中点常见的辅助线八年级
初中数学常见辅助线做法
初中数学常用辅助线一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线;2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循;举例如下：1平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线2等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形;出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形;3等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形;4直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线;出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形;5三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形;6全等三角形：全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转;当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线7相似三角形：相似三角形有平行线型带平行线的相似三角形,相交线型,旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时中点可看成比为1可添加平行线得平行线型相似三角形;若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向,这类题目中往往有多种浅线方法;8特殊角直角三角形当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明9半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点,添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等组成一样;二．基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目,常将中线加倍;含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题;方法2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题;方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理;方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段;2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下：1连对角线或平移对角线：2过顶点作对边的垂线构造直角三角形3连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形;它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决;辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有：1在梯形内部平移一腰;2梯形外平移一腰3梯形内平移两腰4延长两腰5过梯形上底的两端点向下底作高6平移对角线7连接梯形一顶点及一腰的中点;8过一腰的中点作另一腰的平行线;9作中位线当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的;通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键;4.圆中常用辅助线的添法在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的;1见弦作弦心距有关弦的问题,常作其弦心距有时还须作出相应的半径,通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系;2见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题;3见切线作半径命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题;4两圆相切作公切线对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系;5两圆相交作公共弦对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来;。
苏科版八年级数学上册1.2《全等三角形》中常见辅助线
全等三角形⑴----常见辅助线一.已知中点D1.线段倍长（或作平行线）A模型：如图，已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则△AOB≌△COD(SAS) C⑴.如图，在△ABC中，D是BC边的中点. BB A①.求证：AB+AC>2AD;②.若AB=5,AC=7,AD的取值范围为.CD1⑵如图，CE是△ACD中线，点B在AD的延长线上，BD=AC,∠ACD=∠ADC，求证：CE= BC.2CA BDEE⑶.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.DAB CME⑷.如图，四边形BEFC中，D为BC中点，∠EDF=90 ，求证：BE+FC>EF.FB CD2.作垂线(知中点作垂线；证中点作垂线)C模型：如图，OA=OB,BC⊥CD,AD⊥CD,则△AOD ≌△BOC(AAS) A⑴.如图，△ABC 中，D 为 BC 的中点.BO①在图中作出 CM⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点 M,N; D②⑵求证：DM=DN; ③若 AD=3，求 AM+AN 的值.A DBC⑵.如图，CD 为△ABC 的角平分线，E,F 分别在 CD,BD 上，且 DA=DF,EF=AC.求证：EF ∥BC.C EBADFE⑶.如图，BC⊥CE,BC=CE,AC⊥CD,AC=CD,DE 交 AC 的延长线于点 M,M 是 DE 的中点. ①求证：AB⊥AC;②若 AB=8，求 CM 的长.BAC MD⑷.如图，已知 A(-2,1),C(0,2),且 C 为线段 AB 的中点，求点 B 的坐标.y BCAxO3.证中点【方法技巧】证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线，或过线段的两端点向过中点的线段作垂线，根据AAS或ASA构造全等三角形，证题关键往往是证明一组对应边相等.【作平行证中点】⑴.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D,E分别是AC和AC的延长线上的点，连接BD,BE,若AB=CE，∠DBC=∠EBC.求证：D是AC的中点.ADCBE⑵.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE于点H,延长AH交BC于点M.求证：M是BC的中点.ADHCB ME【作垂线证中点】⑶.如图，AB⊥AC,AB=AC,D是AB上一点，CE⊥CD,CE=CD,连接BE交AC于点F，求证：F是BE的中点.EAFDB C⑷如图，A,B,C三点共线，D,C,E三点共线，∠A=∠DBC,EF⊥AC于点F，AE=BD.①求证：C是DE的中点；②求证：AB=2CF. ABFD E二、线段的和差处理1.等线段代换法C⑴如图，CD为△ABC的中线，M,N分别为直线CD上的点，且BM∥AN.①求证：AN=BM;②求证：CM+CN=2CDMA BDN⑵如图，△ABC中，∠BAC=90︒，AB=AC,AN是过点A的一条直线，且BM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N.①求证：AM=CN；②求证：MN=BM-CN.AMCBN⑶如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且AD平分∠BAC,CE⊥AB于点E，交AD于点F.①求证：BD=CD; A②若AF=BC,求证：AC-CE=EF.E FB CD⑷.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90︒，D为BC延长线上一点，BF⊥AD于点F，交AC于点E. A①求证：BE=AD；②过C点作CM∥AB交AD于点M，连接EM，求证：BE=AM+EM. FEMB DC2.截长补短法（直接和间接）如图，△ABC 中，∠CAB=∠CBA=45 ，CA=CB,点 E 为 BC 的中点，CN ⊥AE 交 AB 于点 N. ①求证：∠1=∠2；②求证：AE=CN+EN. （用多种方法） 方法 1：直接截长BN E12CA方法 2：间接载长BN E12CA方法 3：直接补短BN E12C AAB方法 4：间接补短N E12C三、角平分线模型 A1.作垂线1 P模型：如图，∠1=∠2，PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB. 2O B⑴如图，△ABC中，CD是角平分线，AC=3,BC=5,求S△ACD∶S△BCD的值.CBA D⑵.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BE.CDBA E⑶.如图，△ABC中，AC>AB,F为BC的中点，FD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AC于点E.A C-A B①求证：BD=CD;②求证：AB+AC=2AE;③直接写出的值C EA是.EFB CD⑷如图，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠1=∠2，AB⊥BD于点M.①求证：AD平分△BDC的B D-CD A外角；②求的值.D M B 1M2C D2.截长补短 A模型：如图，若∠AOP=∠BOP,OA=OB，则△OAP≌△OBP P ⑴.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180 ，求证：CD=CB. O BCD12B B⑵.△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC，AE=AC，连DE.①求证：∠C>∠B;②若AB-AC=2,BC=3，求△BED的周长.AB CD⑶.如图，AD∥BC，E是CD上一点,且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BCCED12 43A B⑷.如图，BC>AB,AD=CD，∠1=∠2，探究∠BAD与∠C之间的数量关系.(多种方法)D DA A1 12 2B C CB3.角平分线+垂线：延长法 AC 模型：如图，若∠1=∠2，AC⊥OC，延长AC交OB于点B，则△OCA≌△OCB.⑴.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，探究∠ACE，∠B，O B∠ECD之间的数量关系.AEB CD⑵.如图，在△ABC中，AB<BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P点，连接PC，若△ABC的面积为4，求△BPC 的面积.APB C⑶.如图，在△AOB中，AO=OB，∠AOB=90 ，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD=2AE.AEDBO⑷.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA.①求证：AE⊥BE；②求证：DE=CE；③若AE=4,BE=6,求四边形ABCD的面积.DAEBC四、半角与倍角模型⑴如图，已知 AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点 C 作 NC⊥AC 交 AN 于点 N,过点 B 作 BM⊥AB 交 AM 于点 M ，连接 MN.①当∠MAN 在∠BAC 内部时，求证：BM+CN=MN.MBNCA②如图，在①的条件下，当 AM 和 AN 在 AB 同侧时，①的结论是否成立？请说明理由.NCMBA⑵如图，在△ABC 中，CA=CB,∠ACB=120°,E 为 AB 上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°,求证： DE-AD=BE.CABED⑶如图，在△ABC 中，CA=CB,∠ACB=120°,点 E 为 AB 上一点，∠DCE=∠DAE=60°,求证：AD+DE=BE.DCBAE1 ⑷.①如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F 分别是 BC,CD 上的点，且∠EAF= ∠2 DBAD,求证：EF=BE+DF;AFCBE②如图 2，在①条件下，若将△AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点 E,F 分别 FD运动到 BC,CD 延长线上时，则 EF,BE,DF 之间的数量关系是.A。
人教版八年级上册几何常用辅助线秘籍
几何常用辅助线秘籍一、知识要点关于全等的辅助线有以下常见的作法(1) 有角平分线时，常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形(2) 在三角形中有中线时，常采取延长中线变为原来的两倍，构造全等三角形来解决(3) 截长补短法：当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况：①a＞b；②a±b＝c；③a±b＝c±d中的其中一种情况时采用二、例题解析【例1】如图，点P为△AEF外一点，P A平分∠EAF，PE＝PF，PB⊥AE于B，求证：AF－AB ＝BE【例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE ＋CD【例3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．若直线l过顶点A，BM⊥l于M，若l平分∠BAC，求证：(1) AD＝2BM；(2) ∠CMA＝45°【例4】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点，连结CE、CD，求证：CD＝2EC【例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F(1) 求证：点F是ED的中点(2) 求证：S△AB C＝2S△BEF【例7】如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为△ABC的一个外角∠ABF 的平分线上一点，且∠ADC＝45°，CD交AB于E(1) 求证：AD＝CD(2) 求AE的长三、课堂练习如图，△ABC中，CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，求证：CN＋EN＝AE四、反馈练习1．如图，四边形ABCD中，AB＞AD，AC平分∠BAD，CE⊥AD于E点，若∠B＋∠ADC＝180°，求证；CD＝CB2．(1) 如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求：∠C∶∠B (2) 如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC。
八年级上-常见全等辅助线
常见全等辅助线知识集结知识元倍长中线型知识讲解倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类：倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线.其中后两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型的本质都是构造“8字型”全等，主要分成三类处理方法：（1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长BD至E，使得DE=BD，连结AE.2.倍长过中点的任意线段型——这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长FD至E，使得DE=DF，连结AE.3.平行线构造“8字型”——中点不是三角形的边的中点，具体模型如下：已知：点E为DF的中点作法：过点D作DM//AF，交AC于点M.另外，平行线构造“8字型”的模型还可以有以下两种类型：例题精讲倍长中线型例1.已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是．例2.'如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．'例3.'【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．'倍长过中点的任意线段型知识讲解当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线段，构造“8字型”全等.例题精讲倍长过中点的任意线段型例1.'如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．'例2.'如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．'平行线构造“8字型”知识讲解当题目中出现中点，但此中点不是三角形的某条边的中点，只是与三角形某条边有交点时，则可以考虑利用作平行线的方法构造“8字型”的全等.例题精讲平行线构造“8字型”例1.'如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．'例2.'如图，AC∥BD，E为CD的中点，AE⊥BE（1）求证：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；（2）线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明．'例3.'阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．'截长法添加辅助线知识讲解在已知条件中、证明的结论中出现某三条线段，甚至是四条线段的关系时（或者猜想某三条线段的关系时），优先考虑的就是方法就是截长、补短法.截长和补短是两种方法：截长是把长线段截成两条短线段；补短是把两条短线段之一补成一条长线段，两种方法有时候可以通用，但是由于证明方法和已知条件的局限性，有时候会需要学生辨别一下具体使用截长还是补短，所以分析已知条件非常重要.举例说明：1.当三线关系出现在已知条件中，如：已知AC=AB+BD，则（1）截长法具体操作：在线段AC上截取AM=AB条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AM=AB和CM=BD”【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法具体操作：延长AB至N，使得AN=AC条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AN=AC和BN=BD”【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.2.当三线关系出现在待证明的结论中，如：证明AC=AB+BD，则（1）截长法具体操作：在线段AC上截取AM=AB条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“CM=BD”，而多出了一个已知条件“AM=AB”【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法具体操作：延长AB至N，使得AN=AC条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“BN=BD”，而多出了一个已知条件“AN=AC”【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.例题精讲截长法添加辅助线例1.'如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD．'例2.'如图，△ABC中，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点O，说明AE+CD=AC的理由．'例3.'如图1，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点P为△ABC三条平分线的交点，连PA，PB，PC．（1）求证：BC=AB+AP；（2）如图2，若将“∠ABC=45°”变为“∠ABC=60°”，其余条件不变，求证：AC=AB+BP．'补短法添加辅助线知识讲解当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其补短法是将某一条短线段补成长线段，再分别证明线段相等.例题精讲补短法添加辅助线例1.'如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．'例2.'（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．'当堂练习填空题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是．解答题练习1.'如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．'练习2.'如图：在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，CE=BD，DG=GE．求证：AB=AC．'如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF．'练习4.'如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．'练习5.'如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．'练习6.'如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．'练习7.'如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．'练习8.'如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．'练习9.'如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．'练习10.'ABCD是正方形，P为BC上任意一点，∠PAD的平分线交CD于Q，求证：DQ=AP-BP．'练习11.'如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD．'练习12.'已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．'。
中考数学10大类辅助线
中考数学10大类辅助线
中考数学中，常见的辅助线有以下10大类：
1.垂直辅助线：通过一个点和另一直线的垂直线，常用于求两条
直线的垂直关系、求直角三角形等问题。
2.平行辅助线：通过一点和一条直线，与已知的另一直线平行，
常用于求两条直线的平行关系、求平行四边形等问题。
3.中垂线：将一个线段的中点与另一点相连的线段，用于求线段
的中点、判断三角形的等腰性质等问题。
4.角平分线：将一个角分成两个相等的角的线段，通常用于求角
的平分线、求角的刻度等问题。
5.对称辅助线：通过一个点，找到与已知点关于某一直线对称的点，用于求对称点的位置、对称图形等问题。
6.高线：将一个顶点到对立边的垂线段，常用于求三角形的高度、找到垂心等问题。
7.过定点画圆：通过一个已知点和一个已知的半径，画出以该点为圆心的圆，常用于求圆的位置关系、圆与线的交点等问题。
8.过三点画圆：通过给定的三个点，画出以这三点为圆上三个点的圆，用于求圆与三角形的关系等问题。
9.共轭辅助线：通过两个点，在给定条件下找到与已知直线共轭的直线，常用于求一对共轭角、共轭点等问题。
10.谁是谁的辅助线：在解题过程中，发现和已知量之间存在特定的几何关系时，可以将某个量作为另一个量的辅助线，通过推导或等式的变形求解。
以上是中考数学中常用的10大类辅助线。
通过合理地运用这些辅助线，可以帮助我们更好地解决各种几何问题，提高解题的效率和准确性。
与中点有关的引辅助线方法
与中点有关的引辅助线方法中点是平面几何中一个重要的概念，它与图形的对称性、平行性、垂直性等性质有着密切的关系。
为了帮助解决与中点有关的问题，我们可以使用引辅助线的方法。
下面我将介绍一些与中点有关的引辅助线方法。
1.引中点辅助线法这是最基本的与中点有关的引辅助线方法。
当我们需要求线段的中点时，可以通过引一条过该线段两端点的直线，然后取该直线上的中点即可。
这样，我们就引出了一个与中点有关的辅助线。
2.引垂直平分线法当我们需要将一个线段平分时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线与线段的中点相交。
这样，该垂直直线就成为了该线段的垂直平分线。
3.引中垂线法当我们需要求一个线段的中垂线时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线的中点与该线段的中点相连。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是该线段的中垂线。
4.引平行线法当我们需要构造一个与条直线平行的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的平行线，并让该平行线上的距离与该点到该直线的距离相等。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线平行的直线。
5.引垂直线法当我们需要构造一个与条直线垂直的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的垂直线，并让该垂直线与原直线相交。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线垂直的直线。
以上就是与中点有关的几种常用引辅助线方法。
利用这些方法，我们可以更方便地解决与中点有关的问题。
当我们遇到与中点有关的几何问题时，可以根据具体情况选择合适的引辅助线方法，并运用相关的定理和性质进行推导和证明。
通过加深对中点的理解和运用，我们能够更好地掌握几何知识，提高解题的能力。
初中几何辅助线大全
初中几何辅助线等腰三角形1、作底边上的高,构成两个全等的直角三角形,这就是用得最多的一种方法;2、作一腰上的高;3 、过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。
梯形1、垂直于平行边2、垂直于下底,延长上底作一腰的平行线3、平行于两条斜边4、作两条垂直于下底的垂线5、延长两条斜边做成一个三角形菱形1、连接两对角2、做高平行四边形1、垂直于平行边2、作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3、做高——形内形外都要注意矩形1、对角线2、作垂线很简单。
无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD、、、、这类的就就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股,A字形等。
三角形图中有角平分线,可向两边作垂线(垂线段相等)。
也可将图对折瞧,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试瞧。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线,见中线延长一倍在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中,常作平行线。
作平行线时往往就是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点与一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试瞧。
平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
初中 几何 辅助线 思路
初中几何辅助线思路
在初中几何中，当我们遇到一些看似复杂的问题时，常常需要添加辅助线来帮助我们解决问题。
以下是一些常见的添加辅助线的思路：
1. 构造中点：通过构造中点，我们可以利用中点定理来解决问题。
中点定理告诉我们，如果一条线段的中点被找到，那么可以通过这条中点作一条垂线或平行线，将问题简化为一个更简单的问题。
2. 延长或截取：在某些情况下，通过延长或截取线段，我们可以使图形的形状更加明显，从而更容易找到解题思路。
3. 平行线构造：平行线的性质可以为我们提供很多有用的信息。
通过构造平行线，我们可以利用平行线的性质来解决问题。
4. 作垂线：在处理与矩形、菱形等四边形有关的问题时，我们可以通过作垂线来构造直角三角形，从而利用勾股定理等三角函数性质来解决问题。
5. 利用30度角：在一些与30度角有关的问题中，我们可以构造一条过30度角的线段，从而利用30度角的一些特殊性质来解决问题。
6. 连接两点：连接两点构造一条线段，可以通过这条线段找到一些与问题相关的信息，从而更容易解决问题。
7. 作平行四边形：通过作平行四边形，我们可以利用平行四边形的性质来解决问题。
8、在添加辅助线时，我们需要注意以下几点：
要明确添加辅助线的目的，不要为了添加而添加。
要根据题目的条件和要求，选择合适的方法添加辅助线。
在添加辅助线后，要仔细分析图形的形状和性质，从而找到解决问题的关键点。
总之，在初中几何中添加辅助线是一项非常重要的技能。
通过不断练习和掌握常见的辅助线方法，我们可以更好地解决各种几何问题，提高自己的数学水平。
中点常见的辅助线
（五）条件中无中点时，完善图形得中位线：
如图，△ABC边长分别为AB=14，BC=16，AC=26，P为∠A的平分线AD 上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是_______．
练习：
在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D，E为AB的中点,求证：DE=
1 BC 2
（三）添加三角形的第三边，构建中位线：
如图，已知E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H为AC 边上的两个三等分点，连EG、FH，且延长后交于点D， 求证：四边形ABCD是平行四边形
（四）添加三角形的另一边并取中点，构建中位线： 在四边形ABCD中，E、F、M分别是AB、CD、BD的中点，AD=BC． 求证：∠EFM=∠FEM．
A
B
E
D
C
3、等腰三角形：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合（三线合一）。
3、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点， N为AC中点，求证：MN⊥AC．
C D A N M B
四、两个或多个中点常见的辅助线： 当图中有多个中点时，同时还要考虑中位线，
中点常见的辅助线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与中点有关的辅助线
1、三角形的中线：延长中线至一倍，构建全等三角形 2、直角三角形：斜边上的中线等于斜边的一半 3、等腰三角形：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合（三线合一）。 4、三角形的中位线：平行于第三边，并且等于第 三边的一半。
1、三角形的中线：延长中线至一倍，构建全等三角形
1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=2， AC=4，则AD的取值范围是________．
A
B
初中几何辅助线大全(很详细哦)
初中几何辅助线大全(很详细哦)初中几何辅助线―克胜秘籍等腰三角形1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2.作一腰上的高；3.将底边的一端作为底边的垂直线交叉，并与另一条腰部的延长线相交，形成直角三角形。
梯形1.垂直于平行边2.垂直于下底，将上底延伸为一条平行于两条斜边的腰部3的平行线4使两条垂直于底部的垂直线5延伸两条斜边，形成一个三角形菱形1.连接两对角2.做高平行四边形1.垂直于平行边2.按对角线将平行四边形分成两个三角形，高度为3-注意形状内外的矩形1.对角线2.作垂线很简单。
无论是哪一个主题，第一个都应该考虑主题的要求，例如Ab= AC+BD，这样的方法是找到另一个与AB长度相同的线段的方法，然后证明A+BD＝另一个AB。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形的中点连接成一条中线。
三角形中有中线、延长中线和其他中线。
解几何题时如何画辅助线?① 在中点处看到中线，并将中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
② 在证明比例线段时，通常使用平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③ 对于梯形问题，添加辅助线的常用方法有：1。
穿过上底的两个端点用作下底的垂直线；2.穿过上底的一个端点用作一条腰部的平行线；3.穿过上底部的一个端点用作对角线的平行线；4.穿过一根腰部的中点用作另一根腰部的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形的平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
初中几何辅助线大全及口诀
作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
例谈中点问题的几种辅助线的作法
二、 作平行线 。 构造全等三角形 已知 三角形一边 的中点 ， 我们 可以经 过其 中一 个顶 点作对边 的平行线 ， 构造“ 型 图， ” 从而可 以得 到全等三角形 。 Ａ Ｄ 例 ２ 已知 ： 图 ２ Ａ Ｃ 如 ， Ｂ
＝
又 Ｅ 是△Ｂ Ｃ的 中位线 ， Ｍ Ａ Ｅ Ｍ∥Ａ 即 Ｅ Ｃ， ＭＢ＝ Ｃ 。
・ ． ． ‘ ． ‘
Ｍ Ｄ＝ Ｂ Ｄ一 Ｅ Ｄ＝ Ｂ一÷ Ｂ＝ Ｅ Ｅ Ｍ
二
忸 ＝９＊ Ａ ＋ Ｂ ＝ Ｃ ， ０， Ｄ Ｃ Ｄ
Ｃ，
’ ． ．
为佃 的中点 ， 求证 ： Ｄ Ｃ＝ Ｅ
９ 。
仍 ＝ Ｍ ＥＤ ，
证明 ： 长 Ｄ 交 Ｃ 延 Ｅ， Ｂ的延 长线 于点 Ｆ 。
Ｕ
思路方法
３ ７
例 谈 中点 问题 的几 种 辅 助 线 的作 法
■ 娄
在研究几何图形时 ， 若有涉及 中点的问题 ， 我们 常需要添加一些适 当的辅助线来解 答 问题 ， 果能 如 够把这一类问题的一般 方法作 出全面 的归纳 ， 那将 对我们思考问题是很有益处的。 作等腰 三角形底边上的 中线 在等腰三角形中 ， 作它底边上的中线 ， 我们可利 用等腰三角形“ 三线合一” 的性质来解答 问题 。 例 １ 已知 ： 图 １点 Ｄ、 如 ， Ｅ
‘
．
．
的中点问题 ， 了构造 全 等 （ 除 即作 Ｂ Ｍ∥ Ｃ ， Ａ Ｆ交 Ｄ 的延 长线 于点 ） ， 外 也可 以过 中点 Ｄ作平 行线 ， 构
造中位线 。 证明 ： Ｄ 作 Ｇ∥ｃ 交 Ｂ Ｆ， Ｆ于 ｃ，
则 Ａ Ｅ Ｅ： Ｄ＝Ａ 彤 。 Ｆ：
又 ＢＤ＝Ａ ． Ｂ ０，‘ Ｄ：Ａ ． Ｇ。
初中数学几何题常见辅助线作法
几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，倍长中线得全等。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为三角或平四。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径联。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
初中几何常见辅助线作法口诀大全
初中几何常见辅助线作法口诀大全人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接那么成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上假设有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
假设是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
(完整版)初中数学添加辅助线的方法汇总
初中数学添加辅助线的方法汇总作辅助线的基本方法一：中点、中位线，延长线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、夕卜离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
(完整版)初二数学辅助线常用做法及例题(含答案)
DCB A常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
初中几何辅助线大全及口诀
初中几何辅助线大全及口诀
初中几何辅助线大全及口诀可以帮助同学们在解题时更高效地添加辅助线，解决几何问题。
下面是一些常见的辅助线和口诀:
一、常见辅助线:
1. 过中点作中位线;
2. 见中线延长一倍;
3. 见中点，引中位线;
4. 遇比例线段，常作平行线;
5. 梯形问题，常作垂线;
6. 遇切线问题，常连结过切点的半径;
7. 遇弦的问题，常作弦心距。
二、常见定理:
1. 三角形内角和定理;
2. 平行线的性质定理;
3. 中位线定理;
4. 命题等价性定理;
5. 相似三角形判定定理;
6. 直角三角形判定定理。
三、口诀:
1. 直角三角形直角边平方等于斜边平方加直角边平方;
2. 三角形两边之和大于第三边;
3. 三角形三边长度比等于斜边夹角角度比;
4. 梯形问题，常作垂线;
5. 遇切线问题，常连结过切点的半径;
6. 遇弦的问题，常作弦心距。
这些辅助线和口诀可以帮助同学们更好地解决几何问题，提高解题效率。
同时，辅助线添加的技巧也需要同学们在实际解题中不断练习和总结，才能更好地掌握和应用。
初中数学复习几何模型专题讲解1---中点相关的辅助线问题
初中数学复习几何模型专题讲解 专题01 中点相关的辅助线问题1．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EBAC EC=；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】①根据面积法可得ABE ACE S ABS AC ∆∆=，ABE ACE S BE S CE∆∆=，从而可得①正确；②由AD 是中线，无法得出1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠，故可判断②错误；③运用SAS 证明ADC MDB ∆≅∆得AC MB =，在AMB ∆中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在AB 上截取AN AC =，连接FN ，运用SAS 证明AFN AFC ∆≅∆得NF CF =，在BNF ∆中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④．【解析】①过E 作EG AB ⊥于G ，EH AC ⊥于H ，过A 作AK BC ⊥于K ，AE ∵是BAC ∠角平分线，EG AB ⊥，EH AC ⊥，EG EH ∴=，1212ABE ACEAB EGS ABS AC AC EH ∆∆⋅∴==⋅，AK BC ⊥，12ABE S BE AK ∆∴=⋅，12ACE S CE AK ∆=⋅1212ABE ACE BE AKS BE S CE CE AK ∆∆⋅∴==⋅，AB EB AC EC ∴=，故①正确；②180BAC ACB ABC ∠+∠+∠=︒180()BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠+∠，AE ∵平分BAC ∠，1190()22BAE CAE BAC ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒-∠+∠， AD 是中线，∴无法得出1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠，故②错误；③延长AD 到M 使DM AD =，连接BM ，AD 是中线，BD CD ∴=，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD ADC MDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC MDB SAS ∴∆≅∆，AC MB ∴=在AMB ∆中，AB BM AM AB BM -<<+2AM AD DM AD =+=，AC BM =，2AB AC AD AB AC ∴-<<+ 11()()22AB AC AD AB AC ∴-<<+，故③正确； ④在AB 上截取AN AC =，连接FN ，AE ∵是角平分线，NAF CAF ∴∠=∠，在AFN ∆和AFC ∆中，AN AC NAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFN AFC SAS ∴∆≅∆，NF CF ∴=，在BNF ∆中，BF NF BN -<，BN AB AN AB AC =-=-，BF CF AB AC ∴-<-，即AB CF AC BF +>+，故④正确； 综上①③④正确．故选B ．【小结】此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线．2．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，则AD 的取值范围是（ ）A ．3<AD<13B ．1.5<AD<6.5C ．2.5<AD<7.5D ．10<AD<16【分析】延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，证明△ADC ≌△EDB 就可以得出BE=AC ，根据三角形的三边关系就可以得出结论． 【解析】延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．在△ADC和△EDB中，CD BDADC BDEAD DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE．∵AB-BE＜AE＜AB+BE，∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．∵AB=8，AC=5，∴1.5＜AD＜6.5．故选：B【小结】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．3．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（）A．1＜AB＜11B．4＜AB＜13C．4＜AB＜16D．11＜AB＜16【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【解析】如图，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，∵AD＝5，∴AE＝5＋5＝10，∵10＋6＝16，10−6＝4，∴4＜CE＜16，即4＜AB＜16．故选：C．【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．4．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 度数．【解析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，∵四边形ABCF 是平行四边形， ∴AB ∥CF ，AB ＝CF ，∴∠NAE ＝∠F ， ∵点E 是的AF 中点，∴AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE FAE FE AEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△NAE ≌△CFE （ASA ），∴NE ＝CE ，NA＝CF ，∵AB ＝CF ，∴NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝BN ，∠N ＝∠NCB ，∵CD ⊥AB 于D ，即∠NDC ＝90°且NE ＝CE ，∴DE ＝12NC ＝NE ， ∴∠N ＝∠NDE ＝50°＝∠NCB ，∴∠B ＝80°．故选：D ．【小结】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．5．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x 的取值范围是_____． 【分析】由“SAS ”可证△BDE ≌△CDA ，可得BE ＝AC ＝6，AE ＝2x ，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．【解析】如图所示，AB ＝4，AC ＝6，延长AD 至E ，使AD ＝DE ，连接BE 、EC ，设AD ＝x ，在△BDE 与△CDA 中，AD DE ADC BDE BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDA （SAS ），∴BE ＝AC ＝6，AE ＝2x ，在△ABE 中，BE ﹣AB ＜AE ＜AB +BE ，即6﹣4＜2x ＜6+4，∴1＜x ＜5，【小结】考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造全等三角形及三角形的三边关系．6．如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边CD ，AD 的中点，CF 与EA 、EB分别交于点M 、N ．已知8AB =，12BC =，则MN 的长为______________．【分析】延长BE ，AD 交于Q ，已知8AB =，12BC =，则10CF =，因为E 为CD 中点，即可得()QDE BCE AAS ∆∆≌，通过QNF BNC ∆∆∽，根据对应边成比例可得FN 、CN 的长；同理延长CF ，BA 交于点W ，即可求出CM 的长，即可得MN ． 【解析】延长BE ，AD 交于Q ，∵四边形ABCD 为矩形，12BC =，∴90BAD ∠=︒，12AD BC ==，//AD BC ， ∵F 为AD 中点，∴6DF AF ==，在Rt CDF ∆中，8CD AB ==，由勾股定理得：10CF ==， ∵//AD BC ，Q EBC ∠=∠，E 为CD 中点，8CD =，∴4DE CE ==，在QDE ∆与BCE ∆中，DQE CBEDEQ CEB DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴，∴，即，∵，∴，∴， ∵，∴，，()QDE BCE AAS ∆∆≌12DQ BC ==18QF DQ DF =+=//AD BC QNF BNC ∆∆∽32FN QF CN BC ==CF 10=365FN CF ==245CN CF ==延长，交于点，∵为中点，∴，在与中，，∴，∴，∴，， ∴，∵，∴，∴，∴， ∴，即的长度为．【小结】本题考查全等三角形、相似三角形的判定与性质相结合，注意构造辅助线构造8字型全等及相似是解题的关键，属于中等偏难题型．7．在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________．【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE ，构造全等三角形，再有全等三角形对应边相等的性质，解得，最后由三角形三边关系解题即可．【解析】如图，AD 为BC 边上的中线,延长AD 至点E ，使得AD=DECF BAW F DA DF AF =AFW ∆DFC ∆AWF DCF AFW DFC AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AFW DFC AAS ∆∆≌8AW CD ==16BW BA AW =+=10CF NF ==20CW =//AB CD CME WMA ∆∆∽12CM CE WM AW ==12033CM CW ==MN FN CM CF =+-206103=+-83=MN 83ABC ∆AD BC 7,5AB AC ==AD ()ADB EDC SAS ≅7CE AB ==在△ADB 和△EDC 中，，，故答案为：．【小结】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．8．在平行四边形中，为边的中点，且交射线于点，若，则的长度为________【分析】延长AE 交BC 的延长线于点G ，分两种情况：点F 在线段BC 上和点F 在线段BC 的延长线上，分情况讨论即可．【解析】延长AE 交BC 的延长线于点G ，分两种情况： ①如图BD DC ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB EDC SAS ∴≅7CE AB ∴==CE AC AE AC CE -<<+75275AD ∴-<<+16AD ∴<<16AD <<ABCD E CD EAF DAE AF ∠=∠，BC F 133AF CF ==，BF∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴．，，．点E 为CD 边的中点，，在和中， ，， ，，；②如图，同理可得，，，，；//,AD BC AD BC =,G DAE EAF D GCE ∠=∠=∠∠=∠13GF AF ∴==13310GC GF CF ∴=-=-=DE CE ∴=ADE GCE DAE G D GCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE GCE AAS ∴≅△△10AD GC ∴==10BC ∴=7BF BC CF ∴=-=13GF AF ==ADE GCE ≅△△16,16GC GF CF AD GC ∴=+===16BC ∴=19BF BC CF ∴=+=综上所述，BF 的长度为7或19， 故答案为：7或19．【小结】本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握这些性质并分情况讨论是解题的关键．9．已知：在中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ； （2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：．【分析】（1）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△AEC 和△CGB 一组对应边、一组对应角相等，，；然后利用同角的余角相等，证得；两角及其夹边对应相等则两三角形全等．（2）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△BCE 和△CAM 一组对应边、一组对应角相等，，；然后利用同角的余角相等，证得；两角及其中一角的对边对应相等则两三角形全等．【解析】（1）证明：∵点D 是AB 中点，AC=BC ，∠ACB=90°， ∴CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG ，ABC BCE CAM ≌AC BC =CAE BCG ∠=∠ACE CBG ∠=∠()ASA AC BC =ACM CBE ∠=∠BEC CMA ∠=∠()AAS又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG+∠BCF=90°， 又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG ，在△AEC 和△CGB 中，，∴△AEC ≌△CGB （ASA ），∴AE=CG ，（2）证明：∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC ， 又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE 和△CAM 中，，∴△BCE ≌△CAM （AAS ）．【小结】考查全等三角形判定定理，从题中找到对应边、角的信息，灵活运用三角形判定定理是解题关键．10．已知，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD 为边AB 上的中线，若E 是线段CA 上任意一点，DF ⊥DE ，交直线BC 于F 点．G 为EF 的中点，连接CG 并延长交直线AB 于点H ．（1）试说明：①AE=CF ； ②CG=GD ； （2）若AE=6，CH=10，求边AC 的长．【分析】（1）①由题意易得AD=DC=DB ，∠A=∠B=45°，CD ⊥AB ，进而可证△ADE ≌△CDF ，然后根据全等三角形的性质可得；②由直角三角形斜边中线定理可得CAE BCG AC BC ACE CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CMA ACM CBE BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，进而问题得证； （2）由（1）可得AE=CF=6，由题意易得，则有EF=CH=10，然后根据勾股定理可求解．【解析】（1）①AE=CF ，理由如下：∵AC=BC ，∠ACB=90°，CD 为边AB 上的中线，∴AD=DC=DB ，∠A=∠B=45°，CD ⊥AB ，∴∠A=∠BCD=45°， ∵DF ⊥DE ，∴∠EDC+∠CDF=90°，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF ，∴△ADE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF ， ②CG=GD ，理由如下：∵∠ACB=90°，∠EDF=90°，EG=GF ，∴，∴CG=GD ； （2）由（1）得：AE=CF=6，CG=GD ，，∴∠GCD=∠GDC ， ∵∠GCD+∠CHD=90°，∠GDC+∠GDH=90°，∴∠CHD=∠GDH ，∴GH=GD ，∴，∵CH=10，∴CH=EF=10，在Rt △CEF 中，，即，解得：CE=8， ∴AC=AE+CE=14．【小结】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．11．请阅读下列材料：问题：在四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，且∠AMD=90°（1）如图1，若AB 与CD 不平行，试判断AB+CD 与AD 之间的数量关系；11,22CG EF DG EF ==12DG CH =11,22CG EF DG EF ==12DG EF =12DG CH =222+=CF CE EF 222610CE +=小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME，连接AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系：（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD与AD之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据条件作出图形，利用DM=EM、BM=MC便可得到是四边形BECE是平行四边形，再结合EM=DM,且∠AMD=90°，得到等腰三角形，最后根据三角形三边关系求解．（2）增加AM平分∠BAD，便可以得到点A.B.E必然共线，故（1）的结论不成立，通过（1）的分析，边可以证明其数量关系．【解析】（1）AB与CD不平行根据题意,延长DM使DM=EM，连接BE，AE，EC，BD由于M 是BC 的中点，故BM=MC ∴四边形BECE 是平行四边形 ∴CD=BE 又EM=DM ，且∠AMD=90°∴是等腰三角形 ∴AD=AB 在中，(2)若在原条件的基础上，增加AM 平分∠BAD 则（1）的结论不成立 关系为：证明：由于M 是BC 的中点，故BM=MC ∴四边形BECE 是平行四边形 ∴CD=BE 又EM=DM,且∠AMD=90°∴是等腰三角形 ∴AD=AE 又AM 平分∠BAD∴点A.B.E 必然共线 ∴【小结】本题比较综合，涉及到画图能力，平行四边形判定，等腰三角形性质应用，三AED ABE △AB BE AE +>AB CD AD ∴+>AB CD AD +=AED AB CD AD +=角形三边关系等，解题的关键在于熟悉各个知识点的灵活运用．12．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．（1）如果，，求证：△ABC 是直角三角形． （2）如果，，，，求BC 的长． 【分析】（1）由于， 所以，故有，，由三角形内角和定理即可求解；（2）延长AD 到E 使，可得，由勾股定理可得，再由勾股定理可求得CD 的长，同时即可求解．【解析】（1）∵，， ∴，∴，， ∵， ∴， 即．（2）延长AD 到E 使，连接CE ，12AD BC =5AB =13AC =6AD =12AD BC =AD BD DC ==B BAD ∠=∠C CAD ∠=∠AD DE =ABD ECD ≌90E ∠=︒12AD BC =12BD CD BC ==AD BD DC ==B BAD ∠=∠C CAD ∠=∠180B BAD CAD C ︒∠+∠+∠+∠=90BAD CAD ∠+∠=︒90BAC ∠=︒AD DE =在△ABD 和△ECD 中，，∴，∴，，， 在△AEC 中，，，， ∴， ∴，由勾股定理得：∴【小结】主要考查三角形全等，利用倍长中线作出辅助线，由勾股定理证明是本题的解题关键．13．如图，已知，点是的中点，且，求证：．【分析】延长AE 、BC 交于点M，利用AAS 证出△ADE ≌△MCE ，从而得出AD=MC ，AE=ME ，结合已知条件即可证出BM=AB ，再利用SSS 即可证出△BAE ≌△BME ，从而得出∠BEA=∠BEM ，根据垂直定义即可证出结论．AD DE ADB EDC BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ECD SAS ≌△△5AB CE ==6AD DE ==12AE =13AC =12AE =5CE =222AC AE CE =+90E ∠=︒CD ==2BC CD ==90E ∠=︒//AP BC E DC AD BC AB +=AE BE ⊥【解析】延长AE 、BC 交于点M ，如下图所示∵点是的中点，∴DE=CE ， ∵∴∠1=∠M在△ADE 和△MCE 中，，∴△ADE ≌△MCE ，∴AD=MC ，AE=ME∵∴MC ＋BC=AB ，∴BM=AB在△BAE 和△BME 中，，∴△BAE ≌△BME ，∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA ＋∠BEM=180° ∴∠BEA=∠BEM=90° ∴【小结】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．14．如图，已知AD 是的中线，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．若BE=6，求点C 到AD 的距离．E DC //AP BC 156M DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AD BC AB +=AE ME BE BE BA BM =⎧⎪=⎨⎪=⎩AE BE ⊥ABC【分析】延长AD ，过点C 作于点F ，证明，据全等性质得【解析】如图，延长AD ，过点C 作于点F ， ∵AD 是的中线，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，即点C 到AD 的距离是6．【小结】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．15．△ ABC 中 D 是 BC 边上一点，连接 AD ．（1）如图1，AD 是中线，则 AB+AC 2AD （填 >，< 或 =）； （2）如图2，AD 是角平分线，求证 AB- AC > BD- CD ．CF AD ⊥()BDE CDF AAS ≅6BE CF ==CF AD ⊥ABC BD CD =BE AD ⊥CF AD ⊥90BED CFD ∠=∠=︒BDE CDF BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDE CDF AAS ≅6BE CF ==【分析】（1）延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE ，利用“SAS ”证明△CDE ≌△ADB ，再利用三角形的三边关系证明即可；（2）在AB 上截取AG=AC ，连接DG ，利用“SAS ”证明△ADC △ADG ，再根据三角形三边关系即可证明AB- AC > BD- CD ．【解析】（1）如图，延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE ，在△CDE 与△ADB 中，，∴△CDE ≌△ADB （SAS ），∴AB=CE ，∴AB+AC=AC+CE ＞AE=2AD ，即AB+AC ＞2AD ； （2）在AB 上截取AG=AC ，连接DG ，≅AD DEADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∵AD 是角平分线，∴∠1=∠2，在△ADC 和△ADG 中，，∴△ADC △ADG(SAS)，∴DC=DG ，∴AB- AC = AB- AG=BG > BD- DG = BD- CD ．【小结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．16．在ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点，E 为直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当点E 是线段AC 的中点时，AE ＝2，BF ＝1，求EF 的长；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE ∥BC ，DE ＝BC ，进而证明四边形CEDF 是矩形得DE ＝CF ，得出CF ，再根据勾股定理得结果；（2）过点B 作BM ∥AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，证明△ADE ≌△BDM 得AE ＝BM ，DE ＝DM ，由垂直平分线的判定定理得EF ＝MF ，进而根据勾股定理得结12AC AG AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≅12论．【解析】（1）∵D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE ＝BC ， ∵∠ACB ＝90°， ∴∠DEC ＝90°， ∵DF ⊥DE ， ∴∠EDF ＝90°， ∴四边形CEDF 是矩形， ∴DE ＝CF ＝BC ， ∴CF ＝BF ＝1， ∵CE ＝AE ＝2，∴EF（2）AE 2+BF 2＝EF 2．证明：过点B 作BM ∥AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ， 则∠AED ＝∠BMD ，∠CBM ＝∠ACB ＝90°， ∵D 点是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，在△ADE 和△BDM 中，，∴△ADE ≌△BDM （AAS ），∴AE ＝BM ，DE ＝DM ， ∵DF ⊥DE ， ∴EF ＝MF ，1212==AED BMDADE BDM AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵BM 2+BF 2＝MF 2， ∴AE 2+BF 2＝EF 2．【小结】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．17．如图1，已知正方形和等腰，，，是线段上一点，取中点，连接、．（1）探究与的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出、、三点共线，然ABCD Rt BEF ∆EF BE =90BEF ∠=︒F BC DF G EGCG EG CG Rt BEF ∆B ()090αα︒<<︒2AD =2GE BF +B E D后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出，从而证明；（2）延长至，使，连接交于，连接、，首先通过SAS 证明，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明，从而可证明结论仍然成立；（3）连接，首先根据题意确定当、、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，然后根据平行四边形的判定及性质得出有最小值就是的长，最后利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）且． 理由如下：如图1，连接．∵正方形和等腰， ∴， ∴、、三点共线．∵，为的中点，， ∴． ∴，．∴，即，=EG CG 90EGC ∠=︒EG CG ⊥CG H GH CG =HF BC M EH EC HFG CDG △≌△//HF CD BEC FEH △≌△AH A H G C 2GE BF +BE BC 2GE BF +AC =EG CG EG CG ⊥BD ABCD Rt BEF ∆45EBF DBC ∠=∠=︒B E D 90DEF ∠=︒G DF 90DCB ∠=︒12EG DF CG DG ===2EGF EDG ∠=∠2CGF CDG ∠=∠290EGF CGF EDC ∠+∠=∠=︒90EGC ∠=︒∴．（2）仍然成立．理由如下：如图2，延长至，使，连接交于，连接、．∵，，，∴， ∴，，∴． ∵是正方形，∴，． ∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴为等腰直角三角形． 又∵，∴且． （3）如下图，连接，当、、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，EG CG ⊥CG H GH CG =HF BC M EHEC GF GD =HGF CGD ∠=∠HG CG =()HFG CDG SAS △≌△HF CD =GHF GCD ∠=∠//HF CD ABCD HF BC =⊥HF BC BEF BE EF =EBC HFE ∠=∠()BEC FEH SAS △≌△HE EC =BEC FEH ∠=∠90BEF HEC ︒∠=∠=ECH ∆CG GH ==EG CG EG CG ⊥AH A H G C 2GE BF +BE BC∵，，∴四边形是平行四边形，∴，由（2）知，∴，即有最小值，就是的长，由勾股定理得【小结】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD 于点E，取BE的中点F，连接AF．(1)若AC=BE的长；(2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD的面积．(3)若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；【分析】（1）在Rt△AEB中，利用勾股定理即可解决问题；（2）由∠D＝45°可证得BE＝DE，再利用三角的面积公式计算即可；（3）如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，首先证明△AEF≌△MFB，再证明△ABM≌△ACD即可．【解析】（1）解：∵AB＝AC，AC∴AB∵BE⊥AD，AE//FH AB//AC BFABFH AH BF=CG GH=2GE BF CH AH AC+=+=2GE BF+AC AC==∴在Rt △AEB 中，； （2）解：∵BE ⊥AD ，∠D ＝45°， ∴∠EBD ＝∠D ＝45°， ∴BE ＝DE ＝∴AD ＝AE+DE， ∴；（3）证明：如图，延长AF 至M 点，使AF ＝MF ，连接BM ，∵点F为BE 的中点， ∴EF ＝BF ，在△AEF 和△MBF 中， ，∴△AEF ≌△MBF （SAS ），∴∠FAE ＝∠FMB ， ∴AE ∥MB ，∴∠EAB +∠ABM ＝180°， ∴∠ABM ＝180°﹣∠BAD ， 又∵AB ＝AC ，DB ＝DA ， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAD ， ∴∠ACD ＝180°﹣∠ACB ，BE ====11922ABDSAD BE =⋅=⨯=AF FMAFE BFM EF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠ABM ＝∠ACD ． 又∵∠BAC ＝∠DAF ，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠DAF ﹣∠MAC ， ∴∠1＝∠2．在△ABM 和△ACD 中，，∴△ABM ≌△ACD （ASA ），∴AM ＝AD ，又∵AM ＝AF +MF ＝2AF ， ∴2AF ＝AD ．【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型． 19．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为△ABC 中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ，AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS 可证得△ADC ≌△GDB ，再利用AE ＝EF 可以进一步证得∠G ＝∠F AE ＝∠AFE ＝∠BFG ，从而证明结论．12AB AC ABM ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠F AE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G ＝∠F AE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠F AE，再依据AAS 可以进一步证得△ADC ≌△GDB ，从而证明结论．（2）作BG ∥AC 交AD 的延长线于G ，证明△ADC ≌△GDB （AAS ），得出AC ＝BG ，证出∠G ＝∠BFG ，得出BG ＝BF ，即可得出结论．【解析】（1）①延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG ，如图①，理由如下： ∵AD 为△ABC 中线，∴BD ＝CD ，在△ADC 和△GDB 中，，∴△ADC ≌△GDB （SAS ），∴AC ＝BG ，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠EF A ，∵∠BFG ＝∠G ，∠G ＝∠CAD ，∴∠G ＝∠BFG ，∴BG ＝BF ，∴AC ＝BF ．故答案为：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG ；②作BG ＝BF 交AD 的延长线于点G ，如图②．理由如下：∵BG ＝BF ，∴∠G ＝∠BFG ，=AD DGADC GD CD BDB ⎧=∠⎪∠⎪⎨⎩＝∵AE ＝EF ，∴∠EAF ＝∠EF A ，又∵∠EF A ＝∠BFG ，∴∠G ＝∠EAF ，在△ADC 和△GDB 中，，∴△ADC ≌△GDB （AAS ），∴AC ＝BG ，∴AC＝BF ；故答案为：作BG ＝BF 交AD 的延长线于点G ；（2）作BG ∥AC 交AD 的延长线于G ，如图③所示：则∠G ＝∠CAD ，∵AD 为△ABC 中线，∴BD ＝CD ，在△ADC 和△GDB 中，，∴△ADC ≌△GDB （AAS ），∴AC ＝BG ，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠EF A ，∵∠BFG ＝∠EF A ，∠G ＝∠CAD ，∴∠G ＝∠BFG ，∴BG ＝BF ，∴AC ＝BF ．【小结】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两CAD G ADC G CD BD DB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝CAD G ADC G CD BD DB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝个三角形全等共有四个定理：AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．20．已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.【分析】通过倍长线段，将、、转化到中，再证为直角三角形.【解析】延长至，使，连结、，，，，，，，，，，又，，，.ABC ∆90C ∠=︒D AB E F AC BC ED FD ⊥D 222AE BF EF +=DE AE BF EF BGF ∆BGF ∆ED G DG DE =BG FG AD BD =ADE BDG ∠=∠ADE BDG ∴∆≅∆AE BG ∴=A DBG ∠=∠AC BG ∴180C FBG ∴∠+∠=︒90FBG ∴∠=︒222BG BF GF ∴+=ED FD ⊥ED GD =EF GF ∴=222AE BF EF ∴+=【小结】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.21．如图所示，在中，为中线，，求的度数．【分析】延长AD 至E ，使，连结，则，根据全等三角形的性质得EC=AB ，，由AB=2AD 可得EC=AE ，可得△AEC 是等腰直角三角形，即可得∠DAC 的度数．【解析】延长AD 至E ，使，连结，∵BD=CD ，∠ADB=∠EDC∴， ∴EC=AB ，，∵AB=2AD ， ABC ∆AD 90,2BAD AB AD ∠==DAC ∠DE AD =CE ADB EDC ∆∆≌90E BAD ∠=∠=︒DE AD =CE∴AB=AE=EC∴△AEC是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°.故答案为45°.【小结】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.。
八年级上册数学《辅助线专题》
倍长中线法例1：如图：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
练1：在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）A.1<AB<29B. 4<AB<24C. 5<AB<19D. 9<AB<19例2：如图：AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF.练2：如图：AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF，求证：AE=EF.例3：如图：AD 、AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且AB=BD.求证：AE= AC.练3：如图：△ABC 中，CD=BD=AB ，E 是BD 的中点，求证：AD 平分∠CAE.练4：如图：△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：BE+CF>EF.与角平分线有关的作垂线的方法1. AD//BC,CD ⊥AD ，AE 平分∠BAD ，E 是DC 的中点,问:AD,BC,AB 之间有何关系？并说明理由。
2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，并且()AD AB AE +=21,求∠ABC+∠ADC 的度数截长补短例1：如图：在△ABC中，∠1=∠2，AC=AB+BD.求证：∠ABC=2∠C.例1：如图：在△ABC中，∠1=∠2，AC=AB+BD.求证：∠ABC=2∠C.练1：如图：在△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C.求证：AC=AB+BD.例2：如图：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°.求证：AE=AD+BE.练2：如图：AD平分∠BAC，∠ACD+∠B=180°，求证：BD=CD.例3：如图：在正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边的点，EF=DE+BF.求∠EAF的度数.练3：如图：在正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边的点，AE平分∠DAF.求证：AF=BF+DE.练4：如图：△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：DB=CF.5.如图，在五边形ABCD中，AB=AE,BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
２．如图,点P为△ABC的边BC的中点,分别以AB,AC为斜边作Rt△AＢD和Ｒt△ＡCE,且∠BAＤ=∠CAＥ,求证:ＰD=PE.
２．如图，点O为△ＡBC内的一点，OD⊥ＡB,ＯE⊥AＣ,∠1=∠２,Ｆ为BC的中点，链接FD、FE，求证:FD=FE．
（１）利用中点构建全等形：倍长中线至二倍,构建全等三角形
(２)有中点联想直角三角形的斜边上的中线
（３）由中点联想到等腰三角形的“三线合一”
１、在△AＢC中,AD是ＢＣ边上的中线,若ＡB＝2,AＣ=4，则ＡＤ的取值范围是＿______＿．
2、已知：如图,△ＡBＣ（AＢ≠ＡC）中，D、Ｅ在BC上，且DE=ＥＣ， 过D作DF∥ＢA交ＡＥ于点Ｆ,DF=ＡC.求证：AＥ平分∠BAＣ．
（3）在任意△ＡＢＣ中,分别以AB、AC为斜边，向△AＢC的外侧作等腰直角三角形,如图3所示，M是ＢC的中点，连结MＤ和MＥ，则MD与ME有怎样的数量关系？
6、△ＡＢＣ中,∠CＡB=120°,分别以AＢ、AC为边分别向外做正△ABD和△AＣE，M为AD的中点，Ｎ为ＡE的中点，P为BC的中点,
（１）求证:PM=PN
３、正方形AＢＣD中,E为ＣD的中点,BF⊥AＥ于F ,连接CF,求证;ＣＦ=ＣＢ
4．如图,四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCＤ=90°，M为ＢD中点,Ｎ为AC中点，求证:ＭN⊥AC.
5．如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是ＢC上一点，AD=5,且AD⊥AB，点Ｅ是BD的中点，AC＝６.5，则AB的长度为____＿____.
(一)直接连接中点构建中位线：
1.已知:在四边形AＢCD中,E、F、Ｇ、Ｈ分别是ＢＣ、AD、ＢD、AＣ的中点．
①求证：EＦ与GＨ互相平分;
②当四边形ＡBCD的边满足______＿_＿条件时,EF⊥GH.
(二)取三角形一边的中点,构建中位线:
２、如图，在四边形ABＣＤ中，对角线AC、BD交于点O，Ｅ、F分别是ＡB、ＣD的中点,且AC＝ＢＤ．
6、已知梯形ＡＢCD中,AD∥ＢC,且AD+ＢＣ=AB，E为CD的中点,连接AＥ、ＢＥ
求证;（１)ＡE平分∠BAD
(2)ＢE平分∠ＡBC
(３)AＥ⊥BE
练习:
１、已知正方形ABCD中,E为CD的中点，AE平分∠BAF.求证：AF=BC+CF
６、在△ＡBC（AＢ≠AC)中，在∠A的内部任做一条射线,过B、C两点做此射线的垂线BE和CF,交此射线于Ｅ、Ｆ，Ｍ为BC的中点,求证:MD=ＭE.
求证:∠DEN=∠F．
五、条件中无中点时,完善图形得中位线:
如图，△ABC边长分别为AＢ=14，BＣ=1６,AC=26，P为∠Ａ的平分线AD上一点，且BP⊥AＤ,M为BC的中点,则PＭ的值是_＿__＿_＿．
1１.如图，自△ABC顶点Ａ向∠C与∠Ｂ的角平分线CE、BD作垂线AM、AN,垂足分别是M、Ｎ，已知△ABC三边长为a、b、c,则MN=______＿.
(２)试求∠MPＮ的度数
变式一:△ＡBC中,∠CAＢ=1２0°，分别以AＢ、AＣ为边分别向外做等腰直角△ＡBＤ和等腰直角△ACE,M为AD的中点,N为AＥ的中点,P为ＢC的中点，求证：PM=PＮ
变式二：△AＢC中，∠ＣAB=120°，分别以AＢ、AC为边分别向外做等腰△ABＤ和等腰△ＡＣE，M为AD的中点,N为AＥ的中点,Ｐ为ＢC的中点,求证:PM=PN
(１)如图1所示在等腰△ABC中,AB=AC，分别以AＢ、AＣ为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AＣ于点G，Ｍ是BC的中点，连结MD和ＭE,求证:
①ＡF=AＧ= AB;
②ＭＤ=MＥ.
(２）在任意△ABC中,仍分别以AB，M是ＢC的中点,连结MD和ME，试判断△MＤE的形状．（直接写答案,不需要写证明过程).
中点常见的辅助线(八年级)
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
中点常见的辅助线
中点经常所在的三角形:
全等三角形
等腰三角形:三线合一
直角三角形：斜边上的中线、
三角形的中位线:
一、一个中点常见的辅助线
求证：ＯM=ＯN.
(三)添加三角形的第三边，构建中位线:
如图，已知E、F分别为△AＢC的边ＡB、BC的中点,G、H为AC边上的两个三等分点,连ＥG、FH，且延长后交于点D,
求证：四边形ＡBＣD是平行四边形
四、添加三角形的另一边并取中点,构建中位线：
在四边形AＢＣＤ中，E、F、M分别是AＢ、CD、BＤ的中点，ＡD=BC.
求证：∠EFM=∠FEM.
如图，在四边形ABCD中,一组对边AＢ=ＣD，另一组对边AＤ≠ＢC,分别取AD、BC的中点M、N,连接MN.则AB与MN的关系是(）
A.AＢ=ＭNB．AB＞MＮC.AB＜ＭND.上述三种情况均可能出现
已知：如图，在四边形ＡBCD中,AD＝ＢC，M、Ｎ分别是ＡB、CD的中点,AＤ、ＢＣ的延长线交MN于E、F．
在△ABＣ中,∠B=2∠A,CD⊥AB于D,Ｅ为AB的中点，求证：DＥ= BC
多个中点
中点经常所在的三角形:
等腰三角形:三线合一
直角三角形:斜边上的中线、
三角形的中位线：
已知如图:在△ABＣ中，AＢ、ＢC、ＣA的中点分别是E、F、G,ＡD是高.求证:∠EDG=∠EFG.
（２015•广东模拟)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
等腰直角△ＡBC和等腰直角△DCＥ如图所示放置，Ｍ为ＡE的中点，连接ＤM、BM，（1）求证：ＢM∥CＥ
(2)若ＡB=a，DＥ=２ａ，求DM、ＢM的长。
二、两个或多个中点常见的辅助线:
当图中有多个中点时,我们要细致分析图形特点,是否有直角三角形，等腰三角形，等边三角形,有时,要利用中点的性质分析,同时还要考虑中位线,