10.4可降阶的微分方程

第十章 微分方程与差分方程

第4节 可降阶的二阶微分方程

可降阶的微分方程

可降阶的微分方程

类型1

解法：特点：.

x 等式右端仅含有自变量视为新的未知函数，将y '可得通解.

)(x f y =''一、

型211])([.

)(C d x C d x x f y C d x x f y ++=+='òò

ò同理可得则

1例.3

sin 2的通解求微分方程x e y x -=''解次，得对所给方程连续积分两2113cos 23

x x y e C '=++21219sin 43

x x y e C x C =+++

一般地，)()(x f y n =令,)1(-=n y z )(d d n y x

z =则因此1

d )(C x x f z +=ò即1)

1(d )(C x x f y n +=ò-同理可得[]2)2(d

C x y

n +=ò-1d )(C x x f +ò[]x d ò=x x f d )(ò依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .

,)(x f =21C x C ++型的微分方程

例2

.cos 2x e y x -='''求解解 ()1

2cos C x d x e y x '+-=''ò12sin 2

1C x e x '+-=x e y 24

1='x e y 281=()112

1C C '=此处x sin +21x C +32C x C ++x cos +21C x C +'+

解代入原方程，得,0=-'p p x ，x C p '=1解线性方程, 得两端积分,得原方程通解为）

（0≠p ,

1)4(x C y '=即,21221'+'='''C x C y , ,2

612054233251C x C x C x C x C y ++'+'+'=.542

33251C x C x C x C x C y ++++=例3.0)4()5(的通解求方程=-y

xy ),()4(x p y =设),

()5(x p y '=

.

)(,d )(1)

,()(,00

的表达式求函数轴上的截距等于处的切线在上的点曲线如果对任意x y y t t y x y y x x y y x x ==>ò处的切线方程为

上的点曲线),()(y x t y y =依题意有得截距令,0=X 例4)

(x X y y Y -'=-解,

y x y Y '-=,d )(10

y x y t t y x x '-=ò

,求导上式两端关于x 并分离变量得

令,p y =',1x

C p =解得,1x C y ='即.

ln 21C x C y +=进而解得.d )(02ò'-=x y x xy t t y 即,0='+''y y x 化简得.d d x

x p p -=

可降阶的微分方程

类型2

p

y ='设d ,d p y p x '''==特点：.y 右端不显含未知函数解法：.

），（方程变为p x f p =' ),(y x f y '=''二、 型关于x , p 的一阶微分方程，设其通解为),(1C x p ϕ=即

1d (,)d y p x C x ϕ==故方程的 通解为：12(,)d .

y x C x C ϕ=+ò

例5 求微分方程 y x y x '=''+212

)(满足初始条件3 100='===x x y y ,的特解.

)( )1()1ln(ln .12 , 1212

2C e C x C y p C

x p d x x

x p d p p y ±=+='=++=+=='即两端积分得

可得

代入方程并分离变量后设解

.

13 3++=∴x x y 所求特解为

33 10=='=C y x ，得由条件2

33C x x y ++=积分得 )1(3 2x y +='故1

120===C y x 得又由条件

可降阶的微分方程

类型3

三、 ),(y y f y '=''型

特点：方程中不明显地含有自变量x .

解法：)(y p y ='设d d d ,d d p y p y p y x dy ''=⋅=方程化为关于y , p 的一阶微分方程d (,)d p p f y p y =设它的通解为：)

,(1C y p y ϕ=='分离变量并积分，可得原方程的通解为：

21d .

(,)y x C y C ϕ=+ò则

.02的通解求方程='-''y y y 解一

),(y p y ='设代入原方程得 2d 0,d p y p p y ⋅-=d ()0,d p p y p y ⋅-=即d 0d p y p y

⋅-=由，1,p C y =可得.1

2x C e C y = 所以原方程的通解为1d d y C y x =即，例6d ,d p y p y ''=则

解二,12y 两端同乘不为零因子22d ()0,d yy y y y x y

''''-==,1y C y ='故从而通解为.12x C e C y =解三原方程变为,y y y y '='''两边积分,得，1ln ln ln C y y +='，即y C y 1='原方程的通解为.

12x C e C y =