新素养同步人教B高中数学必修第三册练习：第七章 . 弧度制及其与角度制的换算 含解析

[A 基础达标]

1．－25π6的角是( )

A ．第一象限的角

B ．第二象限的角

C ．第三象限的角

D ．第四象限的角

解析：选D.因为－25π6＝－π

6

－4π，

所以－25π6与－π

6

的终边相同，为第四象限的角．

2．若2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( ) A ．4 cm 2 B ．2 cm 2 C ．4π cm 2

D ．2π cm 2 解析：选A.设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则r ＝l α＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝1

2×4

×2＝4(cm 2)．

3．与30°角终边相同的角的集合是( )

A.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α⎪⎪α＝k ·360°＋π

6，k ∈Z

B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }

C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }

D.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π

6，k ∈Z

解析：选D.因为30°＝30×

π180 rad ＝π

6

rad ， 所以与30°终边相同的所有角可表示为α＝2k π＋π

6，k ∈Z ，故选D.

4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6

D ．8

解析：选C.设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12αr 2＝1

2×4

×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.

5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )

A.π3

B.2π3

C. 3

D ．2

解析：选C.设圆的半径为r ，则圆内接正三角形边长为3r ，所以圆心角的弧度数为3r r

＝ 3.

6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0，2π))的形式是________． 解析：－570°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫570×π180rad ＝－19

6π rad ，

所以－196π＝－4π＋5

6π.

答案：－4π＋5

6

π

7．已知一扇形的周长为π

3＋4，半径r ＝2，则扇形的圆心角为________．

解析：设扇形的圆心角为α，则π

3＋4＝2r ＋2α.

又因为r ＝2，所以α＝π

6.

答案：π6

8．经过点P (a ，a )(a ≠0)的角α的集合是________． 解析：当a >0时，点P (a ，a )在第一象限， 此时α＝2k π＋π

4

，k ∈Z ；

当a <0时，点P (a ，a )在第三象限， 此时α＝2k π＋5

4

π，k ∈Z ，

故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋π

4，k ∈Z .

答案：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α|α＝k π＋π

4，k ∈Z

9．已知角α的终边与－25

3π的终边关于x 轴对称，求角α3在(－π，π)内的值．

解：因为253π与－253π的终边关于x 轴对称，且25

3π＝8π＋π3

，

所以角α与π

3

的终边相同．

所以α＝2k π＋π3(k ∈Z )，α3＝2k π3＋π

9

(k ∈Z )．

因为－π<α3<π，所以－π<2k π3＋π

9<π.

当k ＝－1时，α3＝－5π

9

∈(－π，π)；

当k ＝0时，α3＝π

9

∈(－π，π)；

当k ＝1时，α3＝7π

9

∈(－π，π)．

所以在(－π，π)内α3的值有三个，它们分别是－5π9，π9和7π

9

.

10．已知一个扇形的周长是40.

(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S 的最大值．

解：(1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，

则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，

解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，

r ＝10，

则α＝l

r ＝2(rad)．

故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ， 故S ＝12lr ＝1

2(40－2r )·r

＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100，

故当r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.

[B 能力提升]

11．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的3

2倍，则该弧所对的圆心角

是原来的( )

A.1

2倍 B ．2倍 C.1

3

倍 D ．3倍

解析：选D.设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为l

r ，将半径变为原来的一半，

弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12

r ＝3·l

r

，即弧度数变为原来的3倍．

12．若α是第三象限的角，则π－α

2是( )

A ．第一或第二象限的角

B ．第一或第三象限的角

C ．第二或第三象限的角

D ．第二或第四象限的角

解析：选B.因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋3

2π，k ∈Z ，

k π＋π2<α2<k π＋3

4

π，k ∈Z ，

－k π－3

4π<－α2<－k π－π2

，k ∈Z ，

故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π

2，k ∈Z .

当k 为偶数时，π－α2在第一象限；

当k 为奇数时，π－α

2在第三象限，故选B.

13．(1)把67°30′化成弧度＝________． (2)把3

5π 化成角度＝________．

解析：(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝3

8

π.

(2)3

5π＝⎝

⎛⎭

⎪⎫3π5×180π

° ＝108°. 答案：(1)3

8

π (2)108°

14．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.