人教B版高中数学必修第二册6.1.5向量的线性运算【含答案】

6．1.5

向量的线性运算1．(3a ＋12b ＋c )－(2a ＋34b －c )等于()A ．a －14b ＋2c B ．5a －14b ＋2c C ．a ＋54b ＋2c D ．5a ＋54

b 2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三

点是()

A ．

B ，

C ，

D B ．A ，B ，C C ．A ，B ，D D ．A ，C ，D 3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，

E 是线段OD 的中点，AE 的延长

线交DC 于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →＝()

A ．13a ＋b

B ．12a ＋b

C ．a ＋13b

D ．a ＋12b 4．设a ，b 是两个不共线的非零向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________．5．计算：(1)4(a ＋b )－3(a －b )－8a ；

(2)(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )；

(3)23

（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）.6．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，

CD →＝－5e －3f .

(1)用e ，f 表示AD →；

(2)证明：四边形ABCD 为梯形．

7．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定可以使a，b共线的是()

A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e

B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0

C．x a＋y b＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)

D．已知梯形ABCD，其中AB→＝a，CD→＝b

8．设P是△ABC所在平面内一点，且BC→＋BA→＝2BP→，则()

A．PA→＋PB→＝0B．PC→＋PA→＝0

C．PB→＋PC→＝0D．PA→＋PB→＋PC→＝0

9．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，则() A．AO→＝2OD→B．AO→＝OD→

C．AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→

10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝1

2AB，BE＝2

3

BC.若DE→＝λ1AB→

＋λ2AC→(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．

11．在等腰梯形ABCD中，AB→＝2DC→，点E是线段BC的中点，若AE→＝λAB→＋μAD→，则λ＝______，μ＝________．

12．若OA→＝3e1，OB→＝3e2，且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量OP→用e1，e2可表示为OP→＝________．

13．已知△ABC中，向量AP→＝λ(AB→＋AC→)(λ∈R)，则点P的轨迹通过△ABC的() A．垂心

B．内心

C．外心

D．重心

14．在△OAB中，OA→＝a，OB→＝b，OP→＝p，若p＝t(a

|a|＋b

|b|

)，t∈R，则点P在

()

A．∠AOB平分线所在直线上

B．线段AB垂直平分线上

C．AB边所在直线上

D．AB边的中线上

参考答案与解析

1．答案：A

解析：(3a ＋12b ＋c )－(2a ＋34b －c )＝(3a －2a )＋(12b －34b )＋(c ＋c )＝a －14b ＋2c .2．答案：C

解析：AB →＝a ＋2b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，又AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．3．答案：A 解析：由已知条件可知BE ＝3DE ，所以DF ＝13AB ，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .4．答案：－4

解析：∵向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，

∴k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k ＜0).

5．解析：(1)原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b .(2)原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c .(3)原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b )＝23(52a －1112b )＝53a －1118

b .6．解析：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2

－1－3)f ＝－8e －2f .

(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →方向相同，且AD →的

长度为BC →长度的2倍，即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．

7．答案：AB

解析：由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故A 可以；λa －μb ＝0，λa ＝μb ，故B 可以；x ＝y ＝0，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故C 不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故D 不可以．

8．答案：B

解析：因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确．

9．答案：B

解析：因为D 为BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OD →，所以2OA →＋2OD →＝0，

所以OA →＝－OD →，所以AO →＝OD →.10．答案：12

解析：由DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，得λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.11．答案：3412