第二节单正态总体的假设检验

2 1
(n

1).
上述检验法为 χ2 检验法。
数理统计
例1: 某厂生产的某种型号的电池,
数理统计
其寿命长期以来服从方差 σ2 =5000(小时2)的正态分布,
现有一批这种电池, 从它的生产情况来看,
寿命的波动性有所改变, 现随机取26只电池,
测出其寿命的样本方差 s2=9200(小时2)。
X

0
n
拒绝域为： u u
2
(2) H0 : 0 , H1 : 0
拒绝域为：x


0
n
=u

u
,
(3) H0 : 0 , H1 : 0
拒绝域为：x


0
n
=u

u
.
数理统计
2. σ2未知, 关于μ的检验 (t检验法)
设总体 X～N(μ, σ2), 其中 μ, σ2未知:
问: 根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性 较以往的有显著的变化(取 α=0.02)?
解:
(n 1)s2

2 0
由观察值
11.524 或
s2=9200, 得:
(n 1)s2

2 0
(n 1)s2

2 0

44.314 46 44.314
所以拒绝 H0, 认为这批电池寿命波动性较以往有显著变化。


为计算方便, 习惯上取:
P
2 0
(n 1)S2


2 0

k1



2
,
P
2 0
(n 1)S2


2 0

k2



2
有:
k1

2 1
2
(n

1),
k2

2 (n 1), 2
得拒绝域为:
(n 1)s2

2 0

2 1
2
(n

1)或
(n
即得: t x 0 0.6685 1.7531.
sn
t不落在拒绝域, 故接受 H0, 即认为元件的平均寿命不大于225(小时).
数理统计
T
二、一个正态总体方差的检验
数理统计
设总体 X~ N(μ, σ2), μ, σ2均未知, x1, … xn是来自X的样本值
(1)
H0
: 2

X S

0
n

k



,

得：k t 2 (n 1)，
即拒绝域为：t
x 0
sn
t 2(n 1).
(2) H0 : 0 , H1 : 0
拒绝域为：x s

0
n
=t

t
(n
1).
(3) H0 : 0 , H1 : 0
拒绝域为：x s
数理统计
第二节 单正态总体的假设检验
单正态总体均值的检验 单正态总体方差的检验
一、一个正态总体N(μ, σ2)均值μ的检验
数理统计
1. σ2已知, 关于μ的检验 (u检验法)
(1) H0 : 0 , H1 : 0
我们利用 H0在为真时, 服从 N(0, 1)分布的统计量 来确定拒绝域, 这种检验法常称为 u检验法。
上述检验问题的拒绝域具有以下的形式:
2

(n 1)s2

2 0

k1或 2

(n 1)s2

2 0

k2
此处的 k1, k2值由下式确定：
P{拒绝 H0| H0为真} =
P
2 0
(n 1)S2


2 0

k1

数理统计
(n 1)S2


2 0

k2


2 0
,
H1
:2


2 0
,
02为已知常数，(设显著性水平为
α)
由于 S2是 σ2的无偏估计, 当 H0为真时,
比值:
S2

2 0
一般来说应在1附近摆动, 而不应过分大于1或过分小于1。
由于当 H0为真时,
(n 1)S2

2 0
~ 2 (n 1),
我们取
2

(n 1)S2

2 0
作为检验统计量。
问: 是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?
解: 按题意需检验: H0 : 0 225, H1 : 225.
取 α=0.05。检验问题的拒绝域为:
t

x 0
sn
t (n 1)
现在 n=16, t0.05 (15) 1.7531, 又算得: x 241.5, s 98.7259,
数理统计
(1) H0 : 0 , H1 : 0
取: T X 0 作为检验统计量
Sn
当t

x 0
sn
过大时就拒绝 H0, 拒绝域为:
t
x 0
sn
k
已知当 H0为真时, X 0 ~ t(n 1), 故由:
S/ n
P{拒绝 H0|H0为真}＝
P0


0
n
=t

t
(n
1).
数理统计
上述利用 t 统计量得出得检验法称为 t 检验法。 在实际中, 正态总体的方差 σ2常为未知, 所以我们常用: t 检验法来检验关于正态总体均值 μ的检验问题。
例1: 某电子元件的寿命 X(小时)服从正态分布, μ, σ2未知。 数理统计 现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170
1)

2 0
s
2

Байду номын сангаас
2 (n 1) 2
(2)
H0
: 2


2 0
,
H1
: 2


2 0
n
拒绝域为：(n 1)s2

2 0

xi x 2
i1

2 0
2
2 (n 1).
(3)
H0
: 2


2 0
,
H1
: 2


2 0
拒绝域为：(n 1)s2

2 0

2
(n 1)s2

2 0

2 1
2
(n
1)或
(n
1)s

2 0
2

2 (n 1) 2
作业
习题7-2 2; 7
数理统计