计算机控制技术第7章 数字控制器的离散化设计方法

1
若 Z f (t) F(z)
则 lim f (t) lim(z 1)F(z)
t
z 1
表7-2 Z变换重要性质
名称
性
质
（7-16）
线性定理
Z[a1 f1(t) a2 f2(t)] a1F1(z) a2F2(z)
2
延迟定理
3
超前定理
4
复位移定理
5
复微分定理
6
初值定理
7
终值定理
在图7-1中 ， f(t)与g(t) 是两个不同的连续函数，但是由于f*(t) 和 g*(t)相等，所以F(z) 等于G(z) 。
f (t) g(t)
f (t)
g (t )
0
T
2T
3T
t
图7-1 采样值相同的两个不同的连续函数
4/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
例7-1 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。
如图7-2（a）所示。
r(t)
c(t)
(s )
r(k)
c(k)
(s )
（a）
图7-2 连续系统和离散系统
（b）
10/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
即 代入式(7-17)，即得
dc(t) c(k 1) c(k)
dt
T
T0 [c(k 1) c(k)] c(k) Kr(k)
T
或
c(k 1) (1 T )c(k) K T r(k)
C(z, m) E(z)D(z)G(z, m)
[R(z) C(z, m)]D(z)G(z, m)
所以
(z, m) D(z)G(z, m)
1 D(z)G(z, m)
2．连续环节采样时刻之间的输出
为了求取采样瞬间之间的信息，在输出端加上一个假想的延迟环节e-lTs
如图7-5所示，使输出c(t)产生延迟，成为c(t-lT)，于是在采样时刻得到的信号，
解 令 f(t)=l(t)，则 f *(t) (t) (t T ) (t 2T ) (t kT )
F (z) 1 z1 z2 zk
当‖|z|>1 时，上式所示的无穷级数收敛
Z 1(t)
1
1 z 1
z z 1
（7-8）
由于Z变换仅是描述采样时刻的特性，所以Z的反变换只 能求出采样函数脉冲序列的表达式，而不能求出它的连续函数 的时间表达式。与连续函数的拉氏反变换表示法类似，Z反变 换用如下符号表示
T0
T0
即为所求的离散系统的差分方程。
（7-18）
2. 用Z变换法解线性常系数差分方程
解的过程是先将差分方程经Z变换后成为Z的代数方程，然后 求出未知序列的Z表达式C(z) ,最后查Z变换表或用其它方法求得
ck (c(k) ck )
例 7-5 用Z变换解下列差分方程
c(k 2) 3c(k 1) 2c(k) 0
3. 留数法
k
实际遇到的Z变换式F(z)，除了有理分式外，也可能是超越函数
此时可以用留数法求Z反变换比较合适。对有理分式也使用。
已知Z变换式F(z)，F(z)的Z反变换f(kT)值，可由下式计算
f
(kT )
Z [ 1 F (z)]
1
2j
cF (z)z k1dz
（7-19）
15/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
16/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
如果延迟时间不是采样周期的整数倍，前面介绍的Z变换法也就无能为力
了。所以有必要对Z变换进行改进，这就是扩展Z变换。
1．对象具有延迟环节的系统的Z变换
这里所讨论的具有延迟环节的系统，是指延迟环节的延迟时间不是采
样周期的整数倍的系统。
例7-10 求图所示系统的闭环脉冲传递函数。
则
Z
f (t nT)
z
n
F
(z)
n1
z
n
j
f
(
jT
)
（7-11）
j0
7/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
特殊地，如果初始值为零，即
f (0) f (1) f (2) f (n 1) 0
Z f (t nT) znF(z)
（7-12）
由此，可以进一步明确算子 的物理意义：在满足初始条件
11/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
初始条件为：
c(0) 0, c(1) 1
解 对上式进行Z变换得
z2C(z) z2C(0) zC(1) 3zC(z) 3zC(0) 2c(z) 0
代入初始条件，并解得
C(z)
z2
z 3z
2
(z
z 1)(z
2)
查表得
z z z 1 z 2
1 (s a)2
1 s(s a) ba (s a)(s b)
s s2 2
s2 2
F (z)
1
z z 1
Tz (z 1)2
T 2 z(z 1) 2( z 1)3
z za
z z eaT
Tze aT ( z e aT )2
(1 eaT )z (z 1)(z eaT )
z(eaT ebT ) (z eaT )(z ebT )
Z[ f (t nT )] z n F (z)
n 1
Z[ f (t nT )] z n F (z) Z n j f ( jT )
j0
Z[e at f (t)] F (e at z)
Z[tf (t)] Tz d F(z) dz
f (0) lim F(z)
z
lim f (t) lim(z 1)F(z) lim(1 z1)F(z)
Za1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(z) a2F2 (z)
（7-9）
2. 延迟定理
若 Z f (t) F(z)
则 Z f (t nT) znF(z)
（7-10）
即离散信号在时域内延迟T，则其Z变换应乘以z-1，所以z-1
可看作是滞后一个采样周期的算子。
3. 超前定理 若
Z f (t) F (z)
散系统，输入与输出之间的关系可用差分方程来描述，用Z变换解差分方
程，用脉冲传递函数对离散系统的暂态和稳态进行分析。Z变换是研究离
散系统的重要数学工具。
7.1.1 采样函数的拉氏变换
f (t )
f (kT ) (t kT )
k 0
f * (s) L[ f (t )]
（7-1）
L
k 0
f
(kT )
z 1 2
0.5z 1 1 z 1
z12 1
14/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
故
F (z)
1 1 z 1
1
1 0.5 z
1
其反变换为
f (k) 1 0.5k (k 0, 1, 2, )
也可写为
0.693t
f (t) 1 e T T (t)
式中
T (t) (t kT )
例7-6
设
F
(
z
)
1
1 0.5
z
1
,求f*(t)
解
1 0.5z 1
1 0.5z 1 0.25z 2 0.125z 3 1
1 0.5z 1 0.5z 1 0.5z 1 0.25z 2 0.25z 2 0.25z 2 0.125z 3 0.125z 3 0.125z 3 0.0625z 4 0.0625z 4
1- 0.5z1 0.5z2 (1 z1)(1 0.5z1) 0
可见特征方程无重根，设
F(z)
(1
0.5z 1 z 1)(1 0.5z 1)
A 1 z 1
1
B 0.5z 1
所以
A
(1
z 1)F (z)
z 1 1
0.5z 1 1 0.5z 1
z 1 1
0.5 1 1 0.5
B
(1 0.5z 1)F (z)
现在求
Z[
a
e0.3Ts ]
s(s a)
图7-4 例7-10的系统图
17/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
由于l=0.3，所以m=0.7 ，因此是求 ， 可查表，从而
F(s) ，s(msa=a0).7的扩展Z变换，
G(z, m)
(1
z
1
)
z
1
1
z
1
z 1
e0.7aT z 1 1 eaT z 1
为零的前提下， 代表超前一个采样周期。 4. 复位移定理
5. 复微分定理 6. 初值定理
Z e at f (t) F (e aT z)
Ztf (t) Tz d F (z)
dz
（7-13） （7-14）
若 Zf (t) F(z)
则 f (0) lim F(z)
z
（7-15）
8/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
解
G0
(z,
m)
Z
[1
e s
Ts
a e1.3Ts ] as
R(z)
G0 (z, m)
Z[(1 eTs )eTs a e0.3Ts ] s(s a)
(1 z 1)z 1Z[ a e0.3Ts ] s(s a)
E(z) T
—
X (z) D(z)
1 - eTs s
a e1.8Ts sa
c(z ) c(t )
(t
kT )
{ f (kT )L[ (t kT )]}
k 0
f (kT )e kTs
k 0
（7-2）
2/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
7.1.2 采样函数的Z变换
式(7-2)中，s在指数里，给运算带来许多困难。为此引进 新的复变量z，令
z=eTs
于是，式(7-2)变为 F (z) f (kT )z k k 0
c(k) (1)k (2)k
(k 0, 1, 2, )
7.1.5 Z反变换
1．长除法 在“t”域中的采样函数f*(t)和“Z”域中的Z变换F(z)之间，有
着明确的一一对应关系。因此，只要将 F(z)的解析式展开成关于
12/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
z-1的幂级数，则F(z)中相应于z-k的系数，就是f*(t)在第k个采样时刻的值f(k) 。
t
z1
z1
9/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
7.1.4 用Z变换解线性常系数差分方程
1. 差分方程 在连续控制系统中遇到的都是连续信号，描述它们的内在
规律采用微分方程。
设系统原为一阶环节，其微分方程形式的数学模型为
传递函数为
T0
dc(t) dt
c(t)
Kr (t)
（7-17）
(s) K
T0s 1
Z 1F (z) f *(t)
5/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
f (t )
(t )
1(t )
t
1 t2 2 at T
eat te at 1 eat eat ebt sint
cos t
表7-1 常用函数Z变换表
F (s)
1
1 s 1 s2
1 s3
1 s (1 T ) ln a
1 sa
第7章 数字控制器的离散化设计方法
Z变换 数字控制器的离散化设计方法 最小拍有波纹控制系统的设计 最小拍无波纹控制系统的设计 控制算法在计算机上的实现
1/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
7.1 Z变换
线性系统的动态特性可用常系数线性微分方程来描述，并且可以用
拉氏变换来分析它的暂态特性和稳态控制精度。计算机控制系统属于离
lim(z z pi
pi )F(z)z k1（7-21）
所以
f
(kT )
n
lim (z
pi )F ( z) z k1
i1 z pi
7.1.6 扩展Z变换
前面各节所讨论的Z变换，只处理采样时刻的信息，无 法求出控制系统的输出量或某个环节的输出量在两次采样之 间的过渡过程；另外，控制对象往往包含延迟环节，如果延 迟时间是采样周期的整数倍，可以借助延迟定理处理。但是
其中的积分曲线C是包围原点的反时针封闭曲线，它包围
F(z)zk-1 所有的极点。根据柯西留数定理，上式可以表示为
n
f
(kT )
i 1
Re
s[F ( z) z k1 ]z pi
（7-20）
n表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部极点 的留数之和。
Re s[F (z)z k1 ] zpi
z sin T z2 2z cosT 1
z(z cosT ) z2 2z cosT 1
6/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
7.1.3 Z变换的性质
1．线性定理
对于任何常数a1和a2 ，Z若 f1(t) F1(z), Z f2 (t) F2 (z) ，
有等Z式 f1(t) F1(z), Z f2 (t) F2 (z)
13/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
所以 F(z) 1 0.5z1 0.25z2 0.125z3
可见 f (t) (t) 0.5 (t T ) 0.25 (t 2T ) 0.125 (t 3T )
2．部分分式展开法 例 7-7 求 F(z) 11.50z.51z10.的5zZ2 反变换 解 F(z)的特征方程式为
F(z)称为采样函数 的Z变换，记作：
F (z) Z f (t)
（7-3）
一般，采样函数的变量直接采用k表示，即 ，记作 ，所以
F (z) Z f *(t) f (k )z k fk z k
（7-4）
k 0
k 0
注意以下几点：
3/57
第7章 数字控制器的离散化设计方法
（1） 只有采样函数 f*(t)才能定义Z变换。 （2） Z变换和离散序列之间有着非常明确的“幅值”和“定时” 对应关系。 （3） Z变换由采样函数决定的，它反映不了非采样时刻的信息。