二分法
二分法
二分法
二分法是用计算机求解多项式方程时常用的一种方法．其基本思想是：若f （x 1）与f （x 2）的符号相反，则方程f （x ）＝0在区间（x 1，x 2）至少有一个根．取x 1和x 2的中点2
)(211x x r ＋＝，将区间分为两半，然后比较f （r 1）与f （x 1）的符号，若符号相同，则根必在（r 1，x 2）之间，否则在（x 1，r 1）之间．这样每作一次二分法，含根区间恰好缩小一半．不断重复二分过程无限多次时，含根区间将缩为一点，显然这是不可能的．但是有一点是可以肯定的，即每重复二分一次，所得的中点ROOT 与根的距离便会越近．不断重复二分，便会构造出一系列的中点ROOT 1，ROOT 2，…，ROOT n ，当某个中点ROOT n 与根的距离小于规定的误差ξ
0时，该ROOT n 。
就是所解方程的近似解．。
二分法的世界观
二分法的世界观
二分法的世界观是指将事物分为两个对立面的思考方式。
在这种思维方式下，事物被划分为两个互相对立的阵营，如好与坏、对与错、黑与白等。
这种思考方式强调对立和区别，而不是联系和统一。
在二分法的世界观下，事物被视为非此即彼，缺乏中间地带。
这种思维方式在处理一些简单问题时可能有效，但在处理复杂问题时，可能忽略了事物的多样性和复杂性。
辩证法的思考方式与二分法不同，辩证法强调在对立中寻找统一，在统一中寻找对立。
辩证法认为事物是矛盾、冲突和变化的，矛盾和冲突推动事物的发展和变革。
单元-结构模型也是另一种思考方式，它将事物分为单元和结构两个部分。
单元是指组成事物的最小基本单位，结构是指单元之间的排列组合。
这种思考方式认为单元和结构不是完全对立的，而是可以相互转换的。
最小单元具有不可再分的性质，而结构可以产生和消灭。
二分法的世界观是一种将事物分为两个对立面的思考方式，辩证法则强调在对立中寻找统一，而单元-结构模型则将事物分为单元和结构两个部分。
不同的思考方式各有优缺点，应根据具体情况选择合适的思考方式来分析和解决问题。
二分法_ppt
2
2
2
若f
(a)
f
(
a
2
b
)
0，则零点x0
(a,
a
2
b
).
若f
(
a
2
b
)
f
(b)
0，则零点x0
(
a
2
b
,b).
4.判断是否达到精确度
若 a b <，则得到零点的近似值a或b，否则重复2至4步.
概念拓展 挖掘内涵
如图，哪些零点近似值能用二分法求解？
y
x1
a
0 x2
x3
x4 b x
注意：二分法仅对函数的变号零点适用，对函数的 不变号零点不适用.
§3.1.2 用二分法求方程的近似解
身临其境 体验生活
某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个 危重病人，忽然电停了。据了解原因是供电站到 医院的某处线路出现了故障，维修工，如何迅速 查出故障所在? (线路长10km，每50m一棵电线 杆）
身临其境 体验生活
如果沿着线路一小段一小段查找， 困难很多。 每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大 约有200根电线杆子。 想一想，维修线路 的工人师傅怎样工作 最合理？
2.5
2
2.5625 2.625 2.75 3
2.能否用二分法求任何函数零点的近似解？
问题4：给定精确度 0.1，求f x ln x 2x 6零点在2，3
近似值. 初始期间(2,3),且f(2)<0,f(3)>0
次数
1
ab 2
2.5
f (a b) 2
-0.084
取a
取b
(22.5 .5,33)
二分法的基本原理和应用
二分法的基本原理和应用1. 什么是二分法二分法（Binary Search）是一种在有序数组中查找目标值的常用算法。
该算法通过将数组分成两半并检查目标值位于哪一半来递归地查找目标值。
2. 二分法的基本原理二分法的基本原理是不断将查找范围分成两半，然后通过比较目标值和中间值来确定目标值所在的区间。
具体步骤如下：1.初始化左侧指针为0，右侧指针为数组长度减1，表示查找范围为整个数组。
2.重复以下步骤，直到左侧指针大于右侧指针：1.计算中间指针的位置，即将左侧指针与右侧指针相加并除以2。
2.比较目标值和中间值：•如果目标值等于中间值，则返回中间指针作为结果，表示找到目标值。
•如果目标值小于中间值，则将右侧指针更新为中间指针减1，表示继续在左半区间查找。
•如果目标值大于中间值，则将左侧指针更新为中间指针加1，表示继续在右半区间查找。
3.如果循环结束，左侧指针大于右侧指针，说明目标值不存在于数组中，返回查找失败的结果。
3. 二分法的应用场景二分法主要应用于有序数组或有序列表中的查找问题。
由于二分法每次可以将查找范围减半，所以其时间复杂度为O(log n)，比线性查找的时间复杂度O(n)更加高效。
以下是一些常见的二分法应用场景：•查找有序数组中的某个元素•在字符串中查找某个单词•查找某个数的平方根•查找某个数在数组中的插入位置•在旋转有序数组中查找目标值4. 二分法的优缺点4.1 优点•时间复杂度为O(log n)，比线性查找更加高效。
•可以在有序数组或列表中快速查找目标值。
4.2 缺点•仅适用于有序数组或列表，对于无序数组或列表无法使用。
•添加、删除元素会破坏数组或列表的有序性，需要维护有序性。
5. 二分法的算法实现以下是一个用Python语言实现的二分法算法示例：```python def binary_search(nums, target): left, right = 0, len(nums) - 1 while left <= right: mid = (left + right) // 2 if nums[mid] == target: return mid elif nums[mid] < target: left = mid + 1 else: right = mid - 1 return -1 # 查找失败nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] target = 5 result = binary_search(nums, target) if result != -1: print(。
简单二分法
简单二分法简单二分法简介二分法是一种常用的查找算法，也被称为折半查找。
它是一种高效的算法，时间复杂度为O(logn)。
简单二分法是最基础、最常见的二分法。
原理简单二分法是在一个有序数组中查找某个元素。
它的核心思想是将数组分成两部分，如果目标元素比中间元素大，则在后半部分查找；否则在前半部分查找，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在。
步骤1. 确定数组的左右边界left和right。
2. 计算中间位置mid = (left + right) / 2。
3. 如果目标值等于中间位置的值，则返回mid。
4. 如果目标值小于中间位置的值，则在左半部分继续查找，即right = mid - 1。
5. 如果目标值大于中间位置的值，则在右半部分继续查找，即left = mid + 1。
6. 重复步骤2-5，直到left > right或者找到目标元素为止。
代码实现下面是一个简单的二分查找实现：```pythondef binary_search(nums, target):left, right = 0, len(nums) - 1while left <= right:mid = (left + right) // 2if nums[mid] == target:return midelif nums[mid] < target:left = mid + 1else:right = mid - 1return -1```注意事项1. 数组必须是有序的。
2. 如果数组中有重复元素，无法保证返回的是第一个或最后一个出现的位置。
3. 如果目标元素不存在于数组中，需要特殊处理，例如返回-1或抛出异常。
4. 在计算mid时，要注意整数除法会向下取整，因此应该使用(left + right) // 2而不是(left + right) / 2。
5. 在确定边界时，要注意数组下标从0开始还是从1开始。
总结简单二分法是一种高效的查找算法，在处理有序数组时非常实用。
二分法解决实际问题及步骤
二分法解决实际问题及步骤
一、引言
二分法是一种简单而有效的数值计算方法，适用于求解连续函数在某一区间内的根。
在实际问题中，二分法可以应用于求解方程的根、求解函数的零点等。
本文将详细介绍二分法解决实际问题的步骤，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
二、二分法的基本步骤
1.确定搜索区间
首先，我们需要确定搜索区间[a, b]，其中a和b分别为区间的左右端点。
这个区间应包含我们所求的解。
2.计算区间的中点
在确定了搜索区间后，我们需要计算该区间的中点c，其中c=(a+b)/2。
3.判断中点值是否为所求
接下来，我们需要判断中点c的值是否为我们所求的解。
如果函数在c处的值为0，则c即为所求的解。
如果函数在c处的值不为0，则需要继续搜索。
4.根据判断调整搜索区间
根据判断结果，我们需要调整搜索区间。
如果函数在c处的值大于0，说明解在区间[a, c]内，我们将b调整为c；如果函数在c处的值小于0，说明解在区间[c, b]内，我们将a调整为c。
5.重复步骤2-4，直到找到解或区间长度小于预设精度
重复步骤2-4，直到找到解或区间长度小于预设精度。
预设精度可以根据实际情况设定，通常取一个很小的正数，例如1e-6。
当区间的长度小于这个预设精度时，我们可以认为已经找到了解。
6.输出解或报错
最后，如果找到了解，输出该解；如果未找到解，则报错。
7.结束程序
完成以上步骤后，程序结束。
二分法的算法描述
二分法的算法描述
二分法算法描述
二分法是一种常用的算法，也称为折半查找法。
它的基本思想是将一个有序的数组分成两个部分，然后判断目标值在哪个部分，再在该部分中继续进行查找，直到找到目标值或者确定目标值不存在为止。
二分法的算法描述如下：
1. 首先，确定数组的左右边界，即左边界为0，右边界为数组长度减1。
2. 然后，计算出数组的中间位置，即中间位置为左右边界之和除以2。
3. 接着，判断目标值与中间位置的值的大小关系，如果目标值小于中间位置的值，则在左半部分继续查找，否则在右半部分继续查找。
4. 如果目标值等于中间位置的值，则直接返回中间位置。
5. 如果左右边界相遇，但是目标值仍未找到，则说明目标值不存在，返回-1。
6. 如果目标值在左半部分，则将右边界设为中间位置减1，继续执行步骤2。
7. 如果目标值在右半部分，则将左边界设为中间位置加1，继续执行步骤2。
二分法的时间复杂度为O(log n)，比线性查找的时间复杂度O(n)要快得多。
因此，在需要查找有序数组中的元素时，二分法是一种非常高效的算法。
二分法的应用场景很多，例如在搜索引擎中，可以使用二分法来查找关键词在文档中的位置；在游戏中，可以使用二分法来查找玩家的位置等等。
二分法是一种非常实用的算法，可以大大提高查找效率，值得我们在编程中多加应用。
二分法 算法
二分法算法二分法算法，也称为二分查找算法，是一种常用的查找算法。
它的基本思想是将已排序的数组分成两部分，然后通过比较目标值与数组中间元素的大小，来确定目标值可能存在的区域，然后再在这个区域内继续使用二分法查找。
这个过程不断重复，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。
在开始之前，我们先来了解一下二分法算法的原理。
假设我们要在一个有序数组中查找目标值。
首先，我们取数组的中间元素，然后将目标值与中间元素进行比较。
如果目标值等于中间元素，那么就找到了目标值；如果目标值小于中间元素，那么目标值可能存在于数组的左半部分；如果目标值大于中间元素，那么目标值可能存在于数组的右半部分。
根据这个比较结果，我们可以将查找范围缩小一半，然后再在这个范围内继续使用二分法查找。
这个过程不断重复，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。
二分法算法的时间复杂度是O(log n)，其中n为数组的大小。
这是因为每次查找都将查找范围缩小一半，所以最多需要进行log n次查找。
相比于简单的线性查找算法，二分法算法的效率更高。
但是二分法算法有一个前提条件，就是数组必须是有序的。
如果数组无序，那么需要先对数组进行排序，然后再使用二分法算法进行查找。
下面我们通过一个具体的例子来说明二分法算法的应用。
假设有一个有序数组arr，长度为n，我们要查找目标值target。
首先，我们可以设置两个指针left和right，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。
然后，我们计算出中间元素的索引mid，将中间元素与目标值进行比较。
如果中间元素等于目标值，那么就找到了目标值；如果中间元素大于目标值，那么目标值可能存在于数组的左半部分，我们将right指针更新为mid-1；如果中间元素小于目标值，那么目标值可能存在于数组的右半部分，我们将left指针更新为mid+1。
然后，我们继续在更新后的查找范围内使用二分法查找，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。
二分法算法的应用场景有很多，比如在有序数组中查找目标值、在有序矩阵中查找目标值等。
二分法（一）：二分法的基本思想
⼆分法（⼀）：⼆分法的基本思想⼆分法是⼀个⾮常⾼效的算法，它常常⽤于计算机的查找过程中。
先玩⼀个⼩游戏。
预先给定⼀个⼩于100的正整数x，让你猜，猜测过程中给予⼤⼩判断的提⽰，问你怎样快速地猜出来？这样猜测最快，先猜50，如果猜对了，结束；如果猜⼤了，往⼩的⽅向猜，再猜25；如果猜⼩了，往⼤的⽅向猜，再猜75；…，每猜测1次就去掉⼀半的数，就这样可以逐步逼近预先给定的数字。
这种思想就是⼆分法。
在⽤⼆分法进⾏查找时，查找对象的数组必须是有序的，即各数组元素的次序是按其值的⼤⼩顺序存储的。
其基本思想是先确定待查数据的范围（可⽤ [left,right] 区间表⽰），然后逐步缩⼩范围直到找到或找不到该记录为⽌。
具体做法是：先取数组中间位置（mid=(left+right)/2）的数据元素与给定值⽐较。
若相等，则查找成功；否则，若给定值⽐该数据元素的值⼩（或⼤），则给定值必在数组的前半部分[left,mid-1]（或后半部分[mid+1,right]），然后在新的查找范围内进⾏同样的查找。
如此反复进⾏，直到找到数组元素值与给定值相等的元素或确定数组中没有待查找的数据为⽌。
因此，⼆分查找每查找⼀次，或成功，或使查找数组中元素的个数减少⼀半，当查找数组中不再有数据元素时，查找失败。
⼆分法查找是⼀种⾮常⾼效的搜索⽅法，主要原理是每次搜索可以抛弃⼀半的值来缩⼩范围。
其时间复杂度是O(log2n)，⼀般⽤于对普通搜索⽅法的优化。
⼆分法的适⽤情况⼀般满⾜以下⼏点：（1）该数组数据量巨⼤，需要对处理的时间复杂度进⾏优化；（2）该数组已经排序；（3）⼀般要求找到的是某⼀个值或⼀个位置。
【例1】⼆分查找。
有若⼲个数按由⼩到⼤的顺序存放在⼀个⼀维数组中，输⼊⼀个数x，⽤⼆分查找法找出x是数组中第⼏个数组元素的值。
如果x不在数组中，则输出“⽆此数！”。
（1）编程思路。
设有⼀数组a[n]，数组中的元素按值从⼩到⼤排列有序。
⽤变量low、high和mid分别指⽰待查元素所在区间的下界、上界和中间位置。
二分法的历史
二分法是一种常用的数学和计算机科学中的算法，它可以用来解决一些搜索和排序问题。
二分法最早的历史可以追溯到古代中国的数学家和天文学家。
在古代中国，数学家们使用的一种方法是将一个数列分成两部分，然后通过比较两部分的大小来确定中间位置的数值。
这种方法被称为“二分法”，因为它将数列分成了两部分。
在欧洲，最早使用二分法的是意大利数学家Fibonacci。
他在13世纪的著作《算盘书》中提到了一种使用二分法的方法，用于求解黄金分割比。
后来，这种方法被广泛应用于数学领域，并成为了一种重要的数学工具。
在计算机科学中，二分法最早被用于解决搜索问题。
1945年，计算机科学家Karl Schmidt 和Warren Weaver在他们的一篇论文中提出了使用二分法来解决搜索问题的方法。
这种方法后来被称为“二分查找法”或“折半查找法”。
随着计算机技术的发展，二分法在计算机科学中变得越来越重要。
它被广泛应用于各种算法和数据结构中，例如排序算法、查找算法和哈希表等。
二分法的高效性和可靠性使得它成为计算机科学中的一种重要算法。
二分法原理
二分法原理
二分法，又称折半查找，是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。
它的
工作原理是不断将查找区间分成两部分，并确定目标值可能在哪一部分，然后将查找范围缩小一半。
这种算法每次比较后都会使查找范围减半，因此具有很高的效率。
二分法的基本原理是通过不断缩小查找范围来逼近目标值。
假设我们要在一个
有序数组中查找某个特定的值，首先我们将数组的中间元素与目标值进行比较，如果中间元素等于目标值，则查找成功；如果中间元素大于目标值，则在数组的左半部分继续查找；如果中间元素小于目标值，则在数组的右半部分继续查找。
如此循环，直到找到目标值或者确定目标值不存在为止。
二分法的时间复杂度为O(log n)，这意味着随着数据量的增加，其查找时间并
不会呈线性增长，而是呈对数增长。
因此，二分法是一种非常高效的搜索算法，尤其适用于大规模数据的查找。
在实际应用中，二分法通常用于有序数组或者有序列表的查找，比如在数据库
中查找某个特定的记录，或者在某个范围内查找满足特定条件的数据。
此外，二分法还可以应用于一些数学问题的求解，比如求函数的零点、求函数的最值等。
总之，二分法是一种高效的搜索算法，其原理简单而有效。
通过不断缩小查找
范围，可以快速定位目标值，适用于各种有序数据的查找和求解问题。
在实际应用中，我们可以充分利用二分法的特点，提高搜索和求解的效率，从而更好地解决实际问题。
二分法解决实际问题的过程
二分法解决实际问题的过程二分法解决实际问题的过程一、引言在计算机科学中，二分法是一种通用的搜索算法，常用于解决实际问题。
它通过将问题分成两个部分，然后确定目标在哪个部分，并继续对该部分进行二分，最终找到目标或确定目标不存在。
本文将探讨二分法解决实际问题的过程，从简单到复杂、由浅入深，帮助读者全面理解这一算法。
二、基本原理1. 概念解释：二分法，也称为二分查找，是一种通过不断将范围缩小一半的方式来查找目标的方法。
它要求待查找的数组或列表是有序的。
2. 基本步骤：- 确定搜索范围：将数组或列表的起始位置和结束位置确定为搜索范围。
- 计算中点：将搜索范围分成两部分，计算中点的索引位置。
- 比较目标值与中点：将目标值与中点进行比较，确定目标可能在哪个部分。
- 缩小搜索范围：根据比较结果，将搜索范围缩小为可能存在目标的部分，并重复上述步骤，直到找到目标或确定目标不存在。
三、简单示例为了更好地理解二分法的过程，在这里我们举一个简单的示例。
假设有一个升序排列的数组，我们需要查找数组中是否存在某个特定的元素。
1. 确定搜索范围：将数组的起始位置设为0，结束位置设为数组长度减1。
2. 计算中点：将起始位置和结束位置相加除以2，得到中点的索引位置。
3. 比较目标值与中点：将目标值与中点位置的元素进行比较。
4. 缩小搜索范围：根据比较结果，如果目标值小于中点位置的元素，则将结束位置更新为中点位置减1；如果目标值大于中点位置的元素，则将起始位置更新为中点位置加1。
重复上述步骤，直到找到目标或确定不存在。
通过这个简单的示例，我们可以看到二分法的基本思路和步骤。
它的时间复杂度为O(log n)，相较于线性搜索的时间复杂度O(n)，二分法在大规模数据中有着显著的优势。
四、应用案例1.查找算法：二分法广泛应用于查找算法中，例如在有序数组中查找指定元素的位置。
2.分析数据：二分法还可以用于分析数据中的特定属性，例如找到最接近某个给定值的元素。
二分法推论-定义说明解析
二分法推论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二分法是一种非常重要的数学方法，它在计算机科学、数学和工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将通过介绍二分法的基本概念、在实际问题中的应用以及探讨其优缺点，来阐明二分法的重要性和潜在价值。
通过本文的阐述，读者将更深入地了解二分法的应用领域和潜力，以及对未来发展的展望和建议。
内容1.2 文章结构文章结构部分:本文共分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分，将简要概述文章的主题，并介绍文章的结构和目的。
接下来，在正文部分将详细介绍二分法的基本概念、在实际问题中的应用以及二分法的优缺点。
最后，在结论部分将总结二分法的重要性，展望二分法的未来发展，并提出结论和建议。
整篇文章将围绕二分法展开，深入探讨其相关的理论和实践应用，以期对读者有所启发和帮助。
1.3 目的本文的目的是探讨和分析二分法在实际问题中的应用以及其优缺点，以便更好地理解和应用这一算法。
同时，我们将总结二分法的重要性，展望其未来的发展，并提出结论和建议，希望能为相关领域的研究和实际应用提供有益的参考和指导。
通过本文的阐述和讨论，读者将对二分法有更深入的了解，并在实际问题的解决中能够更灵活地运用该算法，提高问题求解的效率和准确性。
2.正文2.1 二分法的基本概念二分法是一种常见的算法，用于在有序列表中查找特定元素的位置。
其基本思想是将目标元素与列表中间的元素进行比较，然后根据比较结果确定目标元素可能存在的位置，并不断缩小搜索范围，直到找到目标元素或确定其不存在于列表中。
具体来说，二分法的基本步骤如下：1. 首先，确定有序列表的起始位置和结束位置，以及目标元素的值。
2. 然后，找到中间位置的元素，并将其与目标元素进行比较。
3. 如果中间元素等于目标元素，则找到了目标元素的位置；否则，根据比较结果确定目标元素可能存在的位置，并更新搜索范围。
4. 继续对更新后的范围重复上述步骤，直到找到目标元素或确定其不存在。
二分法的算法描述
二分法的算法描述
二分法是一种常见的查找算法，它适用于有序数组中查找特定元素的情况。
其基本思想是将有序数组分成两部分，取中间值与目标值进行比较，从而确定目标值所在的部分，不断缩小查找范围直至找到目标值。
具体的算法描述如下：
1. 确定查找范围的左右边界，分别为low和high。
2. 计算中间值mid，即mid = (low + high) / 2。
3. 判断目标值是否等于中间值，如果相等，则查找成功，返回mid。
4. 如果目标值小于中间值，说明目标值在左半部分，将high更新为mid-1，跳转到步骤2。
5. 如果目标值大于中间值，说明目标值在右半部分，将low更新为mid+1，跳转到步骤2。
6. 如果low>high，说明查找失败，返回-1。
在实际的应用中，二分法还可以进行优化，比如使用递归实现，或者使用循环实现，或者在目标值与中间值相等时直接返回，等等。
但无论如何，其基本思想都是分而治之，逐步缩小查找范围，从而提高查找效率。
- 1 -。
二分法公式
二分法公式
二分法公式是数学的一种基本方法，它可以用来解决一类特殊的有限差分方程组，研究它的历史可以追溯到十六世纪欧洲。
那个时候，科学家们非常惊讶于一种复杂的数学计算，这一过程被称为“二分法”。
二分法公式有多式，这也取决于它们被用来解决的方程组。
一般来说，它们都以一般形式表示：求解一元次方程的有限差分的解。
关于“二分法”的一般形式定义如下：在某个区间[a,b]上有f(x)是连续函数，则当f(a)和f(b)的符号不同时，在区间[a,b]上就一定存在某个数c，使得f(c)=0.因此，当遇到一个寻找有限差分解的方程时，我们可以使用此公式计算。
除此之外，二分法还有很多应用，例如，它可以用来求解最优化问题，在这种情况下，可以使用二分法来搜索最小化或最大化的函数值。
此外，它还可以用来求解函数的极值，求解特定的方程和求解积分。
因此，二分法经常被用来解决复杂的数学问题，是一个重要的解决方式。
二分法公式也有一些缺点，最主要的一个是，它无法解决非凸性函数的局部最小值问题。
在求解非凸函数的局部最小值时，有可能会得到不准确的结果，因为二分法只能估计函数值，而不能找到函数的最小值。
此外，它也只能在连续区间上进行搜索，因此它不能有效地解决离散的问题。
总的来说，二分法公式是一种有用的数学工具，它可以有效解决某些特殊的有限差分方程组，但也有一些缺点，所以在使用它们时，
我们要小心。
二分法解决实际问题的实例
二分法解决实际问题的实例二分法，也称为二分查找，是一种在有序数组中查找特定值的快速算法。
它的基本原理是不断将数组分成两半，然后确定要查找的值可能在哪一半，最终缩小范围直到找到目标值。
二分法在很多实际问题中都有应用，例如在搜索算法中、在计算机科学中、在经济学中等等。
下面我将介绍几个使用。
1.在搜索算法中的应用：二分法在搜索算法中是一个非常高效的算法。
当我们需要在一个非常大的有序数组中查找特定值时，二分法可以大大减少搜索的时间复杂度。
例如，在一个包含10000个整数的数组中查找特定的整数，如果采用顺序查找的话，最坏情况下需要遍历10000次才能找到目标值。
但是如果采用二分法的话，最多只需要log2(10000)≈14次比较就能找到目标值。
2.在计算机科学中的应用：在计算机科学中，二分法经常用来解决一些优化问题。
例如，在寻找最优解、最小值、最大值等问题中，可以利用二分法来加速搜索过程。
比如在图形学中，求解最远距离点对问题时，可以通过二分法来减少搜索的时间复杂度。
另外，在排序算法中，像快速排序、归并排序等算法也都是基于二分法的原理。
3.在经济学中的应用：经济学上也经常使用二分法来解决一些实际问题。
例如在供需平衡问题中，可以通过二分法来确定最终的市场价格。
另外，在利润最大化、成本最小化等优化问题中，二分法也常常被用到。
比如在制造业中，确定最佳的产量和定价策略，可以通过二分法来进行模拟优化计算。
总的来说，二分法是一个非常实用的算法，可以在很多领域中得到应用。
它能够快速定位目标值，减少搜索的时间复杂度，提高程序的效率。
因此，熟练掌握二分法的原理和应用是非常有必要的。
希望以上实例可以帮助读者更好地理解二分法的应用和重要性。
二分法及其应用
二分法的思想为：首先确定有根区间，将区间二等分，通过判断F(x)的符号和单调性，逐步将有根区间缩小，直至有根区间在所求范围内，便可求出满足精度要求的近似根。
对于在区间{a,b}上连续不断，且满足f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间二等分，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
用二分法的条件f(a)f(b)<0表明二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=>a，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ.2 求区间(a,b)的中点c.3 计算f(c).(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c;(3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c.4 判断是否达到精确度ξ:即若┃a-b┃<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.。
二 分 法
二分法
二分法又称二分区间法,是求解方程(2.1)的近 似根的一种常用的简单方法。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)f(b)<0,根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在 (a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确 起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。
对值或 ak 与 bk 的差的绝对值是否小于ε来
决定二分区间的次数。
开始 输 入 a , b,ε
二
分
y
法
算
xb
法
实
现
(a+b)/2 x
f(a) f(x )<0 ?
|b-a|< ε
0 y
输 出x 结束
n
x a
n
例２ 求方程f(x)=x3-x-1=0 在区间[1.0,1.5]内 的一 个实根, 使误差不超过0.5×10-2。P19
时，f (x) 0 ,故f(x)在[2, 3]上是单调递增函数, 从而f(x)在[2, 3]上有且仅有一根。
给定误差限＝ 0.5×10-3 ,使用二分法时
误差限为
x* xk
1 (b a) 2 k 1
只要取k满足
1 2 k 1
(b a)
1 103 2
即可，亦即
2k 103
k 3 lg 10 9.97 1g 2
二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区 间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间 缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度 要求的近似根。
1.1确定有根区间的方法
为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围， 称为圈定根或根的隔离。
在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定 精度要求的初值。
二分法的具体计算过程041019124257
唯一性:设 x* ,x* 均是方程的根则
1
2
(
x* x*
1
2
又0
(x* )
(x* )
1
2
1 ,(1 1 ) x2*
x) ( )(x* ,x*1 2 1 20 ,x只1* 有x2x* *
x* ), x* 10 ,
x。*
x*
2
(2)迭代的收敛性:
因 x*
(x* ),xn
x* x* n
(x* )
x* xn 1
取x 0
2
,x 1
2.5,
x
2
1.176,
x3 8.103,4 x 0.07855 , x
2.5, , 是不收敛的。
三、加速收敛（Aitken方法）
设
x是 0
x*
的某个预测值,适用一次迭代得到校正值
x1
(x0 ) ,用微分
中值定理 x1 x*
(x)(x * x ) ,如果 (x) 变化不大,记其近似值为 则:
故
方程在区间[2,3]上有根。又n
1 1 ln(b ln2ln
66
,取 n=9,将计算结果列表如下:
n an
bn
02
3
12 22
2 2
1 21 4
xn
2 2 2
1 21 41 8
32
2
1 8
2
1 16
42
1 16
2
1 8
2
3 32
52
3 32
2
1 8
n1
2
a)。如果精度要求
*
x
x
,则要求
1 (b 2n 1
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二分法
1.引言
代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。
理论上，次代数方程在复数域内一定有个根(考虑重数)。
早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。
一般也不存在根的解析表达式。
因此需要研究数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。
2．二分法的基本原理与方法
2.1 原理
首先确定有根区间,将区间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区
间缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。
2.2.方法
①为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔
离。
②在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。
③对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。
至于超越方程，
其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定的圈根方法
④求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。
3. 二分法求根过程及实现
3.1求根过程
设方程f(x)=0在区间[a,b]内有根,二分法就是逐步收缩有根区间，最后得出所求的根。
具体过程如下
① 取有根区间[a,b]之中点, 将它分为两半,分点 ,通过判断f(x1)符号缩小有根区间 ② 对压缩了的有根区间 施行同样的手法,
即取中点 ,将区间 再分为两半,然
后再确定有根区间 ,其长度是 的
二分之一
③ 如此反复下去,若不出现 ,即可得出一 系列有根区间序列：
上述每个区间都是前一个区间的一半,因此 的长度
当k →∞时趋于零,这些区间最终收敛于一点x* 即为 所求的根 。
每次二分后,取有根区间 的中点
作为根的近似值，得到一个近似根的序列
该序列以根x*为极限
只要二分足够多次(即k 足够大),便有
这里ε为给定精度,由于 ,则
[]
2
2
,b a 2222b a x +=
[]22,b a []
33,b a []22,b a 0
)(=k x f [][][][] ⊃⊃⊃⊃=k k b a b a b a b a ,,,,2211)
(2
1
)(21111a b a b a b k k k k k -==-=---- []k k b a ,)
(21
k k k b a x += ,,,,,210k x x x x ε<-k x x *
[]
k k b a x ,*∈k
k k k a
b a b x x 2
2*-=-≤
-k
k k k k a b a b a b 2
211-=-=-++
当给定精度ε＞0后,要想 成立,只要 取k 满足
即可，亦即当:
时,做到第k 次二分,计算得到的 就是满足精度要求的近似根 。
在程序中通常用相邻的 与 的差的绝对值或 与 的差的绝对
值以及|f(x)|是否小于ε来决定是否继续二分下去。
3.2算法实现
ε
<-k x x *ε<-)(21
a b k 2
lg lg )lg(ε
--≥
a b k k
x k x 1-k x k a k b
4．例题分析
例：用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)内的近似值解：
原方程可化为x＋lgx－3＝0
因为当x=2时，x＋lgx－3≈-0.698970004＜0
当x=3时，x＋lgx－3≈0.477121255＞0
所以在区间(2,3)必存在一点使x＋lgx－3＝0
当x=2.5时，x＋lgx－3≈-0.102059991＜0
当x=3时，x＋lgx－3≈0.477121255＞0
所以在区间(2.5,3)必存在一点使x＋lgx－3＝0
当x=2.5时，x＋lgx－3≈-0.102059991＜0
当x=2.75时，x＋lgx－3≈0.189332694＞0
所以在区间(2.5,2.75)必存在一点使x＋lgx－3＝0
当x=2.5时，x＋lgx－3≈-0.102059991＜0
当x=2.75时，x＋lgx－3≈0.189332694＞0
所以在区间(2.5,2.75)必存在一点使x＋lgx－3＝0
当x=2.5时，x＋lgx－3≈-0.102059991＜0
当x=2.625时，x＋lgx－3≈0.044129308＞0
所以在区间(2.5,2.625)必存在一点使x＋lgx－3＝0
当x=2.5625时，x＋lgx－3≈-0.382911412＜0
当x=2.625时，x＋lgx－3≈0.044129308＞0
所以在区间(2.5625,2.625)必存在一点使x＋lgx－3＝0 因为2.5625≈2.6，2.625≈2.6
所以方程x=3-lgx在区间(2,3)内实根的近似值是x≈2.6（精确到0.1）
5.方法总结
5.1分法解题的基本步骤：
1）计算f（x）的有根区间[a,b]端点处的值f（a），f（b）。
2）计算f(x)的区间中点的值f（（a+b）/2）。
3）进行函数值的符号比较。
4）根据误差估计二分到一定次数达到精度，从而求得近似值
5.2二分法的优缺点
优点：算法简单，容易理解，且总是收敛的
缺点：收敛速度太慢，浪费时间，企鹅二分法不能求复根跟偶数重根
所以，在以后的学习过程中，我们将根据方程的形式和二分法的优缺点不单独将其用于求根，只用其为根求得一个较好的近似值，方便其他方法的运算。
6.总结
(1)针对现实中的许多剖面设计、轨道设计等关键参数方程中三角函数多、计算工作量较大、迭代收敛条件强等问题，采取数学变化的方法将该方程转化成一个只包含对数函数和多项式函数的新方程，并提出了寻找求解区间的步长搜索算法和自适应步长搜索算法，进而使用二分法求新方程的数值解。
(2)数学分析和数值实践表明，该算法不仅能够正确判断设计方程是否有解，而且在有解的情况下能够正确求出该解，计算量小，计算过程稳定。
7．学习心得体会
在学习计算方法一个学期中，计算方法的内容，公式、知识点比较多，而且比较枯燥，上课不容易理解，容易分神。
老师在教学中应该多让学生思考，一直讲会让学生注意力不集中，跟学生多交流才能调动学生的积极性。
我认为方法永远比单纯做题更重要.在第二天讲课前,最好先预习一下.用笔划出不懂的地方.在老师讲课时认真听讲,并在原先预习时不懂的地方加以解释,写好步骤.在课上,有选择的听和记老师所讲的例题.首先要听懂,然后再记下些重要的
步骤和方法以及易错的地方和自己不容易想到的地方.还有,重要的定理和结论一定要熟记.课后要善于总结本堂课的内容,并在脑中梳理自己不懂的但经老师讲后才明白的例题的步骤,梳理一下.课后要按时完成作业。