11.2.3 空间角的概念及其求法
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高考总复习· 数学
11.2.3 空间角的概念及其求法
高考总复习· 数学
一．异面直线所成的角： （1）.定义 （2）.异面直线所成的角的范围： （3）．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法。
高考总复习· 数学
二．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。
高考总复习· 数学
设EC1与FD1所成的角为
，则:
高考总复习· 数学
EC1 FD1 1 (4) 3 2 2 2 21 cos 2 2 2 2 2 2 14 EC1 FD1 1 3 2 (4) 2 2
2
GE , BA1
或
GE , BA1 2
高考总复习· 数学 求二面角的大小
1.几何法：将二面角问题转化求为其平面角的大小问题， 要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4(1). ②利用三垂线定理及其逆定理，图4(2).最常用。 ③作棱的垂面，图4(3). A
的大小为
60
高考总复习· 数学
[点评与感悟]在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体
3 3 ,1, ) 时，会算得 大小问题，如本题中若取n2 ( 2 2 1 cos BB1 , n2 从而所求二面角为120 2
但依题意只为60 。因为二面角的大小有时为锐角、直角， 有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二 面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
3 BB1 0, （ 3 ,0） 2
高考总复习· 数学 设 平面 AB1 D 的法向量为
n2 ( x, y, z )
n2 AD 0 ∴ n2 B1 D 0
3 3y x 即 2 z 3x
n2 AD 则 n2 B1 D
∴直线
EC1
与
FD1
21 所成的角的余弦值为 14
解法二：延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、 DF，有 D1C1//E1E, D1C1=E1E,则四边形D1E1EC1是平行四边形。 则E1D1//EC1.于是∠E1D1F为直线EC1 与 FD1 所成的角。
高考总复习· 数学 在Rt△BE1F中，
3.锐二面角（方法1）: cos cos m, n
（方法2）： cos cos a, b
高考总复习· 数学
高考总复习· 数学 求异面直线所成的角
如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知 AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别 是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。 求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。
高考总复习· 数学 以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系
3 3 3） B（ ,0,0） 则 A（0,0, 2 2
9 3 （ ,0, 3） ∴ AD 2 2
3 3 B1 , （ 3 ,0） 2 2
9 D（ ,0,0） 2
3 B1 D 3, （ 3 ,0） 2
3 BB （ 3 ,0） 由题意BB1 平面ABD， ∴ 1 0, 2 为平面ABD的法向量。
高考总复习· 数学 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱
3 AA1 3 2
求二面角B1-AD-B的大小。 解: 取BC的中点O，连AO。 由题意 平面 ABC 平面 BCC 1 B1
， D是CB延长线上一点，且BD=BC,
z
A C O B D B1 A1 C1
y
AO BC x ∴ AO 平面 BCC 1 B1
BD 0,a,1） （
∵ 点E在平面ABD上的射影是 ABD 的重心G， ∴ GE 平面ABD， ∴ GE BD 0 解得 a 2
高考总复习· 数学
1 1 2 （ , , ） ∴ GE 3 3 3
∵ GE 平面ABD， ∴GE
BA1 2,2,2） （
为平面ABD的一个法向量。
思路： （1）本题易于建立空间直角坐标系，
高考总复习· 数学
把 EC1 与 FD1 所成角看作向量 EC与FD 1
用向量法求解。
的夹角，
（2）平移线段C1E让C1与D1重合。转化为平面角， 放到三角形中，用几何法求解。
解法一：以A为原点， 分别为x轴、y轴、z轴 AB、 、 1 AD AA 的正向建立空间直角坐标系，则有 D1(0,3,2)、E (3,0,0)、 F(4,1,0)、C1(4,3,2),于是 EC1 (1,3,2), FD1 (4,2,2)
G
解 ： 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴， CB所在直线为y轴， CC 1 所在直线为z轴， 建立直角坐标系，设 ，图所示则 CB a CA
x
A
B
y
高考总复习· 数学
A（a ,0,0）
∴
（ B（0, a ,0） A1 a,0,2） D（0,0,1）
a a a a 2 a a 1 E（ , ,1） G（ , , ） GE , , ） （ 6 6 3 2 2 3 3 3
A1 B 与平面ABD所成的角
的正弦值为
[点评与感悟] ① 因规定直线与平面所成角 [0， ] ，
2 3
2
两向量所成角
[0， ]
2 |
所以用此法向量求出的线面角应满足 |
②一般地，设n是平面M的法向量AB是平面M的一条斜线， A为斜足，则AB与平面M所成的角 为：
（2）直线和平面所成角范围：
高考总复习· 数学 三.二面角：
1.定义：
2．二面角的平面角：
高考总复习· 数学 四．三种空间角的向量法计算公式： 1.异面直线a,b所成的角
cos cos a, b
2.直线与平面(其法向量为)所成的角 sin cos a, n
E1 F
E1 F 2 BF 2
52 12
26
在Rt△D1DE1中,
D1 E1 DE12 DD12 AE12 AD2 DD12 12 32 22 14
FD1 FD 2 DD12 在Rt△D1DF中 CF 2 CD 2 DD12 22 42 22 24
α
θ ω l
n
高考总复习· 数学 如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三 z 角形，∠ACB=900，侧棱AA1=2， C1 D，E分别是CC1与A1B的中点，点E 在平面ABD上的射影是⊿ABD的 A 1 B1 D 重心G。求A1B与平面ABD E C 所成角的大小的余正弦值。
3 9 2 x 2 3z 0 ∴ 3 3x 3y 0 2
∴ 不妨设
3 3 n2 ( ,1, ) 2 2
高考总复习· 数学
由 cos BB1 , n2
BB1 n2 | BB1 | | n2 |
3 3 2 3 32 2
1 2
BB1 , n2 60 故所求二面角 B1 AD B 得
高考总复习· 数学 在△E1FD1中,由余弦定理得：
D1E12 FD12 E1F 2 21 cos E1D1F . 2 D1E1 FD1 14
∴直线 EC1 与
FD1
21 所成的角的余弦值为 14
高考总复习· 数学
[点评与感悟] 解法一与解法二从两个不同角度求异面直线 所成的角．解法一把角的求解转化为向量运算，解法二体现传 统方法作—证—算；应注意体会两种方法的特点．“转化”是求 异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一 般地，异面直线 l1、l2的夹角 的余弦为
由
cos GE , BA1
GE BA1 | GE | | BA1 |
而 A1 B 与平面ABD所成的角 与 GE, BA1 互余，
6 2 3 3
4 3
2 3
2
GE , BA1
高考总复习· 数学 ∴
| AC BD | cos | AC | | BD |
高考总复习· 数学
求直线和平面所成的角
设 为直线
为直线
则有
l 与平面
v
或
n v
所成的角， 与平面
l
的方向向量
2
2
的法向量
n 之间的夹角，
v
பைடு நூலகம்
ω θ α l
P O M N O B A A O P B
4(1)
4(2)
4(3)
高考总复习· 数学 另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角； 2.向量法：①从平面的法向量考虑，
n
n
ω n α θ l β
α θ l
ω
β
n
高考总复习· 数学 ②如果AB、CD分别是二面角 l 的两个面内与 棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为 AB, CD
11.2.3 空间角的概念及其求法
高考总复习· 数学
一．异面直线所成的角： （1）.定义 （2）.异面直线所成的角的范围： （3）．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法。
高考总复习· 数学
二．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。
高考总复习· 数学
设EC1与FD1所成的角为
，则:
高考总复习· 数学
EC1 FD1 1 (4) 3 2 2 2 21 cos 2 2 2 2 2 2 14 EC1 FD1 1 3 2 (4) 2 2
2
GE , BA1
或
GE , BA1 2
高考总复习· 数学 求二面角的大小
1.几何法：将二面角问题转化求为其平面角的大小问题， 要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4(1). ②利用三垂线定理及其逆定理，图4(2).最常用。 ③作棱的垂面，图4(3). A
的大小为
60
高考总复习· 数学
[点评与感悟]在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体
3 3 ,1, ) 时，会算得 大小问题，如本题中若取n2 ( 2 2 1 cos BB1 , n2 从而所求二面角为120 2
但依题意只为60 。因为二面角的大小有时为锐角、直角， 有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二 面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
3 BB1 0, （ 3 ,0） 2
高考总复习· 数学 设 平面 AB1 D 的法向量为
n2 ( x, y, z )
n2 AD 0 ∴ n2 B1 D 0
3 3y x 即 2 z 3x
n2 AD 则 n2 B1 D
∴直线
EC1
与
FD1
21 所成的角的余弦值为 14
解法二：延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、 DF，有 D1C1//E1E, D1C1=E1E,则四边形D1E1EC1是平行四边形。 则E1D1//EC1.于是∠E1D1F为直线EC1 与 FD1 所成的角。
高考总复习· 数学 在Rt△BE1F中，
3.锐二面角（方法1）: cos cos m, n
（方法2）： cos cos a, b
高考总复习· 数学
高考总复习· 数学 求异面直线所成的角
如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知 AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别 是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。 求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。
高考总复习· 数学 以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系
3 3 3） B（ ,0,0） 则 A（0,0, 2 2
9 3 （ ,0, 3） ∴ AD 2 2
3 3 B1 , （ 3 ,0） 2 2
9 D（ ,0,0） 2
3 B1 D 3, （ 3 ,0） 2
3 BB （ 3 ,0） 由题意BB1 平面ABD， ∴ 1 0, 2 为平面ABD的法向量。
高考总复习· 数学 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱
3 AA1 3 2
求二面角B1-AD-B的大小。 解: 取BC的中点O，连AO。 由题意 平面 ABC 平面 BCC 1 B1
， D是CB延长线上一点，且BD=BC,
z
A C O B D B1 A1 C1
y
AO BC x ∴ AO 平面 BCC 1 B1
BD 0,a,1） （
∵ 点E在平面ABD上的射影是 ABD 的重心G， ∴ GE 平面ABD， ∴ GE BD 0 解得 a 2
高考总复习· 数学
1 1 2 （ , , ） ∴ GE 3 3 3
∵ GE 平面ABD， ∴GE
BA1 2,2,2） （
为平面ABD的一个法向量。
思路： （1）本题易于建立空间直角坐标系，
高考总复习· 数学
把 EC1 与 FD1 所成角看作向量 EC与FD 1
用向量法求解。
的夹角，
（2）平移线段C1E让C1与D1重合。转化为平面角， 放到三角形中，用几何法求解。
解法一：以A为原点， 分别为x轴、y轴、z轴 AB、 、 1 AD AA 的正向建立空间直角坐标系，则有 D1(0,3,2)、E (3,0,0)、 F(4,1,0)、C1(4,3,2),于是 EC1 (1,3,2), FD1 (4,2,2)
G
解 ： 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴， CB所在直线为y轴， CC 1 所在直线为z轴， 建立直角坐标系，设 ，图所示则 CB a CA
x
A
B
y
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A（a ,0,0）
∴
（ B（0, a ,0） A1 a,0,2） D（0,0,1）
a a a a 2 a a 1 E（ , ,1） G（ , , ） GE , , ） （ 6 6 3 2 2 3 3 3
A1 B 与平面ABD所成的角
的正弦值为
[点评与感悟] ① 因规定直线与平面所成角 [0， ] ，
2 3
2
两向量所成角
[0， ]
2 |
所以用此法向量求出的线面角应满足 |
②一般地，设n是平面M的法向量AB是平面M的一条斜线， A为斜足，则AB与平面M所成的角 为：
（2）直线和平面所成角范围：
高考总复习· 数学 三.二面角：
1.定义：
2．二面角的平面角：
高考总复习· 数学 四．三种空间角的向量法计算公式： 1.异面直线a,b所成的角
cos cos a, b
2.直线与平面(其法向量为)所成的角 sin cos a, n
E1 F
E1 F 2 BF 2
52 12
26
在Rt△D1DE1中,
D1 E1 DE12 DD12 AE12 AD2 DD12 12 32 22 14
FD1 FD 2 DD12 在Rt△D1DF中 CF 2 CD 2 DD12 22 42 22 24
α
θ ω l
n
高考总复习· 数学 如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三 z 角形，∠ACB=900，侧棱AA1=2， C1 D，E分别是CC1与A1B的中点，点E 在平面ABD上的射影是⊿ABD的 A 1 B1 D 重心G。求A1B与平面ABD E C 所成角的大小的余正弦值。
3 9 2 x 2 3z 0 ∴ 3 3x 3y 0 2
∴ 不妨设
3 3 n2 ( ,1, ) 2 2
高考总复习· 数学
由 cos BB1 , n2
BB1 n2 | BB1 | | n2 |
3 3 2 3 32 2
1 2
BB1 , n2 60 故所求二面角 B1 AD B 得
高考总复习· 数学 在△E1FD1中,由余弦定理得：
D1E12 FD12 E1F 2 21 cos E1D1F . 2 D1E1 FD1 14
∴直线 EC1 与
FD1
21 所成的角的余弦值为 14
高考总复习· 数学
[点评与感悟] 解法一与解法二从两个不同角度求异面直线 所成的角．解法一把角的求解转化为向量运算，解法二体现传 统方法作—证—算；应注意体会两种方法的特点．“转化”是求 异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一 般地，异面直线 l1、l2的夹角 的余弦为
由
cos GE , BA1
GE BA1 | GE | | BA1 |
而 A1 B 与平面ABD所成的角 与 GE, BA1 互余，
6 2 3 3
4 3
2 3
2
GE , BA1
高考总复习· 数学 ∴
| AC BD | cos | AC | | BD |
高考总复习· 数学
求直线和平面所成的角
设 为直线
为直线
则有
l 与平面
v
或
n v
所成的角， 与平面
l
的方向向量
2
2
的法向量
n 之间的夹角，
v
பைடு நூலகம்
ω θ α l
P O M N O B A A O P B
4(1)
4(2)
4(3)
高考总复习· 数学 另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角； 2.向量法：①从平面的法向量考虑，
n
n
ω n α θ l β
α θ l
ω
β
n
高考总复习· 数学 ②如果AB、CD分别是二面角 l 的两个面内与 棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为 AB, CD