江西省九江市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析

江西省九江市2021届新高考数学仿真第四次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平
B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨
D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 【答案】D 【解析】 【分析】
先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可 【详解】
由折线图易知A 、C 正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B 错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为,,a b c ，由题意可知，b a =，
1.9%a c c -=，则有1 1.9%
a
c a b =<=+，所以D 正确. 故选：D 【点睛】
此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题. 2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．24π
B ．28π
C ．32π
D ．36π
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：
由底面边长可知，底面三角形的顶角为120o ，
由正弦定理可得23
24sin120
AD =
=o
，解得2AD =， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =
+=
该几何体外接球的表面积为：(2
4232S ππ=⋅=.
故选：C 【点睛】
本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
3．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >
【答案】C 【解析】 【分析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】
Q 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，
00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.
故选：C . 【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 4．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12
y x = B ．2x y =
C ．12
log y = x
D ．1y x
=-
【答案】C 【解析】 【分析】
由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【详解】
因为函数1
2
,2x y x y ==和1
y x =-在(0,)+∞递增，而
12
log y x =在(0,)+∞递减.
故选：C 【点睛】
本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题. 5．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x
>，若在ABC ∆中，34A π
∠=，则（ ）
A ．()()2
2
sin sin sin sin f A B f B A <
B ．()()2
2
sinC sin sin sin f B f B C
< C ．()()2
2
cos sin sin cos f A B f B A >
D ．()()2
2
cosC sin sin cos f B f B C >
【答案】D
【解析】 【分析】 根据()()2'f x f x x >
的结构形式，设()()
2f x g x x =，求导()()()3
2xf x f x g x x
'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=
，得到04π<∠<B ，04
π
<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()
2
f x
g x x =
， 所以 ()
()()
3
2xf x f x g x
x
'-'=
，
因为当0x >时，()()
2'f x f x x
>
， 即
()()
20xf x f x x
'->，
所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04
π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫
∠=+∠
⎪⎝⎭
C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，
所以sin sin 4π⎛⎫
∠<+∠
⎪⎝⎭
B B ， 即cos sin ∠>∠
C B ， 所以
()()
2
2
cos sin s sin f C f B co C
B
>
，
即()()22
cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D 【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．已知随机变量i ξ满足()()
221k
k
k i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若
212
11
p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ>
C ．()()12E E ξξ>，()()12
D D ξξ< D ．()()12
E E ξξ>，()()12D D ξξ>
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，再根据
212
11
p p <<<和二次函数的性质求解. 【详解】
因为随机变量i ξ满足()()
221k
k
k i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.
所以i ξ服从二项分布， 由二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，
因为
212
11
p p <<<， 所以()()12E E ξξ<，
由二次函数的性质可得：()()1f x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减， 所以()()12D D ξξ>. 故选：B 【点睛】
本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 7．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路
【答案】D 【解析】
【分析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则sin C =（ ）
A B ．
C D 【答案】B 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan 3
B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，
最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】
1sin sin cos sin 32b A a B B a B π⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭Q ，
即1
sin sin cos sin sin 2
A B A B A B =
-，即3sin sin cos A B A A =，
sin 0A >Q ，3sin B B ∴=，得tan 3
B =
，0B Q π<<，6B π∴=.
由余弦定理得b ===
由正弦定理sin sin c b C B
=
，因此，123sin 212sin 77
c B C b ⨯===. 故选：B. 【点睛】
本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
9．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13
AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v
，则实数t 的值为（ ）
A ．
2
3
B ．
25
C ．
16
D ．
34
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，可根据向量运算法则得到25
AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r
，从而由向量分解的唯一性得出关于t
的方程，求出t 的值. 【详解】
由题意及图，()
()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25
AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，
又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以1215
3m t m -=⎧⎪
⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=，
故选C ． 【点睛】
本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.
10．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交
y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A ．
12
B ．
C D 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【详解】
由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点， 故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =；
代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2
A b y a
=，
故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
将B 点坐标代入椭圆方程得225a c = 故选：D. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题. 11．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）
A B ．1
C D ．
12
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 【详解】
由题可知：()()()22
212221111i i i i i z i i i i --=
==++-- 由21i =-，所以1z i =+
所以z ==故选：A 【点睛】
本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.
12．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体
C ．圆锥
D ．长宽高互不相等的长方体
【答案】C 【解析】 【分析】
根据基本几何体的三视图确定． 【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ． 【点睛】
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】
根据等差数列关系，用首项和公差表示出2
216a a a =，解出首项和公差的关系，即可得解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
由题意得: 2
216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以
2
1
=4a a 故答案为：4 【点睛】
此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.
14．在△ABC 中，a ＝3，b =B ＝2A ，则cosA ＝_____．
【答案】3
【解析】 【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解． 【详解】
解：∵a ＝3，b =B ＝2A ， ∴由正弦定理可得：
2a b b sinA sinB sinAcosA
==，
∴cosA 2b a =
==
．
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题． 15．在ABC V 中，若tan tan tan tan 1A B A B ++=，则22cos cos A B +的范围为________.
【答案】3,122⎛⎤
+ ⎥ ⎝⎦
【解析】 【分析】
借助正切的和角公式可求得tan()1A B +=，即4
A B π
+=
则2222
cos cos cos cos 4A B A A π⎛⎫
+=+-
⎪⎝⎭
通
过降幂扩角公式和辅助角公式可化简2124A π⎛⎫++ ⎪⎝
⎭,由0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，借助正弦型函数的图象和性质
即可解得所求. 【详解】
tan tan tan tan tan tan 1tan()11tan tan A B
A B A B A B A B
+++=⇒+=
=-，
所以4
A B π
+=
，2222
cos cos cos cos 4A B A A π⎛⎫
+=+-
⎪⎝⎭
1(sin 2cos 2)121224A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭.
因为0,
4A π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以
322sin 2,14
4
442A A π
π
ππ⎛⎤⎛
⎫<+
<
⇒+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
，
所以2
2
32cos cos ,122A B ⎛⎤
+∈+ ⎥ ⎝⎦
.
故答案为: 32,
12
2⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦
. 【点睛】
本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般. 16．如图，在矩形中，
为边
的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径
作圆弧EB 、EC （
在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边
所围成的平面图形绕直线
旋转一
周，则所形成的几何体的体积为 .
【答案】
【解析】
由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为
；则所求几何体
的体积为
.
考点：旋转体的组合体.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米．．．的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时．．．的损耗为m 元（0m >），运输的路程为S （千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为1y （元）、2y （元）、3y （元）. （1）请分别写出1y 、2y 、3y 的表达式； （2）试确定使用哪种运输工具总费用最省. 【答案】（1）12060ms y S =+
，210120mS y S =+，350600
mS
y S =+
. （2）当6000m <时，此时选择火车运输费最省；
当6000m >时，此时选择飞机运输费用最省； 当6000m =时，此时选择火车或飞机运输费用最省. 【解析】 【分析】
（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式. （2）作差比较2y 、3y 的大小关系得出结论. 【详解】 （1）12060
ms y S =+
， 210120mS y S =+
，350600
mS
y S =+
. （2）0,0m S >>Q ， 故2010,
60120
mS mS
S S >>， 12y y ∴>恒成立，故只需比较2y 与3y 的大小关系即可，
令()324040150150mS m f S y y S S ⎛⎫
=-=-=- ⎪⎝⎭
， 故当400150
m
-
>，即6000m <时， ()0f S >，即23y y <，此时选择火车运输费最省，
当400150
m
-
<，即6000m >时， ()0f S <，即23y y >，此时选择飞机运输费用最省.
当400150
m
-
=，即6000m =时， ()0f S =，23y y =，
此时选择火车或飞机运输费用最省. 【点睛】
本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
18．已知矩阵010A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1
020A b -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
.若曲线1C ：2214x y +=在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求曲线2C 的方程. 【答案】2
2
1x y += 【解析】 【分析】
根据1AA E -=，可解得,a b ，设()
,P x y '
'
为曲线1C 任一点，在矩阵A 对应的变换作用下得到点(),Q x y ，
则点Q 在曲线2C 上，根据变换的定义写出相应的矩阵等式，再用,x y 表示出,x y ''，代入曲线1C 的方程中，即得. 【详解】
1
AA E -=Q ，010*******a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即0100201b a ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
. 121b a =⎧∴⎨=⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，011
02A ⎡⎤
⎢⎥∴=⎢⎥⎣⎦. 设(),P x y '
'
为曲线1C 任一点，则2
214
x y ''+=，
又设()
,P x y '
'
在矩阵A 变换作用得到点(),Q x y ，
则01102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2y x x y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥='⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以2y x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩即2x y y x =''⎧⎨=⎩ 代入2214
x y ''+=，得221y x +=，
所以曲线2C 的方程为22
1x y +=. 【点睛】
本题考查逆矩阵，矩阵与变换等，是基础题. 19．已知函数32()21f x x mx m =+++. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为3-，求m 的值. 【答案】（1）见解析 （2）3m =- 【解析】 【分析】
（1）先求导，再对m 分类讨论，求出()f x 的单调性；（2）对m 分三种情况讨论求函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值即得解. 【详解】
（1）2
()622(3)f x x mx x x m '
=+=+
若0m <，当(,0),3m x ⎛⎫
∈-∞⋃-
+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>； 当0,3m x ⎛
⎫
∈-
⎪⎝⎭
时.()0f x '<， 所以()f x 在(,0),,3m ⎛⎫-∞-
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递减
若0,()0m f x '
=…
.()f x 在R 上单调递增 若0m >，当,(0,)3m x ⎛⎫
∈-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>； 当,03m x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时.()0f x '<， 所以()f x 在,,(0,)3m ⎛⎫-∞-
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减 （2）由（1）可知，当0m ≥时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，则min ()(0)13f x f m ==+=-.则-4m =不合题意
当0m <时，()f x 在0,3m ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,3m ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
则33min
2()133279m m m f x f m ⎛⎫=-=-+++=- ⎪⎝⎭
，即3
4027m m ++=
又因为3
()427
m g m m =++单调递增，且(3)0g -=，故3m =-
综上，3m =- 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20．已知直线l
的参数方程为12(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点1
(,0)2
P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.
【答案】（1）直线l
普通方程：210x --=，曲线C 直角坐标方程：()2
211x y -+=；（2
【解析】 【分析】
（1）消去直线l 参数方程中的参数t 即可得到其普通方程；将曲线C 极坐标方程化为2
2cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；（2）将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数t 的几何意义可知12PA PB t t +=-，利用韦达定理求得结果. 【详解】
（1）由直线l 参数方程消去t 可得普通方程为：210x --=
曲线C 极坐标方程可化为：2
2cos ρρθ=
则曲线C 的直角坐标方程为：2
2
2x y x +=，即()2
211x y -+=
（2）将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理可得：2304
t -=
设,A B 两点对应的参数分别为：12,t t ，则12t t +=
，1234t t =-
122
PA PB t t ∴+=-=
=
=
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数t 的几何意义，利用韦达定理来进行求解. 21．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．
()1求B 的值；
()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =
，7
cos 25
A =-，求b 的值. 【答案】()14
B π
=；()2sin sin AD ADC
b C
∠=
.
【解析】 【分析】
()1利用正弦定理化简求值即可；
()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.
【详解】
解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，
()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=，
()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，
sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，
又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4
B π
=
；
（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,
27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5
x =，则4sin 5x ==，
24
sin 25A ==
，又4
B π=，
则333sin sin sin cos cos sin 444C A A A πππ⎛⎫
=---=
⎪⎝⎭
()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛
⎫∠=+=+=+=
⎪⎝
⎭ 在ACD V 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADC
b C
∠=
. 【点睛】
本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题. 22．设a 为实数,已知函数()x
f x axe =,()ln
g x x x =+．
（1）当0a <时,求函数()f x 的单调区间：
（2）设b 为实数,若不等式()2
2f x x bx ≥+对任意的1a ≥及任意的0x >恒成立,求b 的取值范围;
（3）若函数()()()h x f x g x =+（0x >,x ∈R ）有两个相异的零点,求a 的取值范围．
【答案】（1）函数()f x 单调减区间为(),1-∞-;单调增区间为()1,-+∞．（2）22ln 2
b ≤-（3）1
,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）据导数和函数单调性的关系即可求出;
（2）分离参数,可得2x ae x b ≥+对任意的1a ≥及任意的0x >恒成立,构造函数()2x
x e x ϕ=-,利用导数
求出函数的最值即可求出b 的范围;
（3）先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围 【详解】
解：（1）当0a <时,因为()()1x
f x a x e '=+,当1x <-时,()0f x '>;
当1x >-时,()0f x <．所以函数()f x 单调减区间为(),1-∞-;单调增区间为()1,-+∞． （2）由()2
2f x x bx ≥+,得22x axe x bx ≥+,由于0x >,
所以2x ae x b ≥+对任意的1a ≥及任意的0x >恒成立,
由于0x e >,所以x x ae e ≥,所以2x e x b -≥对任意的0x >恒成立, 设()2x
x e x ϕ=-,0x >,
则()2x
x e ϕ'=-,所以函数()x ϕ在()0,ln 2上单调递减,在()ln 2,+∞上单调递增,
所以()()min ln 222ln 2x ϕϕ==-, 所以22ln 2b ≤-．
（3）由()ln x
h x axe x x =++,得()()()()11111x
x x axe h x a x e x x
++'=+++=,其中0x >． ①若0a ≥时,则()0h x '>,所以函数()h x 在()0,∞+上单调递增,所以函数()h x 至多有一个零点,不合题意;
②若0a <时,令()0h x '=,得1
0x
xe a
=-
>． 由第（2）小题,知：当0x >时,()222ln 20x
x e x ϕ=-=->,所以2x e x >,所以22x xe x >,所以当0x >时,函数x xe 的值域为()0,∞+．
所以,存在00x >,使得0010x ax e +=,即001x
ax e =-, ①
且当0x x <时,()0h x '>,所以函数()h x 在()00,x 上单调递增,在()0,x +∞上单调递减．因为函数有两个零点1x ,2x ,
所以()()0000000max ln 1ln x
h x h x ax e x x x x ==++=-++．②
设()1ln x x x ϕ=-++,0x >,则()1
10x x
ϕ'=+
>,所以函数()x ϕ在()0,∞+单调递增,由于()10ϕ=,所以当1x >时,()0x ϕ>．所以,②式中的01x >, 又由①式,得0
01x x e
a
=-．
由第（1）小题可知,当0a <时,函数()f x 在()0,∞+上单调递减,所以1
e a
->, 即1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
．
当1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时,
（ⅰ）由于1
1110e
ae h e e
e
⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
,所以得()010h h x e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭,又因为011x e ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
,且函数()h x 在
()00,x 上单调递减,函数()h x 的图象在()00,x 上不间断,所以函数()h x 在()00,x 上恰有一个零点;
（ⅱ）由于1111ln a h e a a a -⎛⎫⎛⎫
-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,令1t e a =->,
设()ln t
F t e t t =-++,t e >,
由于t e >时,ln t t <,2t e t >,所以设()0F t <,即10h a ⎛⎫
⎪⎝⎭
-
<． 由①式,得,当01x >时,0001x x e x a -=>,且()010h h x a ⎛⎫
-⋅< ⎪⎝⎭
,同理可得函数()h x 在()0,x +∞上也恰有一个零点．
综上,1
,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查含参数的导数的单调性,利用导数求不等式恒成立问题,以及考查函数零点问题,考查学生的计算能力,是综合性较强的题.
23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为
22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），直线l
经过点(1,M --且倾斜角为α. （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；
（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.
【答案】（1）4cos ρθ=
，1cos t sin x t y α
α=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩
；（2
.
【解析】 【分析】
（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；
（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程22
4x y x +=，
整理得)
2
6cos 320t t
αα-++=，
利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可. 【详解】
（1）由22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数）消去参数，
可得()2
224x y -+=，即2
2
4x y x +=，
∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=， Q cos x ρθ=，222x y ρ=+，
∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=， ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，
Q 直线l
经过点(1,M --，且倾斜角为α，
∴直线l
的参数方程：1cos sin x t y t α
α
=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）.
（2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t . 将直线l 的参数方程代入C 并整理，
得)
2
6cos 320t t
αα-++=，
∴)
6
cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=.
又A 为MB 的中点，
∴2B A t t =，
∴)
2
cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
∴232sin 326A B t t πα⎛
⎫⋅=+= ⎪⎝
⎭，即2sin ()16πα+=，
Q 0απ≤≤，
∴
76
6
6
π
π
πα≤+
<
， ∴62π
π
α+
=
，即3
π
α=
，
∴tan 3
π
=【点睛】
本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.。