大学数学微积分第16讲《求导法则》课件

高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十六讲 求导法则
第四章 一元函数的导数与微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
例6 设 y a0 xn a1xn1 an1x2 an1x an，
求 y。
解 由和的求导公式
y (a0 xn ) (a1xn1) (an2 x2 ) (an1x) (an )
a0n xn1 a1(n 1)xn2 an2 2x an1
通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次 数降低一次, 系数相应改变.
1 x2
y arctanx, ( x ), 求y。
例17
解 它是 x tan y , y ( , )的反函数,
22
且 x tan y 满足定理的条件,
又 (tan y) 1 tan2 y 0
故
y
(arctan
x)
1 (tan
y)
1
1 tan 2
y
1 1 x2
x ( , )
(arctan
又 x cos y 在 (0, ) 内单调、连续、可导, 且
d x (cos y) sin y 0 dy
故 y (arccos x) d y 1 1
d x d x (cos y) dy
1 1
1
sin y
1 cos2 y
1 x2
(1 x 1)
(arccos x) 1
(1 x 1)
x 等价无穷小替代
lim
ln 1
x x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
(ln x) 1
x
例3 y loga x (a 0, x 0) , 求y .
解
Q
y
loga
x
ln ln
x a
lim log a (x x) log a x
x0
x
等价无穷小替代
1
ln1 x lim x
1
22
且导数不为0,
故
y
(arcsinx)
d d
y x
1 dx
1 1 (sin y) cos y
dy
你觉得做完了吗？
而 cos y 1 sin 2 y 1 x2
于是
y
(arcsin
x)
1 cos
y
1 1 x2
(1 x 1)
(arcsin x) 1 1 x2
(1 x 1)
例16 y arccosx, (1 x 1), 求y'。 解 它是 x = cos y , y (0, ) 的反函数,
(3)
u( x) v(x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
v2 ( x)
(v(x) 0)
推广至有限个可导函数的情形:
n
n
( ui (x) ) ui(x) ,
i 1
i 1
d
dx
n i 1
ui (x)
n i 1
d ui (x). dx
n
n
( ui (x) ) u1(x)u2 (x)ui(x)un (x)
是 x = f (y) y
的图形与x 轴 正向的夹角.
tan f '( y) y
O
是 y = (x)
T 的图形与x 轴
正向的夹角.
A(x,y)
x
x
2
若 y = (x) 的反函数 x = f (y) 存在, 则 x = f (y) 与 y = (x) 的图形相同, 故 x = f (y) 与 y = (x) 在
( 当 u 0, 0 )
y f (u) u u
(C) 0
通常说成：常数的导数为零.
2. 幂函数 y x （ R）
Q lim y lim (x x) x
x x0
x0
x
等价无穷小替代
lim
x
1
x
x
1
lim
x
x
x
x0
x
x0 x
lim x1 x1 x0
(x ) x1
例1
(x3) 3x2.
(
x)
1
(x2 )
1
1 1
2. 证明 (u(x)v(x)) u(x)v(x) u(x)v(x)
证 (u(x)v(x)) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
lim (u(x) u)(v(x) v) u(x)v(x)
x0
x
u(x)v v(x)u uv
lim
x0
x
lim u(x) v lim v(x) u lim u v
3.
证明
u(x) v(x)
u(x)v(x) u(x)v(x) v2 ( x)
(v(x) 0)
令 (x) u(x) , 则 (x) 可导, 且 u(x) (x)v(x),
v(x)
用乘法公式证明除法公式
u(x) (x)v(x) (x)v(x)
故
( x)
u( x)
( x)v( x)
v(x)
i1
i1
d
dx
n
ui (x)
i 1
i
n 1
u1
(
x)
u
2
(
x)
d
ui d
(x) x
u
n
(
x)
n
ui (x) u1(x)u2(x)un (x)
i1
在证明这些公式时, 用到下列表达式：
u u(x x) u(x)
u(x x) u(x) u
1. 证明 (u(x) v(x)) u(x) v(x)
已知
y (x 1)(x 2)(x 3) , 求 y 。 x3
解 y (x 1)′(x 2)(x 3) (x 1)(x 2)′(x 3)
(x 1)(x 2)(x 3)′
(x 2)(x 3) (x 1)(x 3) (x 1)(x 2)
故 y |x3 (3 2)(3 3) (3 1)(3 3) (3 1)(3 2) 2
x)
1
1 x
2
x ( , )
类似可得
(arccot
x)
1
1 x
2
x (, )
四.复合函数的导数
定理
设 u = (x) 在点 x 处可导, y = f (u) 在对应
点 u ( u = (x) ) 处也可导, 复合函数 y = f ( (x))
在 U(x) 内有定义, 则 y = f ( (x)) 在点 x 处可导,
x0 x x0
x
和差化积 等价无穷小
2 cos x x sin x
lim
2 2
x0
x
或重要极限
lim cos x x cos x
x0
2
(sin x) cos x
(2) 其它三角函数的导数
(cosx) sin x （仿照正弦函数的推导方法）
(
tan
x )
1 c os2 x
sec2
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第四章 一元函数的导数与微分
第二节 求导法则
一.基本初等函数的导数 二. 导数的四则运算法则 三.反函数的导数 四.复合函数的导数 五. 隐函数的求导法则 六.参数方程求导法则 七.取对数求导法
一.基本初等函数的导数
推导一些基 本公式啊 ！
1. y = C x R ( C为常数 ) Q lim y lim C C lim 0 0 x0 x x0 x x0
设 y axb
则 y (ax b) (ax) (b)
a(x) a
线性函数的导数为一个常数. 直线上任意一点处的切线就是它本身.
例9
y log a x , 求 y 。
解
y
(log a
x)
ln ln
x a
1 (ln x) 1
ln a
x ln a
(loga
x)
1 x ln a
例10
ln a x0 x
x ln a
故
(loga
x)
1 x ln a
例4
(log5
x)
x
1 ln 5
(log 1
2
x)
1 x ln
1
1 x ln 2
2
(loga
x)
1 x ln
a
ae
(ln x) 1 x
5. 三角函数
(1) y sin x
Q lim y lim sin(x x) sin x
(u(x) v(x)) lim (u(x x) v(x x)) (u(x) v(x))
x0
x
(u(x x) u(x)) (v(x x) v(x))
lim
x0
x
lim u(x x) u(x) lim v(x x) v(x)
x0
x
x0
x
u(x) v(x)
例5 y x2 sin x cos x 1, 求 y 。 解 y (x2 ) (sin x) (cosx) (1) 2x cosx (sin x) 0 2x cosx sin x(cot x)来自1 sin2x
csc2
x
(1 cot2
x)
例12
设函数 v(x) 可导, 且 v(x) 0, 证明
1 v(x)
v( x) v2 ( x)
证 令 u(x) =1, 由商的导数公式, 得
1 v(x)
(1)v(x) 1 v(x) v2 ( x)
v(x) v2 ( x)
例13 y ex , 求 y.
x0
x x0
x x0 x
u(x)v(x) u(x)v(x)
因为可导必连续, 所以 x 0 时，v 0。
例7 设 u C ( C为常数 ) , v = v(x) 可导, 则 (C v(x)) (C)v(x) C (v(x)) C (v(x))
通常说成: 常数因子可以提到导数符号外面
例8
x2
1
1
x2
1
,
2
2
2x
d dx
1 x
( x 1 )
(1) x 11
x 2
1 x2
,
(x)' 1 x11 x0 1.
自变量对其本身的导数为 1
3. 指数函数 y ax (a 0)
Q lim y lim a xx a x a x lim ax 1
x x0
x0
x
x0 x
ax lim x ln a ax ln a x0 x
某区间 J 内单调、可导, 且
f
(x)
1
( y)
这里仍指严格单调
该定理说明：一个函数单调、连续、可导, 则它的反函数存在, 且单调、连续、可导.
例15 y arcsinx (1 x 1) , 求 y。
解 它是 x = sin y ( y ) 的反函数
2
2
又 x = siny 在 ( , ) 上单调、连续、可导,
u(x)v(x) u(x)v(x) v2 ( x)
( v(x) 0)
例11 y cot x , 求 y。
解
y
(cot
x)
cos
x
sin x
(cosx)sin x cosx(sin x) sin2 x
sin2 x cos2 sin2 x
x
1 sin 2
x
csc2 x (1 cot2 x)
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
例2
(4x ) 4x ln 4
(abx ) ((ab )x ) (ab )x ln ab babx ln a
( a 0、b 为常数)
4. 对数函数 y ln x (x 0)
Q lim y lim ln(x x) ln x
x0 x x0
点 (x, y) 处的切线相同.
f ( y) tan tan( )
2
cot 1 1 tan (x) ((x) 0 )
反函数的导数是其直接函数导数的倒数.
定理 ( 该定理的证明较简单, 由学生自己阅读.)
设单调函数 x = (y) 在区间 I 内可导,
(x) 0 , 则它的反函数 y = f (x) 在相应的
解
y
(e x
)
1 ex
(1) ex 1 (ex ) (ex )2
ex e2x
1 ex
ex
例14 y sec x , 求 y.
解
y
(s ec x)
1 cos
x
(cosx) cos2 x
sin c os2
x x
tan xsecx
(sec x) tan x sec x
三.反函数的导数
x
1
tan2
x
(cotx) 1 csc2 x (1 cot2 x) sin 2 x
这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导.
二. 导数的四则运算法则
若函数 u(x) , v(x) 均可导, 则
(1) (u(x) v(x)) u(x) v(x),
(2) (u(x)v(x)) u(x)v(x) u(x)v(x)
且
( f ((x))) f ((x))(x)
或
d d
y x
d d
y u
d d
u x
证 给 x 以增量 x, 相应地 u = (x) 有增量 u,
对于u, y = f (u) 有增量 y. Q y = f (u) 在相应点 u 处可导,
y f (u)u o(u) f (u)u u
以 x 除上式, 得