2019届北京市西城区三模数学试题解析

2019届北京市西城区三模数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．设集合{}
2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B I 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为 A ．()0,2 B ．(]2,4 C ．[
)4,+∞ D ．(),0-∞
答案：B
由题意知{}02A ⊆，
且4A ∉，结合数轴即可求得a 的取值范围. 解：
由题意知，{}=02A B I ，
，则{}02A ⊆，，故2a >， 又4A ∉，则4a ≤，所以24a <≤， 所以本题答案为B. 点评：
本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定A B I 中的元素是解题的关键，属于基础题.
2．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+
答案：D
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 解：
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+. 故本题答案为D.
点评：
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题. 3．以()3,1A -，()2,2B
-为直径的圆的方程是
A ．2
2
80x y x y +---= B ．2
2
90x y x y +---= C ．2
2
80x y x y +++-= D ．2
2
90x y x y +++-=
答案：A
设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程. 解：
设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=， 由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -=
=，121
22
b -+==，
又||2AB r ===
，所以圆的标准方程为： 221117
()()222
x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=，
所以本题答案为A. 点评：
本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.
4．设a r ，b r
是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-r r r r 成立，则
A ．//a b
B ．a b ⊥v v
C ．()
-⊥r r r a b a
D ．()
-⊥a b b r
r r
答案：D
画出a r
，b r
，根据向量的加减法，分别画出()a b λ-r
r
的几种情况，由数形结合可得结果. 解：
由题意，得向量()a b -r r 是所有向量()a b λ-r r
中模长最小的向量，如图，
当AC BC ⊥，即()
-⊥a b b r r r 时，||AC 最小，满足a b a b λ-≤-r r r r
，对于任意的R λ∈，
所以本题答案为D. 点评：
本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.
5．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案：A
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 解：
若32a b >， 0b >，则3log 2a b >，可得3log a b >； 若3log a b >，可得3a b >，无法得到32a b >， 所以“32a b >”是“3log a b >”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 点评：
本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：
① 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
② 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③ 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④ 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件.
⑤ 判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系.
6．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为R
B ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期
C ．()f x 的图像关于2x =对称
D ．函数()f x 的零点有无穷多个
答案：D
运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可. 解：
()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-，(0)0f =，
又(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 即()f x 是以4为周期的函数，(4)(0)0()f k f k Z ==∈， 所以函数()f x 的零点有无穷多个；
因为(2)()f x f x +=-，[(1)1]()f x f x ++=-，令1t x =+，则(1)(1)f t f t +=-， 即(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于1x =对称， 由题意无法求出()f x 的值域， 所以本题答案为D. 点评：
本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.
7．设向量a r ，b r 满足2=r a ，1b =r ，,60a b =o
r r ，则a tb +r r 的取值范围是
A ．)
+∞
B ．)
+∞
C ．⎤⎦
D ．⎤⎦
答案：B
由模长公式求解即可. 解：
2222
22()242=(1)33a tb a tb a a bt t b t t t +=+=+⋅+=++++≥r r r r r r r r ，
当1t =-时取等号，所以本题答案为B. 点评：
本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题. 8．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<
答案：C
利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c 与45，1
2
比较即可. 解：
由0.50.540.820.8=
5
a =>， 1334
sin1sin 2345b π<=<==<
， 11lg3lg 10lg1022
c =<==，
所以有c b a <<.选C. 点评：
本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.
9．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134
AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v
，则ABP ∆与ABC ∆的面积之
比为
A ．1
4 B ．
1
3 C ．23
D ．16
答案：A
作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ∆与ABC S ∆的比例，再由ADP S ∆与APB S ∆的比例，可得到结果. 解：
如图，作//PD AC 交AB 于点D ，
则AP AD DP =+u u u r u u u r u u u r
，由题意，13AD AB =u u u r u u u r ，14
DP AC =u u u r u u u r ，且180ADP CAB ∠+∠=o ，
所以11111
||||sin ||||sin 223412ADP ABC S AD DP ADP AB AC CAB S ∆∆=∠=⨯⨯∠=
又13AD AB =u u u r u u u r ，所以，134APB ADP ABC S S S ∆∆∆==，即
14APB ABC
S S ∆∆=， 所以本题答案为A. 点评：
本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.
10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数
(03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α
的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠
答案：B
此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 解：
如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.
点评：
本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.
二、填空题
11．设x ，y 满足约束条件3240,460,20,x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩
，则22
z x y =+的最大值为______.
答案：29
由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 解：
由约束条件3240,460,20,x y x y x -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪-≤⎩
作出可行域如图：
联立3240,20,x y x -+=⎧⎪⎨⎪-=⎩
，解得(2,5)A ，
目标函数2
2
z x y =+z 为半径的圆，
由图可知，此圆经过点A 最大，此时z 也最大， 最大值为222529z =+=. 所以本题答案为29. 点评：
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 12．在某批次的某种灯泡中，随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下：
某人从灯泡样品中随机地购买了()*n n N ∈个，如果这n 个灯泡的寿命情况恰好与按四．．个组分层抽样．．．．．．所得的结果相同，则n 的最小值为______. 答案：10
先求出a ，b ，根据分层抽样的比例引入正整数k 表示n ，从而得出n 的最小值. 解：
由题意得，a =0.2，b =80，由表可知，灯泡样品第一组有40个，第二组有60个，第三组有80个，第四组有20个，所以四个组的比例为2:3:4:1，所以按分层抽样法，购买的灯泡数为n =2k +3k +4k +k =10k (*k N ∈)，所以n 的最小值为10. 点评：
本题考查分层抽样基本原理的应用，涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算，属于基础题.
13．能说明“若()()1f x f x +<对于任意的()0,x ∈+∞都成立，则()f x 在()0,∞+上是减函数”为假命题的一个函数是________.
答案：答案不唯一，如2
14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭
根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数. 解：
由题意，不妨设2
1()4f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭， 则2
2
111(1)()120442f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+-+-=--< ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭在()0,∞+都成立， 但是()f x 在10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭是单调递增的，在1,+4⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
是单调递减的， 说明原命题是假命题.
所以本题答案为2
14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，答案不唯一，符合条件即可.
点评：
本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在()0,∞+上不是单调递减的函数，再检验是否满足命题中的条件，属基础题.
14．能说明“在数列{}n a 中，若对于任意的,m n N +
∈，m n m n a a a +>+，则{}n a 为递
增数列”为假命题的一个等差数列是______.（写出数列的通项公式） 答案：答案不唯一，如1n a n =--
根据等差数列的性质可得到满足条件的数列. 解：
由题意知，不妨设1n a n =--，
则()1()2m n m n a m n m n a a +=-+->-+-=+， 很明显{}n a 为递减数列，说明原命题是假命题. 所以1n a n =--，答案不唯一，符合条件即可. 点评：
本题考查对等差数列的概念和性质的理解，关键是假设出一个递减的数列，还需检验是
否满足命题中的条件，属基础题.
15．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为______.
答案：4 3
利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积. 解：
如图：
222的矩形，
所以体积
14
222
33 V=⨯=.
所以本题答案为4
3
.
点评：
本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.
16．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种.（用数字作答）
答案：36
先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果.
解：
由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有3
2
34A A 种排法，其中甲排在两端，有3
1
33
2A A 种排法，则6人排成一排，甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有3231343336
2A A A A -=（种）排法. 所以本题答案为36. 点评：
排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.
17．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.
答案：乙、丁
本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果. 解：
从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖.
所以本题答案为乙、丁. 点评：
本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.
三、解答题
18．已知函数()()
2
1cos f x x x =.
（Ⅰ）若α是第二象限角，且sin 3
α=，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域和值域.
答案：（Ⅱ）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
且，值
域为13,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
（1）由α为第二象限角及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α及
tan α的值，再代入()f x 中即可得到结果.
（2）函数()f x 解析式利用二倍角和辅助角公式将()f x 化为一个角的正弦函数，根据
x 的范围，即可得到函数值域.
解：
解：（1）因为α是第二象限角，且sin 3
α=，
所以cos α=
所以sin tan cos α
αα
=
=
所以()(2
1133f α⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
.
（2）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z π
π⎧⎫
∈≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
且.
化简，得()()
2
1cos f x x x ==
2
sin 13cos cos x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
2cos 3sin cos x x x =+
1cos 23sin 222
x x +=
+ 1sin 262x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
因为x ∈R ，且2
x k π
π≠+，k Z ∈，
所以7226
6
x k π
ππ+
≠+， 所以1sin 216x π⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
. 所以函数()f x 的值域为13,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
. （注：或许有人会认为“因为2
x k π
π≠+
，所以()0f x ≠”，其实不然，因为
06f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
.） 点评：
本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.
19．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，过顶点A ，1C 的平面与棱1BB ，1DD 分别交于M ，N 两点（不在棱的端点处）.
（1）求证：四边形1AMC N 是平行四边形； （2）求证：AM 与AN 不垂直；
（3）若平面1AMC N 与棱BC 所在直线交于点P ，当四边形1AMC N 为菱形时，求PC 长.
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）=2PC .
（1）由平面11ABB A 与平面11DCC D 没有交点，可得AM 与1NC 不相交，又AM 与1NC 共面，所以//AM 1NC ，同理可证//AN 1MC ，得证；（2）由四边形1AMC N 是平行四边形，且1MN AC ≠，则1AMC N 不可能是矩形，所以AM 与AN 不垂直；（3）先
证11Rt ABM Rt C B M ≅V V
，可得M 为1BB 的中点，从而得出B 是PC 的中点，可得PC .
解：
（1）依题意1A M C N ，，，都在平面1AC 上， 因此AM ⊆平面1AC ，1NC ⊆平面1AC ， 又AM ⊆平面11ABB A ，1NC ⊆平面11DCC D ，
平面11ABB A 与平面11DCC D 平行，即两个平面没有交点， 则AM 与1NC 不相交，又AM 与1NC 共面， 所以//AM 1NC ，同理可证//AN 1MC ， 所以四边形1AMC N 是平行四边形；
（2）因为M ，N 两点不在棱的端点处，所以11MN BD AC <=， 又四边形1AMC N 是平行四边形，1MN AC ≠， 则1AMC N 不可能是矩形，所以AM 与AN 不垂直； （3）如图，延长1C M 交CB 的延长线于点P ，
若四边形1AMC N 为菱形，则1AM MC =，易证11Rt ABM Rt C B M ≅V V
， 所以1BM B M =，即M 为1BB 的中点， 因此11
2
BM CC =
，且1//BM CC ，所以BM 是1PCC V 的中位线， 则B 是PC 的中点，所以22PC BC ==. 点评：
本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.
20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，平面11A DB ⊥平面
ABCD ，1AD =，12AA =.过顶点D ，1B 的平面与棱BC ，11A D 分别交于M ，N
两点.
（Ⅰ）求证：1AD DB ⊥；
（Ⅱ）求证：四边形1DMB N 是平行四边形；
（Ⅲ）若1A D CD ⊥，试判断二面角1D MB C --的大小能否为45︒？说明理由.
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不能为45︒.
（1）由平面11A DB ⊥平面ABCD ，可得AD ⊥平面11A DB ，从而证明1AD DB ⊥； （2）由平面ABCD 与平面ABCD 没有交点，可得DM 与1NB 不相交，又DM 与1NB 共面，所以//DM 1NB ，同理可证//DN 1MB ，得证；（3）作1CE MB ⊥交1MB 于点E ，延长CE 交1BB 于点F ，连接DE ，根据三垂线定理，确定二面角1D MB C --的平面角CED ∠，若=45CED ∠o ，1CE CD ==，由大角对大边知1CF BC <=，两者矛盾，故二面角1D MB C --的大小不能为45︒. 解：
（1）由平面11A DB ⊥平面ABCD ，平面11A DB I 平面ABCD CD =， 且AD CD ⊥，所以AD ⊥平面11A DB ， 又1DB ⊂平面11A DB ，所以1AD DB ⊥； （2）依题意1D M B N ，，，都在平面1DB 上， 因此DM ⊆平面1DB ，1NB ⊆平面1DB ， 又DM ⊆平面ABCD ，1NB ⊆平面ABCD ，
平面ABCD 与平面ABCD 平行，即两个平面没有交点， 则DM 与1NB 不相交，又DM 与1NB 共面， 所以//DM 1NB ，同理可证//DN 1MB ， 所以四边形1DMB N 是平行四边形；
（3）不能.如图，作1CE MB ⊥交1MB 于点E ，延长CE 交1BB 于点F ，连接DE ，
由1A D CD ⊥，AD CD ⊥，1=A D AD D ⊥，
所以CD ⊥平面11ADD A ，则CD ⊥平面11BCC B ，又1CE MB ⊥，
根据三垂线定理，得到1DE MB ⊥，所以CED ∠是二面角1D MB C --的平面角， 若=45CED ∠o ，则CED V 是等腰直角三角形，1CE CD ==，
又111=9090CFB B EF FB E FB E ∠∠+∠=+∠>o o
，
所以CFB V 中，由大角对大边知1CF BC <=， 所以1CE CF <<，这与上面1CE CD ==相矛盾， 所以二面角1D MB C --的大小不能为45︒. 点评：
本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题. 21．已知函数()ln 1a x b
f x x x
=
++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为230x y +-=.
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）若0k ≤，求证：对于任意()1,x ∈+∞，()ln 1x k
f x x x
>+-. 答案：（Ⅰ）1a =，1b =（Ⅱ）见解析
（1）根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a ，b 值；
（2）首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子左移，得 ()()()22
11ln 12ln 11k x x k f x x x x x x ⎛⎫--⎛⎫ ⎪-+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
， 构造函数()()()2112ln k x h x x x
--=+并判断其符号，这里应注意x 的取值范围，从
而证明不等式. 解：
解：（1）()()
2
2
1
ln 1x a x x
b f x x x ⎛⎫
⎪
⎝⎭+-=-'+
由于直线230x y +-=的斜率为1
2
-
，且过点()1,1，
故()()11,11,2f f ⎧=⎪⎨'=-⎪⎩
即1,1,22b a
b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =. （2）由（1）知()ln 1
1x f x x x
=
++， 所以()()()22
11ln 12ln 11k x x k f x x x x x x ⎛⎫--⎛⎫ ⎪-+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
. 考虑函数()()()2112ln k x h x x x
--=+
，()1x >，
则()()()()()
2
222
2
112110k x x
k x x h x x
x
-+++--'=
=
<.
而()10h =，故当()1,x ∈+∞时，()0h x <， 所以
()2101h x x ⨯>-，即()ln 1x k
f x x x
>+-. 点评：
本题考查了利用导数求切线的斜率，利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题，以及不等式证明问题，考查了分析及解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.
22．设F 为抛物线2
:4C y x =的焦点，P ，Q 为抛物线C 上的两个动点，O 为坐标原点.
（Ⅰ）若点F 在线段PQ 上，求PQ 的最小值； （Ⅱ）当OP PQ ⊥时，求点Q 纵坐标的取值范围. 答案：（Ⅰ）4（Ⅱ）(][),88,-∞-+∞U
（1）由抛物线的性质，当PQ x ⊥轴时，PQ 最小；（2）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，
分别代入抛物线方程和0OP PQ ⋅=u u u r u u u r
得到三个方程，消去12,x x ，得到关于1y 的一元二
次方程，利用判别式即可求出2y 的范围. 解：
解：（1）由抛物线的标准方程，2p =，根据抛物线的性质，当PQ x ⊥轴时，PQ 最小，最小值为2p ，即为4.
（2）由题意，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，其中120y y ≠，12y y ≠.
则2114y x =，①2
224y x =，②
因为OP PQ ⊥，()11,OP x y =u u u r
，()2121,PQ x x y y =--u u u r ， 所以()()1211210OP PQ x x x y y y ⋅=-+-=u u u r u u u r
.③
由①②③，得2
121160y y y ++=， 由1y R ∈，且10y ≠，得2
2640y ∆=-≥，
解不等式，得点Q 纵坐标2y 的范围为(][),88,-∞-+∞U . 点评：
本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.
23．已知椭圆2
2:12
x C y +=的右顶点为A ，点P 在y 轴上，线段AP 与椭圆C 的交点B
在第一象限，过点B 的直线l 与椭圆C 相切，且直线l 交x 轴于M .设过点A 且平行于直线l 的直线交y 轴于点Q .
（Ⅰ）当B 为线段AP 的中点时，求直线AB 的方程；
（Ⅱ）记BPQ ∆的面积为1S ，OMB ∆的面积为2S ，求12S S +的最小值. 答案：（Ⅰ）直线AB 的方程为6
2y x =2 （1）设点()()000,0P y y >，利用中点坐标公式表示点B ，并代入椭圆方程解得0y ，从而求出直线AB 的方程；（2）设直线l 的方程为：()0,0y kx m k m =+<≠，表示点
,0m M k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后联立方程，利用相切得出2221m k =+，然后求出切点21,k B m m -⎛⎫
⎪⎝
⎭，再设出设直线AQ 的方程，求出点()
0,2Q k ，利用A B ，两点坐标，求出直线AB 的
方程，从而求出P ⎛ ⎝，最后利用以上已求点的坐标表示面积，根据基本不
等式求最值即可. 解：
解：（Ⅰ）由椭圆2
2:12
x C y +=
，可得：)
A
由题意：设点()()000,0P y y >，当B 为PA
的中点时，可得：2
B x =
代入椭圆方程，可得：B y =
B ⎝⎭
所以2AB k =
=-
.故直线AB
的方程为(2
y x =--. （Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0， 故设直线l 的方程为：()0,0y kx m k m =+<≠ 令0y =，得：m x k -=
，所以：,0m M k -⎛⎫
⎪⎝⎭
. 联立：22
220
y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，消y ，整理得：()222
214220k x kmx m +++-=. 因为直线l 与椭圆相切，所以(
)(
)
2
2
2
2
16421220k m k m ∆=-+-=. 即2221m k =+. 设()11,B x y ，则122221km k x k m --==+，11
21
21m y kx m k m
=+==+， 所以21,k B m m -⎛⎫
⎪⎝
⎭. 又直线//AQ 直线l ，所以设直线AQ
的方程为：(y k x =. 令0x =
，得y =
，所以：()
0,Q .
因为1
2AB
m k k
m
==-，
所以直线AB
的方程为：y x =
.
21 令0x =
，得y =
，所以：P ⎛ ⎝.
所以PQ m ====. 又因为111222B k S PQ x m k m -=
==
. 21111222B m S OM y k m k
-===.
所以1212S S k k +=+≥12k k =
，即k =时等号成立） 所以(
)12min S S +=点评：
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及求椭圆中的最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养，本题利用了基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属于难题.。