机械优化设计复习题全集

一、 填空题
1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第
一步迭代的搜索方向为_______________。

2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。

3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。

4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终点，他们的函数值形成趋势高低高。

5. 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。

6. 函数12
T T x Hx B x c ++的梯度为_________。

7. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值的不变
方向。

8. 设G 为n n ⨯对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足
()010d Gd =，则0d ，1d 之间存在共轭关系。

9. 设计变量，目标函数，约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。

10. 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。

11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非
负线性组合。

12. 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间
[][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间_________。

13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。

14. 牛顿法搜索方向k d =()()
21()k k f x f x --∇∇，其计算是大，且要求初始在级极小点附近位置。

15. 将函数()21
12121210460f x x x x x x x =+---+表示成的形式_______。

16. 存在矩阵H ，向量1d ，2d ，当满足()0T i j d Hd =向量1d 和向量2d 是关于H 共轭方向。

17. 采用外点法求约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因
子r 数列，具有_________特点。

18. 采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求最佳步长。

19. 对于一维搜索，搜索区间为[],a b ，中间插入两个点1a ，1b ，11a b <，计算出
()()11f a f b <，则缩短后的搜索区间为[]1,a b 。

20. 由于确定搜索方向和最佳步长的方法不一致，派生出不同的无约束优化问题过程
中，惩罚因子具体有趋于0变化规律。

21. 寻出等式约束极值条件时，将等式优化问题转化为无约束问题的方法有消元法和拉格朗日乘子法。

22. 优化问题中二元函数等值线，从外层向内层函数值逐渐变小
23. 优化设计中，可行设计点为可行域内的设计点。

24. 方向倒数定义为函数在某点处沿某一方向的变化率。

25. 设()f x 为定义在凸集R 上具有连续二阶导数的函数，则()f x 在R 上为凸函数充
分必要条件是海赛矩阵()G x 在R 上处处大于0
26. 在n 维空间中互相共轭的非零向量是个数最多有n 个。

27. 约束优化问题在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。

28. 外点惩罚函数法的迭代过程在可行域外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近边界或等式约束曲面。

二、 选择题
1. 下面___B___方法需要求海赛矩阵。

....A B C D DFP 最速下降法 共轭梯度法 牛顿型法 法
2. 对于约束问题
()()()()221222112213244
10
30
0f x x x x Y x x x Y x x Y x x =+-+=--≤=-≤=≤
根据目标函数等值线和约束曲线，判断()[]11,1T
x =为________，()231,22T
x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为________。

....A B C D 内点；内点 外点；外点 内点；外点 外点；内点
3. 内点惩罚函数用于求解____B___优化问题。

....A B C D 无约束优化问题 只含不等式的约束优化问题
只含等式的优化问题 含有不等式和等式的约束的优化问题
4. 拉格朗日乘子法师求解等式约束优化问题的一种经典法，它是一种__D____。

....A B C D 降维法 消元法 数学规划法 升维法
5. 对于一维搜索，搜索区间为[],a b ，中间插入两个点1a ，1b ，11a b <，计算出
()()11f a f b <，则缩短后的搜索区间为____D____。

[][][][]111111.,.b ,.,.,A a b B b C a b D a b
6. ____D____不是优化设计问题数学模型的基本要素。

....A B C D 设计变量 约束条件 目标函数 最佳步长
7. 变尺度发的迭代公式为()
1k k k k k x x a H f x +=-∇，下列不属于k H 必须满足的条
件是___C______。

....k A H B C D 之间有简单的迭代形式 拟牛顿条件
与海赛矩阵正定 对称正定
8. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的___A_____。

....A B C D 最速上升方向 上升方向 最速下降方向 下降方向
9. 下面四种无约束优化方法中，____C______在构成搜索方向时没有使用到目标
函数的一阶或二阶导数。

....A B C D 梯度法 牛顿法
变尺度法 共轭梯度法
10. 设()f x 为定义在凸集R 上且具有连续二阶导数的函数，则()f x 在R 上为凸
函数的充分必要条件是海赛矩阵()G x 在R 上处处___B_____。

....A B C D 正定 半正定
负定 半负定
11. 通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是___B ____。

....A B C D 牛顿法 梯度法
共轭梯度法 变尺度法
12. 一维搜索试探方法中，黄金分割法比二次插值法的收敛速度____d 。

....A B C D 慢 快
一样 不确定
13. 下列关于最常用的一维搜索试探方法———黄金分割法的叙述，错误的是
__D__，假设要求在区间[],a b 插入两点1a ，2a ，12a a <。

()
()12.0.618...A B a b b a C a b b a D λλ=--=+-其缩短率为 在该方法中缩短搜索区间采用的外推法
14. 与梯度成锐角的方法为函数值__A___方向，与负梯度成锐角的方向为函数值
__B__方向，与梯度成直角的方向为函数值的___C___方向。

....A B C D 上升 下降
不变 为零
15. 二维目标函数的无约束极小点就是___A____。

....A B C D 等值线族的一个共同中心 梯度为0的点
全局最优解 海赛矩阵正定
16. 最速下降法相邻两搜索方向k d 和+1k d 必为向量__B_____。

....A B C D 相切 正交
成锐角 共轭
17. 下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是___A___。

....A B C D 需要求海赛矩阵
除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度
共轭梯度法具有二次收敛性
第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度
18. 下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是___A____。

....A B C D 可用来求解含不等式约束和等式约束的优化问题
惩罚因子是不断递减的正值
初始点应该选择一个离约束边界较远的点
初始点必须在可行域内
19. 设()f x 是定义在凸集D 上具有连续二阶导数的函数，则()f x 在D 上严格凸
函数的充要条件是___A______:
....A Hesse B Hesse C Hesse D Hesse 矩阵处处半正定 矩阵处处正定
矩阵处处半负定 矩阵处处负定
20. 下列几种无约束问题求解方法中，哪种算法需要计算海赛矩阵____A____。

....A B C D 牛顿法 梯度法 共轭梯度法 变尺度法
21. 关于正交方向和共轭方向之间的关系，下列说法正确的是____D_____。

...n .
A B C D 共轭矩阵是正交矩阵的特殊情况 共轭矩阵是正交矩阵的推广
维空间中相互共轭的非零向量个数可以为任一数量
22. 多元函数的海赛矩阵是其___B__偏导数所形成的对称矩阵。

....A B C D 一阶 二阶
三阶 四阶
23. 关于变尺度优化方法的变尺度矩阵k A ，下列说法不正确的是___C___。

....k A A B C D 有简单的迭代形式 应满足拟牛顿条件
与海赛矩阵正交 应为对称正定
24. 关于梯度，下列说法不正确的是___D_____。

....A B C D 与切线方向垂直 是等值面的切线方向
是函数变化率最大的方向 函数最速下降方向
25. 与梯度成锐角的方向为函数值___A_____方向。

....A B C D 上升 下降 不变 为零
三、 判断题
1. 二元函数等值线密度的区域函数值变化慢。

（ⅹ）
2. 海赛矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。

（√）
3. 当迭代接近极值点时，最速下降法会出现锯齿现象，导致收敛速度慢。

（√）
4. 外点惩罚函数法的惩罚因子降低系数越小，则迭代次数越多。

（√）
5. 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向对海赛矩阵共轭。

（ⅹ）
6. 数值迭代法求极值的核心就是建立搜索方向和计算最佳步长。

（√）
7. 海赛矩阵负定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。

（ⅹ）
8. 拉格朗日乘子法师求解无约束优化问题的一种方法。

（ⅹ）
9. 凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。

（√）
10. 一维搜索的二次插值法用到了点的函数值，一阶导数和二阶导数信息。

（ⅹ）
11. 二元函数等值线稀疏的区域函数值变化慢。

（√）
12. 海赛矩阵正定的充要条件是它的主子式都小于零。

（ⅹ）
13. 外点惩罚函数法师只试用于不等式约束问题（ⅹ）
14. 变尺度法求解优化问题时需计算海赛矩阵（ⅹ）
15. 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向相互垂直。

（√）
四、 问答题
1．凸规划
对于约束优化问题
()min f X
..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅
若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。

2．可行搜索方向
是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。

3．设计空间：n 个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合
4．.可靠度
5．收敛性
是指某种迭代程序产生的序列(){}0,1,k X k =⋅⋅⋅收敛于1lim k k X X +*→∞
= 6.非劣解：是指若有m 个目标()()1,2,i f X i m =⋅⋅⋅，当要求m-1个目标函数值不变坏时，找不到一个X ，使得另一个目标函数值()i f X 比()i f X *，则将此X *为非劣解。

7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。

8.可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。

五、 问答题
1．什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？
1）内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。

内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。

内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。

相邻两次迭代的惩
在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。

外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。

外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列。

惩罚因子按下式递增
1(1,2,)k k r cr k -==⋅⋅⋅，式中c 为惩罚因子的递增系数，通常取5~10c =
2．共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。

. 对于二次函数，()12
T T f X X GX b X c =++,从k X 点出发，沿G 的某一共轭方向k d 作一维搜索，到达1k X +点，则1k X +点处的搜索方向j d 应满足
()()10T j k k
d g g +-=，即终点1k X +与始点k X 的梯度之差1k k g g +-与k d 的共轭方向j d 正交。

3．为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？.
答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。

共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。

其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。

所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。

4.写出故障树的基本符号及表示的因果关系。

略
5.算法的收敛准则由哪些？试简单说明。

略
6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说明。

略
7．简述随机方向法的基本思路
答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。

从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的X 值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。

然后将起始点移至X ，重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。

六、 解答题
1．试用牛顿法求()221285f X x x =+的最优解，设()[]01010T
X =。

初始点为()[]01010T
X =，则初始点处的函数值和梯度分别为 ()()0120
121700
164200410140f X x x f X x x =+⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，沿梯度方向进行一维搜索，有 ()0100
00010200102001014010140X X f X αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
()()[]()()()(){}()
αϕααααααα
αmin 14010514010200104200108min min 2000200
01=-⨯+-⨯-⨯+-⨯=∇-=X f X f X f ()001060000596000ϕαα'=-=，
从而算出一维搜索最佳步长 0596000.05622641060000
α==
则第一次迭代设计点位置和函数值01
010200 1.245283010140 2.1283019X αα--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。

按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。

试用梯度法求目标函数()22121211.50.52f X x x x x x =+--的最优解，设初始点
()[]02,4T
x =-，迭代精度0.02ε=（迭代一步）。

1. 求目标函数()2212121224610f X x x x x x x =+++++的极值和极值点。

2. 试证明函数()22212332312252263f X x x x x x x x x =++++-+在点[]1,1,2T
-处具有极小值。

3. 设非线性规划问题
()()()()()2
212112222312min =2.0
10f X x x s tg X x g X x g X x x -+=-≤=-≤=-+-≤
用K-T 条件验证()[]01,0T x =为其约束最优点。

4. 给定约束优化问题
()()()
()()()()22
12221122123142min =32.50240
0f X x x s tg X x x g X x x g X x g X x -+-=+-≤=+-≤=-≤=-≤
验证在点[]3,3T
x =K-T 条件成立。

5. 用共轭梯度法求函数()22121212131,222
f x x x x x x x =---的极小点 6. 已知目标函数为()12= X f X X +，受约束于 ()21120
g X x x =+≤
()220g X x =≥
写出内点惩罚函数。

7. 已知目标函数为()()()22
1212f X x x =-++ 受约束于: ()()()()121212314210
20
g X x x g X x x g X x g X x =---≥=--≥=≥=≥
试写出内点惩罚函数。

8. 已知等式约束问题为：
()2212min =47f X x x ++ ()112.100s th x x x =+-=
试写出外点惩罚函数。

9. 已知目标函数为：
()22121min =221f X x x x +-+
()12.320s tg X x =-≤
试构造两种惩罚项，并写出相应内点惩罚函数。

11、如图，有一块边长为6m 的正方形铝板，四角截去相等的边长为x 的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（x 取何值）才能获得最大容器的箱子。

试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序。

12、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的
程序。

13、一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎
样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计
问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

14、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。

试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

15、薄铁板宽20cm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使
槽的断面积最大。

写出这一优化设计问题的数学模型，并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。

16、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c，高度为h，面积
A=64516mm2，斜边与底边的夹角为θ，见图1。

管道内液体的流速与管道截
面的周长s的倒数成比例关系（s只包括底边和两侧边，不计顶边）。

试按照使液体流速最大确定该管道的参数。

写出这一优化设计问题的数学模型。

并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。

17、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品。

力缆每米需用材料9kg，3个
工时，消耗电能4kW·h，可得利润60元；话缆每米需用材料4kg，10个工时，消耗电能5kW·h，可得利润120元。

若每天材料可供应360kg，有300个工时消耗电能200kW·h可利用。

如要获得最大利润，每天应生产力缆、话缆各多少米？写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。