北京市丰台区高三一模数学（文）试卷及答案

A
B
C D O E
A 1
B 1
C 1
D 1
开始 输入a S =0，n =1 n = n +1 S = S +a n n ≤ 否
是
丰台区高三年级第二学期统一练习（一）
数 学（文科）
.3
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么
U
A =
(A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥
(D) {23}x x ≤≤
2．“a =2”是“直线ax +2y =0与直线x +y +1=0平行”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
3．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，||4=a ，||3=b ，则||+a b 等于
(A) 37
37
(C) 13
134．记集合22{(,)4}A x y x y =+≤和集合{(,)|20,0,0}B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2内的概率为 (A)
21
π
(B)
1π
(C)
4
1 (D)
π-2
4π
5．如图所示，O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能．．．
是
6．程序框图如图所示，若输入a 的值是虚数单位i ，则输出的结果是
(A) -1 (B) i -1 (C) 0
(D) - i
7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
① 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ② 若α//β，m α⊂，则m //β；
(A) (B) (C) (D)
③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②
(C) ③④ (D) ②③
8．若函数()f x 满足条件：当12, [1,1]x x ∈-时，有1212|()()|3||f x f x x x -≤-成立，则称
()f x ∈Ω．
对于函数3
()g x x =，1
()2
h x x =+，有 (A) ()g x ∈Ω且()h x ∉Ω (B) ()g x ∉Ω且()h x ∈Ω (C) ()g x ∈Ω且()h x ∈Ω (D) ()g x ∉Ω且()h x ∉Ω
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知抛物线2
4y x =上一点P (3，y )，则点P 到抛物线焦点的距离为 ． 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2=1，S 5=10，则S 7= ．
11．已知函数1,0,
()(2),<0.
x e x f x f x x ⎧-≥=⎨+⎩ 则(1)f -= ．
12．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点 A ，点A 的纵坐标为
4
5
，则cos α= ． 13．某路段检查站监控录像显示，在某段时间内有2000辆车通过该站，现随机抽取其中的200辆进行车速分析，分析结果表示为如图所示的频率分布直方图．则图中a = ，估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有 辆． 14．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数
2()([])f x x x =-的四个命题：
①函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ④函数()y f x =在(0,1)上是增函数．
其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
A
α
x
y
O
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2
cos 2cos 2sin 3)(2x
x x x f +=，求)(B f 的最大值．
16．（本小题共13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =
1
2
AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；
（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得
PA //平面BMQ ．
17．（本小题共13分）
已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且3
12
n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．
P
A
B
C
D Q
M
18．（本小题共14分）
已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2
． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在OA 上存在一点M ，OB 上存在一
点N ，使得1
2
MN AB =，若原点O 在以MN 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．
19．（本小题共14分）
已知函数3
2
()4f x x ax bx =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数． （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）当0x ≥时，曲线()y f x =总在直线2
4y a x =-上方，求a 的取值范围．
20．（本小题共13分）
已知123{(,,,
,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,
,}i n =(2)n ≥，对于
,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）如果(0,0,0,0)U =，存在m 个4V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）如果0
(0,0,0,
,0)n W =个，,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区高三年级第二学期统一练习（一）
数 学（文科）参考答案.3
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案
B C B A A A D
C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．4 10．21 11．e -1
12．35
- 13．0.02，600 14． ③④（写对一个给2分，多写不给分）
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2
cos 2cos 2sin 3)(2x
x x x f +=
，求)(B f 的最大值．
解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，
由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =
1
2
．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分
∵ 0<A <π （或写成A 是三角形内角） ……………………4分
∴3
A π
=． ……………………5分 （
Ⅱ
）
2
cos 2cos 2sin 3)(2x
x x x f +=311cos 22x x =++ ……………………7分 1
sin()62
x π=++， ……………………9分
∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666
B πππ
<+< （没讨论，扣1
分）…………………10分
∴当62B ππ+
=，即3B π=时，()f B 有最大值是2
3
． ……………………13分
16．（本小题共13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =
1
2
AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；
（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ． 证明：（Ⅰ）AD // BC ，BC =
1
2
AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形， ……………………2分 ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ，
∴∠AQB =90° ， 即QB ⊥AD ． ……………………3分 ∵ PA =PD ，Q 为AD 的中点，
∴PQ ⊥AD ． ……………………4分 ∵ PQ ∩BQ =Q ， ……………………5分
∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………6分
（Ⅱ）当1t =时，PA //平面BMQ ． （没写结论扣2分） ……………………8分
连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ∵BC //
1
2
DQ ， ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， ……………………9分 ∵点M 是线段PC 的中点，
∴ MN // PA ． ……………………10分
∵ MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ， ……………………11分 ∴ PA // 平面BMQ ． ……………………13分
17．（本小题共13分）
已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且3
12
n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式． 解：（I ）当n =1时，113
12
a a =
-， ∴ a 1=2． ……………………2分 A
B
C D
Q
M
N
当2n ≥时， ∵3
12
n n S a =
- ① 113
1(2)2
n n S a n --=
-≥ ② ①-②得：133
(1)(1)22
n n n a a a -=---，即13n n a a -=， (3)
分
∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列． ……………………4分
∴1
23n n a -=⋅． ……………………6分
（II ）∵1n n n b b a +=+，
∴当2n ≥时，2
123n n n b b --=+⋅
……
13223b b =+⋅
02123b b =+⋅ ……………………8分
相
加
得
1
2
1
11132(3
33)53413
n n n n b b ----=+⋅+
++=+=+-． ……………………11分
（相加1分，求和1分，结果1分） 当n =1时，11
13
45b -+==， ……………………12分
∴ 1
34n n b -=+． ……………………13分
18．（本小题共14分）
已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2
． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在OA 上存在一点M ，OB 上存在一
点N ，使得1
2
MN AB =，若原点O 在以MN 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．
解
：
(
Ⅰ
)
依
题
意
，
可
设
椭
圆
E
的方程为
22
22
1(0)x y a b a b +=>>． ……………………1分 ∵
12
c a =， ∴
2a c
=，
22223b a c c =-=． ……………………3分
∵ 椭圆经过点3(1,)2
， ∴
椭
圆
的
方
程
为
22
143
x y +=． ……………………5分 (Ⅱ) 记,A B 两点坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，
22
2
14
3y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y ，得
22(43)1640k x kx +-+=． ……………………7分
∵ 直线与椭圆有两个交点， ∴ 2
4
(16)16(43)0k k ∆=-+>， ∴
21
4
k >
． ……………………9分
由韦达定理 1221643k x x k +=
+，122
4
43
x x k =+． ∵ 原点O 在以MN 为直径的圆上， ∴ OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=． ∵ 1
2
MN AB =，M 在OA 上，N 在OB 上 ∴
0OA OB ⋅=， ……………………10分
又11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，
∴ OA OB ⋅=12121212(2)(2)x x y y x x kx kx +=+--2
1212(1)2(+)+4k x x k x x =+-
222416(1)
2+4=04343
k
k k k k =+-++．
∴
241
=
32
k >， ……………………13分
∴
23
=k ……………………14分
19．（本小题共14分）
已知函数3
2
()4f x x ax bx =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数． （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）当0x ≥时，曲线()y f x =总在直线2
4y a x =-上方，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）∵3
2
()4f x x ax bx =+++，
∴
2'()32f x x ax b =++． (2)
分
∵()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数， ∴
当
x =时，
()
f x 有极大值，即
'(0)0f =， ……………………4分
∴
0b =． ……………………6分 （Ⅱ）2
'()32(32)f x x ax x x a =+=+，
∵ ()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数， ∴
2
13
a -≥，即
3
2
a ≤-． ……………………8分
∵曲线()y f x =在直线2
4y a x =-的上方，
设
322()(4)(4)g x x ax a x =++--， (9)
分
∴在[0,)x ∈+∞时，()0g x ≥恒成立． ∵ 2
2
'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+， 令
'()0
g x =，两个根为
a
-，
3
a ，且
03
a
a <<-， ……………………10分 x (0,)a - a -
(,)a -+∞ '()g x － 0 ＋
()g x 极小值
∴
当
x a
=-时，
()
g x 有最小值
()g a -． ……………………12分
令3
3
3
()(4)(4)0g a a a a -=-++--->， ∴3
8a >-，由3
2
a ≤-， ∴ 3
22
a -<≤-
. ……………………14分 另解：3
2
()4f x x ax =++，2
'()32(32)f x x ax x x a =+=+
当a =0时，3
()4f x x =+，2
'()30f x x =≥，函数()f x 在定义域上为增函数，与
已知矛盾，舍；
…………
…………7分
当a >0时，由（Ⅰ）知，'()(32)f x x x a =+， 函数()f x 在2(,)3a -∞-
上为增函数，在2(,0)3
a
-上为减函数，与已知矛盾，舍； …………
…………8分
当
a <0
时，
'()(32)f x x x a =+，由已知可得213
a
<-
，∴
3
2
a ≤- ……………………9分
设
322()(4)(4)g x x ax a x =++--， ……………………10分
∴ 22
'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+。

令'()0g x =，两个根为a -，3a ，03a a <<-， x
(0,)a - a - (,)a -+∞ '()g x
－ 0 ＋
()g x
极小值 ∴ 当x a =-时，()g x 有最小值()g a -． ……………………12分
令333()(4)(4)0g a a a a -=-++--->，
∴38a >-，由32a ≤-
， ∴ 322a -<≤-
. ……………………14分
20．（本小题共13分）
已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）如果(0,0,0,0)U =，存在m 个4V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）如果0(0,0,0,
,0)n W =个，,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥．
解：
（Ⅰ）6. ……………………4分
（Ⅱ）证明：令123(,,,,)n U a a a a =，123(,,,,)n V b b b b =.
∵0i a =或1，0i b =或1；
当0i a =，0i b =时，||i a +||0i b =||i i a b =-；
当0i a =，1i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =-；
当1i a =，0i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =-；
当1i a =，1i b =时，||i a +||2i b =||0i i a b ≥-=．
故||i a +||i b ||i i a b ≥-．
∴(,)(,)d U W d V W +=123()n a a a a ++++123()n b b b b ++++
+ 123(||||||)n a a a a =++|++|123(||||||)n b b b b +++|+
+| 112233(||||||)n n a b a b a b a b ≥-+-+--|+
+|(,)d U V = …………………
…13分 法二：记U V 、中对应项同时为0的项的个数为p ，对应项同时为1的项的个数为q ，
则对应项一个为1，一个为0的项的个数为n p q --；()p q N p q n ∈+≤、，． (,)d U W 即是U 中1的个数，(,)d V W 即是V 中1的个数，
(,)d U V 是U V 、中对应项一个为1，一个为0的项的个数．
于是有(,)d U V n p q =--．
U V 、中1一共有2()q n p q +--个，即(,)(,)d U W d V W n p q +=-+． 所以有(,)(,)(,)20d U W d V W d U V q +-=≥，
于是(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥． ……………………12分
（若用其他方法解题，请酌情给分）。