高考一轮复习：电磁感应中“单杆、双杆、线圈”问题归类例析

电磁感应中“单杆、双杆、线圈”问题归类例析
导体杆在磁场中运动切割磁感线产生电磁感应现象，是历年高考的一个热点问题。

因此在高三复习阶段有必要对此类问题进行归类总结，使学生更好的掌握、理解它的内涵。

通过研究各种题目，可以分类为“单杆、双杆、线圈”三类电磁感应的问题，最后要探讨的问题不外乎以下几种：
1、运动状态分析：稳定运动状态的性质（可能为静止、匀速运动、匀加速运动）、求出稳定状态下的速度或加速度、感应电流或安培力。

2、运动过程分析：分析运动过程中发生的位移或相对位移，运动时间、某状态的速度等
3、能量转化分析：分析运动过程中各力做功和能量转化的问题：如产生的电热、摩擦力做功等
4、求通过回路的电量
解题的方法、思路通常是首先进行受力分析和运动过程分析。

然后运用动量守恒或动量定理以及能量守恒建立方程。

按照不同的情景模型，现举例分析。

一、“单杆”切割磁感线型
1、杆与电阻连接组成回路
例1、如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感强
度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一
阻值为R的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R／2的金属导线ab
垂直导轨放置
（1）若在外力作用下以速度v向右匀速滑动，试求ab两点间的电势差。

（2）若无外力作用，以初速度v向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab电量以及ab发生的位移x。

例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m，
上、下两端各有一个电阻R0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框
架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B
＝2T.ab为金属杆，其长度为L＝0.4 m，质量m＝0.8 kg，电阻r＝
0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度
达到最大的过程中，上端电阻R0产生的热量Q0＝0.375J(已知
sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／s2)求：
(1)杆ab的最大速度；
(2)从开始到速度最大的过程中ab 杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab 的电荷量.
2、杆与电容器连接组成回路
例3、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个
电容器, 电容为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m 的金
属棒ab 可紧贴导轨自由滑动. 现让ab 由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不
考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒的做什么运动？棒落地时的速
度为多大？
例4、光滑U 型金属框架宽为L ，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为C 的电容器，现给棒一个初速v 0，使棒始终垂直框架并
沿框架运动，如图所示。

求导体棒的最终速度。

3、杆与电源连接组成回路
例5、如图所示，长平行导轨PQ 、MN 光滑，相距5.0 l m ，
处在同一水平面中，磁感应强度B =0.8T 的匀强磁场竖直向下
穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab 的质量m =0.1kg 、电
阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S 将电动势 E
=1.5V 、内电阻r =0.2Ω的电池接在M 、P 两端，试计算分析：
（1）在开关S 刚闭合的初始时刻，导线ab 的加速度多大？随后ab 的加速度、速度如何变化？
（2）在闭合开关S 后，怎样才能使ab 以恒定的速度υ =7.5m/s 沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．
二、“双杆”切割磁感线型
1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度
（1）、“双杆”向相反方向做匀速运动
当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。

[例6] 两根相距d=0.20m 的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T ，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计。

已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s ，如图所示，不计导轨上的摩擦。

（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小。

（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。

（2）、“双杆”同向运动，但一杆加速另一杆减速
当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。

[例7] 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。

导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。

两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的
电阻可不计。

在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，
磁感应强度为B。

设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。

开
始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。

若两导
体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少。

（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？
（3）、“双杆”中两杆都做同方向上的加速运动。

“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。

[例8]如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，
磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨
的电阻很小，可忽略不计。

导轨间的距离l=0.20m。

两根质量
均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑
动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50
Ω。

在t=0时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。

经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？
2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系
例9、如图所示，abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，
区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。

ab、a/b/间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。

设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh 的质量的2倍。

现给导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？
a/
例10、 如图所示，光滑导轨、等高平行放置，间宽度为
间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。

、是质量均为
的金属棒，现让从离水平轨道高处由静止下滑，设导轨足够长。

试求： (1)
、棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

3、磁场方向与导轨平面不垂直
例11、如图所示，ab 和cd 是固定在同一水平面内的足够长平
行金属导轨，ae 和cf 是平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在
竖直向上的匀强磁场中。

在水平导轨上有与导轨垂直的导体棒
1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体棒2，两棒与导轨
间接触良好，构成一个闭合回路。

已知磁场的磁感应强度为B ，
导轨间距为L ，倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m ，电阻均为R 。

不计导轨电阻和一切摩擦。

现用一水平
恒力F 作用在棒1上，从静止开始拉动棒1，同时由静止开始
释放棒2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。

忽略感应电流
之间的作用，试求：
（1）水平拉力F 的大小；
（2）棒1最终匀速运动的速度v 1的大小。

三、线圈模型
例3 如图17-5所示，“凸”字形硬质金属线框质量为m ，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab 边长为l ，cd 边长为2l ，ab 与cd 平行，间距为2l .匀强磁场区域的上、下边界均
水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，
cd 边到磁场上边界的距离为2l ，线框由静止释放，
从cd 边进入磁场直到ef 、pq 边进入磁场前，线
框做匀速运动，在ef 、pq 边离开磁场后到ab 边
离开磁场前，线框又做匀速运动．线框完全穿过
磁场过程中产生的热量为Q .线框在下落过程中
始终处于原竖直平面内，且ab 、cd 边保持水平，
重力加速度为g . 图17-5
(1)线框ab 边将要离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd 边刚进入磁场时的几倍？
(2)求磁场上、下边界间的距离H .
电磁感应中动量定理的运用
动量定律I ＝∆P 。

设想在某一回路中，一部分导体仅在安培力作用下运动时，安培力F 为变力，但其冲量可用它对时间的平均值进行计算，即I ＝F t ∆， 而F ＝B I L （I 为电流对时间的平均值）故有：B I L t ∆=mv 2－mv 1 .而I t=q ,故有q=BL
mv 12mv - 理论上电量的求法：q=I •t 。

这种方法的依据是电流的定义式I=q/t 该式的研究对象是通电导体的某一截面，若在t 时间内流过该截面的电量为q ，则流过该切面的电流为I ＝q/t ，显然，这个电流应为对时间的平均值，因此该式应写为I = q/t ，变形后可以得q ＝I t ，这个关系式具有一般性，亦即无论流经导体的电流是恒定的还是变化的，只要电流用这段时间内的平均值代入，该式都适用，而平均电流的求解，在电磁感应问题中最为常见的思路为：对某一回路来说，据法拉第
电磁感应定律，得E=t
∆∆φ，显然该感应电动势也为对其时间的平均值，再由I ＝R E （R 为回路中的总电阻）可以得到I ＝t
R ∆∆φ。

综上可得q ＝R φ∆。

若B 不变，则q ＝R
φ∆＝R s B ∆ 电量q 与安培力的冲量之间有什么联系？可用下面的框图来说明。

13、如图1所示，半径为r 的两半圆形光滑金属导轨并列竖直放置，在轨道左侧上方MN 间接有阻值为R 0的电阻，整个轨道处在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，两轨道间距为L ，一电阻也为R 0质量为m 的金属棒ab 从MN 处由静止释放经时间t 到达轨道最低点
cd 时的速度为v ，不计摩擦。

求：
（1）棒从ab 到cd 过程中通过棒的电量。

（2）棒在cd 处的加速度。

14、如图2所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，
现有一个边长为a （a ﹤L ）的正方形闭合线圈以初速
度v 0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v ﹤v 0)，那
么线圈
A.完全进入磁场中时的速度大于（v 0+v ）/2
B.完全进入磁场中时的速度等于（v 0+v ）/2
C.完全进入磁场中时的速度小于（v 0+v ）/2
D.以上情况均有可能
例1、解析：（1）ab 运动切割磁感线产生感应电动势E ，所以ab 相当于电源，与外电阻R 构成回路。

∴U ab =BLV BLV R R R 322
=+ （2）若无外力作用则ab 在安培力作用下做减速运动，最终静止。

动能全部转化为电热。

221mv Q =。

由动量定理得：mv Ft =即mv BILt =，It q =∴BL
mv q =。

BL mv R BLx R It q ==∆==2
323ϕ，∴2223L B mvR x =。

例2、解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。

（1） 杆ab 达到平衡时的速度即为最大速度v ，这时
mgsin θ—F —N μ =0，N=mgcos θ
∴F=mg （sin θ—μcos θ）
总电阻Ω=+=120r R R ，Blv E =，R E I =，BIL F =R
v L B F 22=，得s m L
B R mg v 5.2)cos (sin 22=-=θμθ
克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即
J Q Q Q W 5.12200=+==，由动能定理：02
1c o s s in 2-=--mv mg W smg θμθ)
c o s (s in 212θμθ-+=mg W mv s 通过ab 的电荷量 R BLs t I q =
∆=，代入数据得q ＝2 C 例3、解析：
ab 在mg 作用下加速运动，经时间 t ，速度增为v ，a =v / t
产生感应电动势 E=Bl v
电容器带电量 Q=CE=CBl v ，感应电流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a
产生安培力F=BIl =CB2 l 2a ，由牛顿运动定律 mg-F=ma
ma= mg - CB 2 l 2a ，a= mg / (m+C B 2 l 2)
∴ab 做初速为零的匀加直线运动, 加速度 a= mg / (m+C B 2 l 2)
落地速度为
例4、解析：当金属棒ab 做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C 将被充电，ab 棒中有充电电流存在，ab 棒受到安培力的作用而减速，当ab 棒以稳定速度v 匀速运动时，有：
BLv=UC=q/C
而对导体棒ab 利用动量定理可得：-BLq=mv-mv 0 由上述二式可求得： C
L B m mv v 220+= 例5、解析（1）在S 刚闭合的瞬间，导线ab 速度为零，没有电磁感应现象，由a 到b 的电流A r
R E I 5.10=+=，ab 受安培力水平向右，此时瞬时加速度2000/6s m m L BI m F a === 2
222l CB m mgh ah v +==
ab 运动起来且将发生电磁感应现象．ab 向右运动的速度为υ时，感应电动势Blv E ='
，根据右手定则，ab 上的感应电动势（a 端电势比b 端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，r
R E E I +-='
）将减小（小于I 0=1.5A ），ab 所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E 随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势'E 与电池电动势E 相等时，电路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．
设最终达到的最大速度为υm ，根据上述分析可知：0m E Bl υ-= 所以 1.50.80.5
m E Bl υ==⨯m/s=3.75m/s ． （2）如果ab 以恒定速度7.5υ=m/s 向右沿导轨运动，则ab 中感应电动势
5.75.08.0'⨯⨯==Blv E V=3V
由于'
E ＞E ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：2.08.05.13''
+-=+-=r R E E I A=1.5A 直导线ab 中的电流由b 到a ，根据左手定则，磁场对ab 有水平向左的安培力作用，大小为5.15.08.0'
'⨯⨯==BlI F N=0.6N
所以要使ab 以恒定速度5.7=v m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力6.0=F N 作用于ab ．
上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：
①作用于ab 的恒力（F ）的功率：5.76.0⨯==Fv P W=4.5W
②电阻（R +r ）产生焦耳热的功率：)2.08.0(5.1)(22'+⨯=+=r R I P W=2.25W ③逆时针方向的电流'
I ，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能
量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：''
1.5 1.5P I E ==⨯W=
2.25W 由上看出，'''P P P +=，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）． 例6解析：（1）当两金属杆都以速度v 匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为： E1=E2=Bdv
由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：
因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd 。

由以上各式并代入数据得N
（2）设两金属杆之间增加的距离为△L ，则两金属杆共产生的热量为
，代
入数据得 Q=1.28×10-2J 。

例7解析：ab 棒向cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流。

ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd 棒则在安培力作用下作加速运动。

在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速。

两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v 作匀速运动。

（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量
（2）设ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的速度为v1，则由动量守恒可知：
此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：，
此时棒所受的安培力：，所以棒的加速度为
由以上各式，可得。

例8解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势，回路中的电流，
杆甲的运动方程。

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量时为0）等于外力F的冲量。

联立以上各式解得，代入数据得
点评：题中感应电动势的计算也可以直接利用导体切割磁感线时产生的感应电动势公式和右手定则求解：设甲、乙速度分别为v1和v2，两杆切割磁感线产生的感应电动势分别为E1＝Blv1 ，E2＝Blv2 由右手定则知两电动势方向相反，故总电动势为E＝E2―E1＝Bl（v2－v1）。

分析甲、乙两杆的运动，还可以求出甲、乙两杆的最大速度差：开始时，金属杆甲在恒力F作用下做加速运动，回路中产生感应电流，金属杆乙在安培力作用下也将做加速运动，但此时甲的加速度肯定大于乙的加速度，因此甲、乙的速度差将增大。

根据法拉第电磁感应定律，感应电流将增大，同时甲、乙两杆所受安培力增大，导致乙的加速度增大，甲的加速度减小。

但只要a甲>a乙，甲、乙的速度差就会继续增大，所以当甲、乙两杆的加速度相等时，速度差最大。

此后，甲、乙两杆做加速度相等的匀加速直线运动。

设金属杆甲、乙的共同加速度为a，回路中感应电流最大值Im。

对系统和乙杆分别应用牛顿第二定律有：F=2ma；BLIm=ma。

由闭合电路欧姆定律有E=2ImR，而由以上各式可解得
例9解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef 的速度减小到v 1， 导体棒gh 的速度增大到v 2，则有2BLv 1-BLv 2=0，即v 2=2v 1。

对导体棒ef 由动量定理得：
01222mv mv t I BL -=∆-- 对导体棒gh 由动量定理得：02-=∆-mv t I BL 。

由以上各式可得：02013
2,31v v v v ==。

例10、ab 下滑进入磁场后切割磁感线，在abcd 电路中产生感应电流，ab 、cd 各受不同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小当感应电流为零时，ab 、cd 不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。

全过程中系统内机械能转化为电能再转化为内能，总能量守恒。

ab 自由下滑，机械能守恒：mgh=(1/2)mV2 [1] 由于ab 、cd 串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度 Lab=3Lcd ，故它们的磁场力为：Fab=3Fcd [2]
在磁场力作用下，ab 、cd 各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当εab=εcd 时，电路中感应电流为零，(I=0)，安培力为零，ab 、cd 运动趋于稳定，此时有：BLabVab=BLcdVcd 所以Vab=Vcd/3 [3]
ab 、cd 受磁场力作用，动量均发生变化，由动量定理得：
Fab △t=m(V-Vab) [4] Fcd △t=mVcd [5]
联立以上各式解得：Vab=(1/10)，Vcd=(3/10)
(2)根据系统能量守恒可得：Q=△E 机=mgh-(1/2)m(Vab2+Vcd2)=(9/10)mgh
例11解析（1）1棒匀速：BIL F = 2棒匀速：θtan mg BIL =
解得：θtan mg F =
（2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t ，过程中平均感应电流为I ，据动量定理， 对1棒：01-=-mv Lt I B Ft ；对2棒：0cos sin 2-=⋅-⋅mv t L I B t mg θθ
联立解得：θcos 12v v =
匀速运动后，有：θcos 21BLv BLv E +=，R E I 2= 解得：)cos 1(tan 22221θθ
+=L B mgR v
13、分析与解
有的同学据题目的已知条件，不假思索的就选用动量定理，对该过程列式如下：
mgt －B I Lt=mv －0 显然该式有两处错误：其一是在分析棒的受力时，漏掉了轨道对棒的弹力N ，从而在使用动量定理时漏掉了弹力的冲量I N ；其二是即便考虑了I N ，这种解法也是错误的，因为动量定理的表达式是一个矢量式，三个力的冲量不在同一直线上，而且IN 的方向还不断变化，故
我们无法使用I=Ft 来求冲量，亦即无法使用前面所提到的方法二。

为此，本题的正确解法是应用前面提到的方法一，具体解答如下：
对应于该闭合回路应用以下公式：
14、分析与解
这是一道物理过程很直观的问题，可分为三个阶段：进入和离开磁场过程中均为加速度不断减少的减速运动，完全进入磁场后即作匀速直线运动，那么这三个过程的速度之间的关
系如何呢？乍看好象无从下手，但对照上面的理论分析，可知它属于第三类问题。

首先，由于进入磁场和离开磁场两段过程中，穿过线圈回路的磁通量变化量Δφ相同，故有q0=q=Δφ/R；其次，对线框应用动量定理，设线框完全进入磁场后的速度为v′，则有：
线框进入磁场过程：。