ANSYS_轴对称问题

ANSYS_轴对称问题
关于 ANSYS 轴对称应⼒问题
1. 什么是轴对称应⼒问题
弹性⼒学中将廻转体对称于转轴⽽变形的问题定义为轴对称问题。

根据铁摩⾟柯《弹性理论》⼀书，公式 (169)(P.322) 与(178) (P.360)可以看到，在轴对称情况，只有径向和轴向位移，不能有周
向位移。

轴对称分析要求，除了结构是轴对称的外，载荷和约束也必须是轴对称的。

由上⾯的说明可见，在轴对称分析中不能有周向变形，因⽽也不能有周向的载荷。

即不能有扭矩之类的载荷和扭转变形。

对于轴对称结构，如果承受轴对称约束，⽽载荷是⾮轴对称的，但该载荷可以分解为旋转⾓θ的三⾓函数，可以使⽤“轴对称谐波
单元–Plane25，Shell61，Plane75，Plane78，Plane83，Shell208, Shell209 等”进⾏求解，不过本⽂不涉及。

2. ANSYS 对轴对称模型的基本要求
在 ANSYS 中分析轴对称问题时，要求：
(1) 分析模型 (轴对称) 必须位于整体坐标系的 X-Y 平⾯中，Y 轴为旋转轴，模型中的所有实体
(Keypoint,Line,Area,Volume,Node, Element等) 都必须位于 X >= 0 的范围中。

(2) 所有的载荷、约束都必须是轴对称的。

为此：
a. 只能施加 XY 平⾯内的载荷和约束，不能施加垂直于 XY 平⾯的载荷 (如扭矩，会产⽣法向的位移，对于轴对称单元不存在该位移，故不能施加)；
b. 根据轴对称理论，在旋转轴上 (X=0) 应该有 Ux ＝0，因此在旋转轴上不能施加⾮零的径向 (X ⽅向) 位移约束，也不能
施加径向的载荷 (否则会破坏结构 Ux ＝0 的条件)。

3.ANSYS 中如何施加轴对称载荷
对于约束、⾯载荷、体载荷、Y ⽅向的加速度、X ⽅向的⾓速度等，定义⽅式与⾮轴对称结构相同；对集中⼒载荷则有所不同。

对于
集中⼒，要求输⼊载荷作⽤点处，360 度圆周上的合⼒。

例如：在实际结构直径 d = 10 mm 的圆周上作⽤ p = 1500 N/mm 的Y 向载荷，则应输⼊为 (见图 1)：
F,n,Y,-47214 ! n –加载点的节点编号
其中： 47214 ＝π * d * p = 3.1416 * 10 * 1500
图 1 轴对称结构施加集中⼒
同样，轴对称分析结果的表述⽅式也和载荷相同，即节点反⼒是该节点所在圆周上的全部反⼒的合⼒。

4. ⼏个轴对称算例
4.1 ⽰例 1：受内压的厚壁圆筒 - 轴对称问题
问题描述：⼀个厚壁圆筒，内径 10 mm，外径 20 mm，材料弹性模量为 207000 MPa，泊松⽐为 0.3，承受内压 1 MPa。

求圆筒中的应⼒分布：
为了⽐较，分别按照⼆维平⾯问题、三维问题和轴对称问题进⾏分析。

考虑到三维实体模型和⼆维平⾯模型的对称性，对这两种情况都只对半个模型划分⽹格，然后在对称⾯上施加对称边界条件。

三种分析使⽤的模型如图 2。

图 2 三种分析模型的⼏何实体⽰意图
其中：
(1) 三维实体模型–⼀个空⼼圆柱体，使⽤ Solid95 单元划
分⽹格；
(2) 平⾯应变模型–⼀个圆环⾯，空⼼圆柱体的横截⾯，使⽤
Plane82 单元(平⾯应变类型) 划分⽹格；
(3) 轴对称模型–⼀个矩形，圆柱体沿母线⽅向的截⾯，使⽤
Plane82 单元(轴对称类型) 划分⽹格。

三种模型的⽹格如图 3 所⽰：
图 3 三种分析模型的⽹格⽰意图
然后施加载荷和约束：
(1) 三维实体模型
载荷为内表⾯上压⼒ 1 Mpa；约束条件为两端⾯ Uz = 0 和两个轴向截⾯的对称条件 (Uy = 0)；为了防⽌ x ⽅向的刚体位移，在 YOZ 平⾯上任选⼀个节点约束 Ux = 0。

(2) ⼆维平⾯应变模型
载荷为内表⾯ (半圆线段)上压⼒ 1 Mpa；约束条件为半圆环的两根半径截线的对称条件 (Uy = 0)；为了防⽌ x ⽅向的刚体位移，在 1/4 圆周的半径上任选⼀个节点约束 Ux = 0。

(3) 轴对称模型
载荷为内表⾯ (直线段)上压⼒ 1 Mpa；约束条件为矩形两个短边 (Uy = 0)。

注意对轴对称情况，可以不施加对 Ux 的约束。

计算结果如下：
(1) 三维实体模型 (在圆柱坐标中显⽰结果)
图 4 三维实体的径向位移分布
图 5 三维实体的 Mises 应⼒分布
(2) ⼆维平⾯应变模型 (在圆柱坐标中显⽰结果)
图 6 ⼆维平⾯应变实体的径向位移分布
图 7 ⼆维平⾯应变实体的 Mises 应⼒分布(3) 轴对称模型
图 8 轴对称模型的径向位移分布
图 9 轴对称模型的 Mises 应⼒分布
⽐较可见：以三维实体为准，另外两个模型的最⼤误差：位移–⼩于 1％；Mises 应⼒⼩于5％。

即结果基本⼀致。

4.2 ⽰例 2：厚壁圆筒的稳态温度场- 轴对称问题
问题描述：⼀个厚壁圆筒，内径 10 mm，外径 20 mm。

材料弹性模量为 207000 MPa，泊松⽐为 0.3，导热率 80 W/(m*K) 或 80 t·mm/s3/K；密度 7.8E-9 t/mm3，⽐热 504E6
mm2/(s2·K)。

内壁温度 0，外壁温度 100。

求圆筒中的温度分布：
为了⽐较，分别按照⼆维平⾯问题、三维问题和轴对称问题进⾏分析。

考虑到三维实体模型和⼆维平⾯模型的对称性，对这两种情况都只对半个模型划分⽹格，然后在对称⾯上施加对称边界条件。

三种分析使⽤的模型如前⾯图 2。

其中：
(1) 三维实体模型–⼀个空⼼圆柱体，使⽤ Solid90 单元划
分⽹格；
(2) 平⾯应变模型–⼀个圆环⾯，空⼼圆柱体的横截⾯，使⽤
Plane77 单元(平⾯应变类型) 划分⽹格；
(3) 轴对称模型–⼀个矩形，圆柱体沿母线⽅向的截⾯，使⽤
Plane77 单元(轴对称类型) 划分⽹格。

三种模型的⽹格和前⾯图 3 相同：
然后施加载荷和约束：
(1) 三维实体模型
载荷为内表⾯上温度 100，外表⾯上温度 200；
(2) ⼆维平⾯应变模型
载荷为内表⾯上温度 100，外表⾯ (外部半圆线段)上温度 200；
(3) 轴对称模型
载荷为内表⾯ (内部直线段)上温度 100，外表⾯ (外部直线段)上温度 200。

计算结果如下：
(1)三维实体模型
图 10 三维实体的温度分布
图 11 三维实体的温度梯度分布
图 12 ⼆维平⾯实体的温度分布
图 13 ⼆维平⾯实体的温度梯度分布
图 14 轴对称模型的温度分布
图 15 轴对称模型的温度梯度分布⽐较可见：三个模型的最⼤误差均⼩于 1％。

4.3⽰例 3 –受内压的厚壁球–轴对称问题
问题描述：⼀个厚壁圆球，内径 10 mm，外径 20 mm，材料弹性模量为 207000 MPa，泊松⽐为 0.3，承受内压 1 MPa。

求圆球中的应⼒分布：
为了⽐较，分别按照三维问题和轴对称问题进⾏分析。

考虑到三维实体模型的对称性，只对 1/8 球体划分⽹格，然后在对称⾯上施加对称边界条件。

两种分析使⽤的模型如图 16。

图 16 两种分析模型的⼏何实体⽰意图
其中：
(1) 三维实体模型– 1/8 空⼼圆球体，使⽤ Solid95 单元划
分⽹格；
(2) 轴对称模型–1/4 圆环，圆柱体沿母线⽅向的截⾯，使⽤
Plane82 单元(轴对称类型) 划分⽹格。

两种模型的⽹格如图 17 所⽰：
图 17 两种分析模型的⽹格⽰意图
然后施加载荷和约束：
(1) 三维实体模型
载荷为内表⾯上压⼒ 1 Mpa；约束条件为三个对称截⾯的对称条件 (Un = 0； n –⾯的法向)。

(2) 轴对称模型
载荷为内表⾯ (圆弧段)上压⼒ 1 Mpa；约束条件为平⾏ X 轴的对称⾯ (直线段)上的对称条件 (Uy = 0； y –⾯的法向)。

轴线的对称边上可以施加 Ux = 0 的条件，也可以不施加，因为它是轴对称情况的默认条件。

但是，如果在轴线上施加了⾮零的位移约束，虽然也能算出结果，但明显是错误的，因为这种条件意味着硬性要求模型从轴线处裂开。

计算结果如下：
(1) 三维实体模型
图 18 三维实体的径向位移分布
图 19 三维实体的 Mises 应⼒分布
(2) 轴对称模型
图 20 轴对称模型的径向位移分布
图 21 轴对称模型的 Mises 应⼒分布⽐较可见：两个模型的最⼤误差：位移–⼩于 0.3％；Mises 应⼒⼩于3％。

即结果基本⼀致。

4.4轴对称壳体断⾯受集中⼒的情况
即前⾯图 1 提到的⼀个例⼦，如下图：
图 22 承受集中⼒的轴对称壳体
问题描述：⼀个薄壁圆筒，中直径 10 mm，壁厚 1.0 mm，材料弹性模量为 207000 MPa，泊松⽐为 0.3，承受端⾯压⼒ 1500 Mpa，换算为线分布载荷 1500 N/mm。

求圆筒中的变形和应⼒分布：
为了⽐较，分别按照三维问题和轴对称问题进⾏分析。

考虑到三维实体模型的对称性，只对 1/2 圆筒划分⽹格，然后在对称⾯上施加对称边界条件。

两种情况分别采⽤ 2D 壳体单元 (shell63) 和轴对称壳体单元(shell51)，所使⽤的⼏何模型如图 23。

图 23 两种分析模型的⼏何实体⽰意图
其中：
(1) 三维实体模型–1/2 圆筒，使⽤ Shell63 单元划分⽹格；
(2) 轴对称模型 - 直线段，使⽤ Shell208 单元划分⽹格。

两种模型的⽹格如图 24 所⽰：
图 17 两种分析模型的⽹格⽰意图
然后施加载荷和约束：
(1) 三维壳体模型
载荷为上端⾯上线分布压⼒ 1500 N/mm；约束条件为：下端⾯处Uy = 0；两个对称截⾯ (直线段) 的对称条件 (Ux = 0； x –该对称⾯的法向)，以及下端⾯ (半个圆周) 中间节点的 Uz = 0。

(2) 轴对称模型
载荷为上端⾯ (点) 承受集中⼒ Fy = -47124 N；约束条件为下端⾯ (点) Uy = 0。

计算结果如下：
(1) 三维壳体模型
图 18 三维壳体的合成位移分布
图 19 三维实体的 Mises 应⼒分布(圆筒中应⼒为常数值 1500 MPa)。