高等数学第三章微分中值定理与导数的应用第六节 曲线的渐近线与函数 作图

第六节 曲线的渐近线与函数 作图
一 问题的提出 二 曲线的渐近线 三 函数作图 四 小结与思考判断题
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一 问题的提出
借助于一阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个 区间上上升，哪个区间上下降，在什么地方有极值点；
借助于二阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个 区间上为凹，哪个区间上为凸，在什么地方有拐点；
ybx a
0
y b x a
X
双曲线
x2 a2

y2 b2
1 向无限远处延伸时，与直线
y b x 无限逼近.
a
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1. 铅直渐近线
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
x x0
x x0
那么则称x x0 是y f ( x)的一条铅直渐近线,
x
( x 1)2

5
b
得斜渐近线 y x 5.
列表得到函数增减区间和凹凸区间及拐点和极值点:（如下）
x (,5) 5
f ( x)
0
f ( x)

f (x)
极大值 -13.5
(5,1) 1 (1,1)
不存在
不存在
间 断 点
1
0
0
知 道 了 函 数 图 形 的 升 降、 凹 凸 以 及 极 值 点 和 拐点 后 ， 也 就 可 以 掌 握 函 数 的 性态 ， 并 把 函 数 的 图 形 画得 比 较 准 确.
因此，我们可以利用函数的导数描绘函数图形.
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二 曲线的渐近线
x2 y2 a2 b2 1
Y
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四 小结与思考判断题
(1)如果lim f ( x) 不存在;
x x
且 lim f ( x) a 存在, 但 lim[ f ( x) ax] 不存在,
x x
x
则y f ( x) 不存在斜渐近线.
(2)两个凸函数之积仍是凸函数。
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(其中x 可以是x ,或x )
斜渐近线求法:
f (x)
lim
k,
x x
lim[ f ( x) kx] b.
x
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例1
求
x3 f ( x) ( x 1)2
的渐近线.
解 D : (,1) (1,).
lim f ( x) x 1 是曲线的铅直渐近线. x1
拐点
(1,0)
(1, )


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补充点: A (0,1) y
作图
5
1 o
1
A
5
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x
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例3
作函数 ( x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 D : (,), 偶函数, 图形关于y轴对称.
( x)
x

e
x2 2
,
(
x)


(
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7
60 40 20
-20
-10
-20
10
20
x3 f ( x) ( x 1)2
的图形.
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三 函数作图
利用函数特性描绘函数图形，一般遵循下列步骤. （1） 确定函数 y f ( x) 的定义域,对函数进行奇
偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f '( x) 和二阶导数 f "( x);
（4） 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
（5） 描出与方程 f '( x) 0 和 f "( x) 0 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
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例2
作函数
f (x)
( x 1)3 ( x 1)2
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1)
( x)
0
( x)
( x)
0

拐点
(1, 1 ) 2e
极大值
1
2
1 (1,)

0
拐点
(1, 1 ) 2e
y1
2
1
o
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1
x
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( x)
1
x2
e2
2
概率曲线
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的图形.
解 D : x 1, 非奇非偶函数,且无对称性.
f
( x)

(x
1)2 ( x ( x 1)3
5)
,
f
( x)

24( x 1) ( x 1)4
.
令 f ( x) 0, 得驻点 x 1, x 5
令 f ( x) 0, 得点 x 1.
也就是平行于 x 轴的渐近线.
例如 y e x2 ,
有水平渐近线: y 0.
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3.斜渐近线
如 果 lim [ f ( x) (kx b)] 0 (k 0, b 为 常 数) x
那 么 y kx b 就 是 y f ( x) 的 一 条 斜 渐 近 线.
（2）求 出 方 程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 在 函 数 定 义 域 内 的 全 部 实 根 ，用 这 些 根 同 函 数 的 间 断 点 或 导 数 不 存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
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（3）确定在这些部分区间内 f '( x) 和 f "( x) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论）；
又
lim
x
f
(x) x

lim
x
x3 x( x 1)2

x2
lim
x
(
x

1)2
1
再由lim[ x
f
( x)
kx]

x3
lim[
x
(
x

1)2

x]
x( x 1)2
2b
y x 2 是曲线的一条斜渐近线.
lim f ( x) ,所以x 1为铅直渐近线. x1 无水平渐近线
又 lim x
f (x) x

lim
x
( x 1)3 x( x 1)2
1
k
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lim[ f ( x) kx]
x
( x 1)3 x( x 1)2
lim
x

1)(
x

1)

e
x2 2
.
2
2
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
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列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
也就是垂直于 x 轴的渐近线.
例如 y 1 ,
40 20
x2
-3
-2
-1
1
有铅直渐近线:
-20
-40
x 2
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2 .水平渐近线
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.