.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( B )
(A)[0, π ] 4
(B)[ 3π ,π) 4
(C)[0, π ]∪( π ,π)
4
2
(D)[ π , π )∪[ 3π ,π)
42
4
解析:由直线方程可得该直线的斜率为- 1 ,又-1≤- 1 <0,所以倾斜角的取值
【1-2】 设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向 旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( ) (A)α+45° (B)α-135° (C)135°-α (D)当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°,当135°≤α<180°时,倾斜角 为α-135°
解析:由倾斜角的取值范围知只有当45°≤α+45°<180°,即0°≤α<135°时,l1 的倾斜角才是α+45°;又0°≤α<180°,所以当135°≤α<180°时, l1的倾斜角为α-135°(如图所示),故选D.