高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1.2任意角的三角函数(2)课件新人教a必修4

由 图 形 可 知 ， MP>M′P′ ， 符 号 相 同 ， 则
sin
2π 3
>sin
4π 5
；
OM>OM′，符号相同，则 cos23π>cos45π；AT<AT′，符号相同，则
2π 4π tan 3 <tan 5 .
方法归纳 利用三角函数线比较大小的步骤
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角 的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线 段的正负．
解析：画出单位圆，结合正弦线得出 sinx≥12的角 x 的取值范围 是π6，65π.
答案：B
4．用三角函数线比较 sin1 与 cos1 的大小，结果是________． 解析：如图，sin1＝MP，cos1＝OM.
显然 MP>OM，即 sin1>cos1. 答案：sin1>cos1
解析：如图：sin－58π＝MP，cos－58π＝OM， tan－58π＝AT.
类型二 利用三角函数线比较大小
[例 2] 分别比较 sin23π与 sin45π，cos23π与 cos45π，tan23π与 tan45π 的大小．
【解析】 在直角坐标系中作单位圆如图所示．
以 x 轴非负半轴为始边作23π的终边与单位圆交于 P 点，作 PM⊥Ox，垂足为 M.由单位圆与 Ox 正方向的交点 A 作 Ox 的垂线 与 OP 的反向延长线交于 T 点，则 sin23π＝MP，cos23π＝OM，tan23π＝AT.
同理，可做出45π的正弦线、余弦线和正切线，
sin45π＝M′P′，cos45π＝OM′，tan45π＝AT′.
类型三 利用三角函数线解不等式 [例 3] 利用三角函数线，求满足下列条件的 α 的范围． (1)sinα<－12；(2)cosα> 23.
【解析】 (1)如图①，过点0，－12作 x 轴的平行线交单位圆
于 P，P′两点，则 sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－12，∠xOP＝116π，
课堂探究 互动讲练 类ห้องสมุดไป่ตู้一 三角函数线的作法 [例 1] 做出34π的正弦线、余弦线和正切线．
【解析】 角34π的终边(如图)与单位圆的交点为 P.作 PM 垂直 于 x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线 AT，与34π的终边的反 向延长线交于点 T，则34π的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.
【课标要求】 1.掌握诱导公式一并会应用. 2.会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切. 3.会用三角函数线来解三角不等式问题．
自主学习 基础认识
|新知预习| 1．相关概念 (1)单位圆： 以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段： 带有方向(规定了起点和终点)的线段． 规定：方向与 x 轴或 y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值．
2．正确认识三角函数线 (1)正弦线、余弦线、正切线公别是正弦、余弦、正切函数的几 何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三 角函数值的正负，凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值，反向的为负值． (2)三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给 出了角 α 的三角函数线的画法，即先找到 P，M，T 点，再画出 MP， OM，AT. (3)三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角 函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基 础．
∠xOP′＝76π，故 α 的范围是α76π＋2kπ<α<116π＋2kπ，k∈Z

.

(2)如图②，过点

23，0作
x
轴的垂线与单位圆交于
P，P′两
点，则 cos∠xOP＝cos∠xOP′＝ 23，∠xOP＝π6，∠xOP′＝－π6，
故 α 的范围是α－π6＋2kπ<α<π6＋2kπ，k∈Z
方法归纳
三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点， 然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或 终边的反向延长线于一点 T，即可得到正切线 AT.
跟踪训练 1 作出－58π的正弦线、余弦线和正切线．
|自我尝试| 1．有下列四个说法： ①α 一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α 和 α＋π 有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角终边相同． 不正确说法的个数是( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
解析：①正确．当 α 确定时其 sinα 是确定的． ②不正确．例如π6和56π.③正确；④不正确． 答案：C
2．已知角 α 的正弦线是单位长度的有向线段，那么角 α 的终 边( )
A．在 x 轴上 B．在 y 轴上 C．在直线 y＝x 上 D．在直线 y＝x 或 y＝－x 上
解析：∵sin α＝1 或 sinα＝－1，∴角 α 的终边在 y 轴上． 答案：B
3．在[0,2π]上满足 sinx≥12的角 x 的取值范围是( ) A.0，π6 B.π6，56π C.π6，32π D.56π，π
2．三角函数线
[化解疑难] 1．对诱导公式一的理解 (1)公式一中的 α 可以是任意角，k 是任意整数． (2)公式一从代数的角度揭示了三角函数值的周期变化规律，即 “角的终边绕原点每转动一周，函数值都重复出现．” (3)利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 0～ 2π 内角的三角函数值．
跟踪训练 2 设π4<α<π2，试比较角 α 的正弦线、余弦线和正切 线的长度．如果π2<α<34π，上述长度关系又如何？
解析：如图所示，当π4<α<π2时，角 α 的正弦线为 MP，余弦线 为 OM，正切线为 AT，显然在长度上，AT>MP>OM；
当π2<α<34π时，角 α 的正弦线为 M′P′， 余弦线为 OM′，正切线为 AT′， 显然在长度上，AT′>M′P′>OM′.