10.4可降阶的微分方程
可降阶的微分方程
，
其中 C1 ，C2 为任意常数．
5.3.2 y f (x ，y) 型
y f (x ，y) 型方程的特点是等式右端未明显包含变量 y ．如果令
y P(x) ，则 y dP ，代回原方程，得 dP f (x ，P) ，
dx
dx
这是一个关于变量 P ， x 的一阶微分方程，可按一阶微分方程的解法求
高等数学
可降阶的微分方程
二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程． 求解高阶微分方程的方法之一就是降阶，若高阶微分方程可降为一阶微分方程，那 么就可以应用前面所介绍的方法去求解． 设二阶微分方程
y f (x ，y ，y) ， 其中 f 为含有 x ，y ，y 三个变量的函数．
本节中主要介绍三类可降阶的二阶微分方程的解法．
5.3.1 y f (x) 型
y f (x) 型方程的特点是等式右端只是 x 的函数，不出现 y 及 y ．
令 y P(x) ，则 y dP ．于是原方程可降为一阶微分方程 dx
dP f (x) ， dx
等式两边积分可得
dy dx
P(x)
f
(x)dx
C1
，
再积分一次，可得原方程的通解为
y P(x)dx C2 f (x)dx C1 dx C2 ，
yP dP P2 0 ． dy
当 y 0 ， P 0 时，变量分离可得 dP dy ， Py
两边积分得
ln | P | ln | y | C0 ，
整理得 即
P C1y (C1 eC0 ) ，
dy dx
C1
y
，
5.3.2 y f ( y ，y) 型
例 3 求微分方程 yy y2 0 的通解．
可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα y P S1 1 y α ox x
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 = 2 y dt dt m : 物体质量
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 e y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = 1 由 故所求特解为
1 e y = x
例７.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
第四节 可降阶方程
满足y -1 -1 例5 求y′′ - ay′2 = 0,满足y |x=0 = -1,y′|x=0 = -1的特解
若方程既不含x又不含 又不含y，按不含y的处理 注 若方程既不含 又不含 ，按不含 的处理
例6 求yy′′ +1 = y′2的通解
1 2 ln C1y + C1y +1 = ± x + C 2 C1
y =(x - 2)e x + C1x + C 2
sinx的 例2 求y′′ = x + sinx的积分曲线，使其y = x 与相切于原点. 1 3 y = x - sinx + x 6
、 如 二 型 y = f(x, )型 y
'' '
特点： 特点： 含未知函数 x ,不显含y ,不 只 解法： 解法：
令 y′ = P
则 y = P 的一阶微分方程 代入原方程 化为关于变量x,p的一阶微分方程
例3 求 xy′′ - y′ - x 2e x = 0
x
的通解
1 2 y =(x -1)e + C1x + C 2 2 看P413 例4
三、
y = f ( y, y' )
''
特点： 特点：右端不显含自变量 x . 解法： 解法： 设
y′ = p(y)
dp dy dP 则 y′′ = ⋅ = p , dy dx dy
dp 代入有 p = f (y, p) dy
例4 求 y ′′ = 2yy ′ 满足y |x=0 = 1, y ′ |x=0 = 2的特解
π y = tan(x + ) 4
第四节 可降阶的二阶微分方程
【高数(下)课件】10-3可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
2 y 2 2 x
2 1 2x y dx ln C1 2 2 x 2 2x
再由初始条件 y(1) 2 ,知
C1 2[1 ln( 1 2 )]
故所求解为
1 2x y ln 2[1 ln( 2 1)] 2 2x
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
3 x 2 y y 1 x 3
y
x 0
1, y x0 4
3
dy 4(1 x )dx y x 4 x C2
4
再由初始条件 y x0 1, 知C2 = 1 故所求解为
y x4 4 x 1可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程
求微分方程 y 2 y 1 0 的积分曲线, 使该 1 积分曲线过点 0, , 且在该点的切线斜率为2. 2 解 方程 y 2 y 1 0 属y f ( y, y)型
1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x dy p p( y ) 解法 设 y dx 2 d p dp d y dp d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p).这是关于变量y , p 的一阶方程. dy 设它的通解为 y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为 ( y , C1 )
可降阶的高阶微分方程
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
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结束
从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
19
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
7
例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为
重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
x e x , e 2 x 线性无关; 例如 当x ( , )时， e ，
1， cos2 x , sin2 x 线性相关.
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
y1 ( x ) 特别地: 若在区间 I 上有 常数， 则函 y2 ( x ) 数 y1 ( x )与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个 线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
例如 y y 0的两个特解是y1 cos x, y2 sin x,
y2 且 tan x 常数, 则其通解是y C1 cos x C2 sin x. y1
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f ( x), 由题意得 T sin S , T cos H , 将此两式相除，得
1 tan S , ( a H ) a x tan y' , S 1 y' 2 dx
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
3．二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) ( 2) 的 一 个
*
特解 , Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解 , 那么
y Y y * 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
1 1 p 2 ，并分离变量得 将 y ' p ， y p 代入得， p' a x x C 1 dp 1 e a ① dx ，两端积分，得 p 1 e a 2
《可降阶微分方程》课件
非线性微分方程在自然现象和社会现象中广泛存在，如生态学、化学反应 、经济学和气象学等。
微分方程的解与通解
微分方程的解是指满足方程的函数表达式。对于线性微分方程，解的形式通常是多项式函数、三角函 数和指数函数等。
通解是指满足微分方程的任意常数都可以代入得到的解，也称为一般解或全解。对于非线性微分方程， 通解通常很难找到，需要通过数值计算等方法求解。
01
线性微分方程是指方程中未知函数及其导数的项都 是一次的，没有高次项、指数项和幂次项。
02
线性微分方程的解法通常包括分离变量法、变量代 换法、常数变易法和特征根法等。
03
线性微分方程在物理、工程和经济等领域有广泛的 应用，如电路分析、控制系统和人口动态等。
非线性微分方程
非线性微分方程是指方程中含有未知函数的非线性项，如高次项、指数项 和幂次项等。
连续时间投资组合优化
描述投资者在连续时间内调整投资组合的微分方程，以实现最优 收益和风险控制。通过求解该方程，可以得到最优的投资策略。
供需关系模型
描述市场供需关系的微分方程，如商品价格和需求量的变化。 通过求解该方程，可以预测市场价格的走势和供需平衡状态。
生物问题中的应用
要点一
种群动态模型
描述生物种群数量变化的微分方程，如种群的增长率、出 生率和死亡率等。通过求解该方程，可以预测种群数量的 变化趋势和生态平衡状态。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的解法来求解微分方程，并考虑初始条件和边界条件等因素 。
03
可降阶微分方程的求解方法
变量分离法
总结词
通过将方程转化为易于求解的形式，简化求解过程。
考研复习 可降阶的二阶微分方程
y=∫
(∫ f (x)dx) dx + C x + C .
1 2
求方程 y′′ = xex + cos x 的通解. 例1
求方程 y′′ = xex + cos x 的通解. 例1
解
′ = ∫ ( xe x + cos x )dx y
= xe x − e x − sin x + C1 y = ∫ ( xe x − e x − sin x + C1 )dx = xe x − 2e x + cos x + C1 x + C 2
即 y′ = C1 x,
1 y = C1 x2 + C2 , 2
2
即 y = Cx + C0 ,
例2 解
求方程 x2 y′′ + xy′ = 1的通解.
设 y′ = P(x),
则 y′′ = P′(x)
代入原方程 x 2 P ′ + xP = 1 , 即P′ + 1 P = 1 , x x2 1 解线性方程, 解线性方程 得 P = (ln x + C1 ) x 1 即 y′ = (ln x + C1 ) x 两端积分,得原方程通解为 两端积分 得原方程通解为 1 2 y = ln x + C1 ln x + C2 , 2
解
yy′′ = 2( y′ 2 − y′) 即求初值问题 y(0) = 0 , y′(0) = 2
dP , 设 y′ = P( y), 则 y′′ = P dy dy dP 2( P − 1) 代入原方程得 = dy y dP dy =∫ ln( P − 1) = ln y 2 + C ∫ P −1 y ∴ y′ = P = y 2 + 1 , 将 y = 1 , P = 2 代入 , 得 C = 0 ,
可降阶二阶微分方程
1 e y x.
四、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y p( x ) , 令 y p( y ) ,
思考:
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如： 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
故原方程通解为
y C 2e
c1 x
.
2 例 1 求方程 yy y 0 的通解.
解2
1 两端同乘 2 , y
yy y 2 d y ( ) 0, 2 dx y y
故 y C1 y,
从而通解为 y C 2e C1 x .
解3
y y , 原方程变为 y y
o
T t
对方程两边积分, 得
d x F0 t (t ) C1 dt m 2T
2
d x F0 t2 (t ) C1 dt m 2T
利用初始条件
2
得 C1 0, 于是
d x F0 t (t ) dt m 2T F0 t 2 t 3 ) C2 两边再积分得 x ( m 2 6T
dy dx , 2 y 1
dy dx , 2 y 1
可得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C
4 4
,
故曲线方程为 y tan( x ) .
例
求方程 y e 2 y 0 的通解. dp 解 令 y p ( y ), 则 y p , 代入方程得 dy
关于 p(x) 的一阶方程
(整理)可降阶的二阶微分方程
第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。
可降阶的二阶微分方程
yy 2( y 2 y) 即求初值问题 y(0) 1 , y(0) 2
dp 设 y p( y ), 则 y p , dy dp 2( p 1) 代入原方程得 , dy y dp 2dy , ln( p 1) ln y 2 C , p1 y 2 将 y 1 , p 2 代入 , 得 C 0 , y p y 1 ,
设 y p( x ),
解
则 y p( x ),
代入原方程, 得 x 2 p xp 1 , 即 p 1 p 1 , x x2 1 解线性方程, 得 p (ln x C1 ), x 1 即 y (ln x C1 ), x 两端积分,得原方程通解为 1 2 y ln x C1 ln x C 2 , 2
由 y ( 0) 0 , 得 C 2 0 ,
故所求原方程的解为: y arcsin x .
三、y f ( y, y) 型的微分方程
特点： 右端不显含自变量 x . 解法： 设 y p( y ), 则 y
dp d p d y dp Hale Waihona Puke p , dx d y d x dy
故原方程通解为
y C 2e
c1 x
.
2 例 1 求方程 yy y 0 的通解.
解2
1 两端同乘 2 , y
yy y 2 d y ( ) 0, 2 dx y y
故 y C1 y ,
从而通解为 y C 2e C1 x .
解3
y y , 原方程变为 y y
p f ( x , p).
关于 p(x) 的一阶方程
设其通解为
p ( x , C1 ), 即 y ( x , C1 ) ,
高等数学可降阶的二阶微分方程PPT课件
3. y (1 x 1)4. 2
三、 y 1 x3 1 x 1. 62
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练习题答案
一 1. y lncos(x C1) C2
2. y arcsin( C2e x ) C1；
3. y 1 1 . C1 x C2 x
4.
y
1 6
x3
sin
x
c1
x
c2
5. y c1 ln x c2
二、1. y 2x x2 ；
2. y 1 ln( ax 1)； a
dp dy
p)
0,
由 y dp p 0，可得 dy
p C1 y,
即 dy dx
C1 y，
所以原方程的通解为
y C2eC1x .
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解二
两
端同乘
不为零
因子
1 y2
,
yy y2 d y
y2
( ) 0, dx y
故 y C1 y,
从而通解为 y C2eC1x . 解三 原方程变为 y y ,
由 条 件y x0 3， 得C1 3
故 y 3(1 x2 )
积分得y x3 3x C2
又由条件y x0 1得C2 1 所求特解为 y x3 3x 1.
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三、y f ( y, y) 型
特点：方程中不明显地含有自变量x.
解法：
则 y dp dy p dp ,
四小结思考题依次通过n次积分可得含n个任意常数的通解型的微分方程机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束右端不显含未知函数解法
一、
令
可降阶微分方程
降阶微分方程是指将高阶微分方程转化为低阶或一阶微分方程的过程。
通常，我们通过引入新的变量或求导变换来实现降阶。
以下是一个简单的例子：
考虑高阶微分方程：
\[y'''(x) - 3y''(x) + 3y'(x) - y(x) = e^x\]
为了降低方程的阶数，我们引入新的变量：
\[z(x) = y'(x)\]
然后，我们对上述等式两边关于x 求导：
\[z'(x) = y''(x)\]
再次求导：
\[z''(x) = y'''(x)\]
现在，我们可以用z(x) 代替y''(x) 和y'''(x) 的值，将高阶微分方程转化为一阶微分方程：\[z''(x) - 3z'(x) + 3z(x) - y(x) = e^x\]
现在，我们得到了一个关于z(x) 和y(x) 的一阶微分方程，这样我们就成功地降低了原始微分方程的阶数。
请注意，这个一阶微分方程同时涉及y(x) 和z(x)，通常我们需要给出适当的初始条件来求解y(x) 和z(x)。
经济数学-可降阶的二阶微分方程
dy ( y , C1 ) x + C 2 .
例 4 求方程 yy y 2 0 的通解.
dp , 解一 设 y p( y ), 则 y p dy
dp dp 2 代入原方程得 y p p 0, 即 p( y p) 0, dy dy
写为
y d1 x 4 + d 2 x 2 + d 3 x + d 4 .
其中 d i ( i 1,2,3,4) 为任意常数.
ห้องสมุดไป่ตู้
二、 y f ( x , y) 型
特点： 右端不显含未知函数y. 解法： 设 y p
dp y p, dx
方程变为 p f（x，p） .
关于x, p的一 阶微分方程，设其通解为 p ( x, C1 )
dy p ( x , C1 ) 关于y, x一阶微分方程 dx
即
故方程的 通解为： y ( x , C1 )dx + C 2
例3 求微分方程 (1 + x ) y 2 xy 满足初 始条件 y x 0 1, y x 0 3 的特解.
上式为可分离变量的一阶微分方程, 解得
2 p y Cy + 1, dy dx , 由初始条件 y(0) 1, 再分离变量, 得 2 Cy + 1 y(0) 2 定出 C 1, 从而得
dy 2 dx , 1+ y
再两边积分, 得 由 y(0) 1 定出 C1 arctan 1 ,
练习题答案
一 1. y ln cos(x + C1 ) + C2 2. y arcsin( C 2 e x ) + C1 ； 1 3. y 1 . C1 x + C 2 x
可降阶微分方程的三种类型
可降阶微分方程的三种类型可降阶微分方程是一类比较常见的微分方程，其特征在于变量分离后可以进行一系列的代数运算，最终将该微分方程化为一阶微分方程或高阶微分方程的形式。
本文将介绍可降阶微分方程的三种类型，以及对应的解法。
第一种类型是可化为常数系数的齐次线性微分方程。
其形式为：$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0$$其中$a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}$为常数。
该微分方程可进行变量代换和递推公式的推导，最终将该微分方程化为一阶线性微分方程的形式：$$y^{(n)}=-a_{n-1}y^{(n-1)}-\cdots-a_1y'-a_0y$$然后，通过特征方程的求解和系数法的运用，即可求出该微分方程的通解。
第二种类型是可化为常数系数的非齐次线性微分方程。
其形式为：$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=f(x)$$其中$a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}$为常数，$f(x)$为已知函数。
与第一种类型的微分方程相对应，该微分方程也可以通过递推公式的推导，化为一阶线性微分方程的形式：$$y^{(n)}=-a_{n-1}y^{(n-1)}-\cdots-a_1y'-a_0y+f(x)$$然后，通过求解该一阶线性微分方程的齐次和非齐次部分，得到该微分方程的通解。
第三种类型是可化为一阶线性微分方程的微分方程。
其形式为：$$y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$$该微分方程的解法比较特殊，需要通过变量分离，分部积分和一阶线性微分方程的代换，将该微分方程化为一阶线性微分方程的形式：$$y'=f(x,y)$$然后，通过分离变量和积分求解该一阶微分方程，并将解代入原式，从而得到该微分方程的通解。
综上所述，可降阶微分方程是一类比较简单和常见的微分方程，其解法包括变量代换，递推公式的推导和一阶线性微分方程的代换等。
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第十章 微分方程与差分方程
第4节 可降阶的二阶微分方程
可降阶的微分方程
可降阶的微分方程
类型1
解法：特点：.
x 等式右端仅含有自变量视为新的未知函数，将y '可得通解.
)(x f y =''一、
型211])([.
)(C d x C d x x f y C d x x f y ++=+='òò
ò同理可得则
1例.3
sin 2的通解求微分方程x e y x -=''解次，得对所给方程连续积分两2113cos 23
x x y e C '=++21219sin 43
x x y e C x C =+++
一般地，)()(x f y n =令,)1(-=n y z )(d d n y x
z =则因此1
d )(C x x f z +=ò即1)
1(d )(C x x f y n +=ò-同理可得[]2)2(d
C x y
n +=ò-1d )(C x x f +ò[]x d ò=x x f d )(ò依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
,)(x f =21C x C ++型的微分方程
例2
.cos 2x e y x -='''求解解 ()1
2cos C x d x e y x '+-=''ò12sin 2
1C x e x '+-=x e y 24
1='x e y 281=()112
1C C '=此处x sin +21x C +32C x C ++x cos +21C x C +'+
解代入原方程，得,0=-'p p x ，x C p '=1解线性方程, 得两端积分,得原方程通解为）
（0≠p ,
1)4(x C y '=即,21221'+'='''C x C y , ,2
612054233251C x C x C x C x C y ++'+'+'=.542
33251C x C x C x C x C y ++++=例3.0)4()5(的通解求方程=-y
xy ),()4(x p y =设),
()5(x p y '=
.
)(,d )(1)
,()(,00
的表达式求函数轴上的截距等于处的切线在上的点曲线如果对任意x y y t t y x y y x x y y x x ==>ò处的切线方程为
上的点曲线),()(y x t y y =依题意有得截距令,0=X 例4)
(x X y y Y -'=-解,
y x y Y '-=,d )(10
y x y t t y x x '-=ò
,求导上式两端关于x 并分离变量得
令,p y =',1x
C p =解得,1x C y ='即.
ln 21C x C y +=进而解得.d )(02ò'-=x y x xy t t y 即,0='+''y y x 化简得.d d x
x p p -=
可降阶的微分方程
类型2
p
y ='设d ,d p y p x '''==特点：.y 右端不显含未知函数解法：.
），（方程变为p x f p =' ),(y x f y '=''二、 型关于x , p 的一阶微分方程，设其通解为),(1C x p ϕ=即
1d (,)d y p x C x ϕ==故方程的 通解为：12(,)d .
y x C x C ϕ=+ò
例5 求微分方程 y x y x '=''+212
)(满足初始条件3 100='===x x y y ,的特解.
)( )1()1ln(ln .12 , 1212
2C e C x C y p C
x p d x x
x p d p p y ±=+='=++=+=='即两端积分得
可得
代入方程并分离变量后设解
.
13 3++=∴x x y 所求特解为
33 10=='=C y x ，得由条件2
33C x x y ++=积分得 )1(3 2x y +='故1
120===C y x 得又由条件
可降阶的微分方程
类型3
三、 ),(y y f y '=''型
特点：方程中不明显地含有自变量x .
解法：)(y p y ='设d d d ,d d p y p y p y x dy ''=⋅=方程化为关于y , p 的一阶微分方程d (,)d p p f y p y =设它的通解为：)
,(1C y p y ϕ=='分离变量并积分，可得原方程的通解为：
21d .
(,)y x C y C ϕ=+ò则
.02的通解求方程='-''y y y 解一
),(y p y ='设代入原方程得 2d 0,d p y p p y ⋅-=d ()0,d p p y p y ⋅-=即d 0d p y p y
⋅-=由，1,p C y =可得.1
2x C e C y = 所以原方程的通解为1d d y C y x =即，例6d ,d p y p y ''=则
解二,12y 两端同乘不为零因子22d ()0,d yy y y y x y
''''-==,1y C y ='故从而通解为.12x C e C y =解三原方程变为,y y y y '='''两边积分,得，1ln ln ln C y y +='，即y C y 1='原方程的通解为.
12x C e C y =
例7 解初值问题解:令⎩⎨⎧20
y y e ''-=00,x y ==01x y ='=),(y p y =',d d y p p y =''则代入方程得y
e p p y d d 2=积分得1221221C e p y +=利用初始条件,,0100>='===x y y p ,01=C 得根据y e p x y ==d d 积分得,2C x e y +=--,00==x y 再由1
2-=C 得故所求特解为1.
y e x --=得
THANK YOU。