三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总

三角函数正余弦函数的图像及性质
复习汇总(共8页)
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一、正弦函数和余弦函数的图象：
正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ
ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：
（1）定义域：都是R 。

（2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22
x k k Z π
π=+
∈时，y 取最大值1；当()322
x k k Z π
π=+
∈时，y 取最小值－1；
3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

例：（1）若函数sin(3)6
y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21
-，则=a __，=b ＿
（答：1
,12
a b ==或1b =-）；
z)(k k 22
3.k 22
∈
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++πππz)(k 43k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππz)(k 4k ,4k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-ππππ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。

（3）周期性：
①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；
②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||
T πω=。

例：(1)若3
sin
)(x
x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0）；
⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A.cos 4y x =
B.sin 2y x =
C.sin 2x y =
D.cos 4
x
y =
（4）奇偶性与对称性：
1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2
x k k Z π
π=+
∈；
2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭，对称轴是直线
()x k k Z π=∈
（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。

例：（1）函数522y sin x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）；
（5）单调性：
()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦单调递减；
cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。

特别提醒，别忘了k Z ∈！
⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）
A. B. C. []z)(k k 23,k 2∈+ππππ＋ D.
（5）研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将
sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。

如（1）函数23y sin(x )π=-+的递减区间是______（答：51212
[k ,k ](k Z )π
πππ-+∈）；
（2）12
34x y log cos(
)π=+的递减区间是_______（答：336644
[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）；
（3）函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，
3,,
,22
2
π
π
ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

⑴ 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：
1(1)sin ;2x ≥ 15(2)cos ,(0).22x x π
≤<<
⑵. 用五点法作函数2cos(),[0,2]3
y x x π
π=+∈的简图.
6.形如sin()y A x ωϕ=+的函数：
（1）几个物理量：A ―振幅；1
f T
=―频率（周期的倒数）；x ωϕ+―相位；ϕ―初相； （2）函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，
例1、已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b 为常数)的 一段图象(如图)所示. ①求函数的解析式； ②求这个函数的单调区间.
2.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：
①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，
3,,
,22
2
π
π
ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

3.函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：
①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；
②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；
③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；
④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到
()sin y A x k ωϕ=++的图象。

要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或
向右平移应平移||ϕ
ω
个单位，
例：（1）函数2sin(2)14
y x π
=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象
(2) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2
x
y =的图象向___平移____个单位
课堂练习：
1、已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的
图象沿x 轴向左平移4
π
个单位,这样得到的曲线与y=3sinx 的图象相同, 那么y=f(x)的解析式为
（ ）
A ．f(x)=3sin(42π-x )
B ．f(x)=3sin(2x+4π
)
C ．f(x)=3sin(42π+x )
D ．f(x)=3sin(2x －4
π
)
2．(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函
数解析式是( ).
A.cos 2y x =
B.22cos y x =
C.)4
2sin(1π
+
+=x y D.22sin y x =
（3）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的
取值范围是
（答：）
（3）设函数)2
2
,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3
2π=x 对称，它的周期是
π，则
A 、)21,0()(的图象过点x f
B 、()f x 在区间52[,]123
ππ
上是减函数
C 、)0,12
5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A
（4）对于函数()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线
12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3π
个单位得到；④图像向左平移12π个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。

其中正确结论是_______
四、正切函数tan y x =的图象和性质：
（1）定义域：{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈。

遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗 （2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。

绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不
变，其它不定。

如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2
π
，而
1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626
y x y x ππ
=-+=-+，|tan |y x =的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π⎛⎫
⎪⎝⎭
()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
内都是增函数。

但要注意在整个定
义域上不具有单调性。

如下图：
课后作业：
一、选择题：
1、函数3sin(2)6
y x π
=+的单调递减区间是 （ ）
A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈
B ．511,1212k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈ C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．2,63k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦()k Z ∈ 2、已知函数)cos()(,2
sin )(x x g x x f -=+=ππ
，则 （ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数
C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数
D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数
3、若函数y=2sin(8x+θ)+1的图象关于直线6
x π
=
对称，则θ的值为（ ）
A ．0
B ．
2π C ．k π(k ∈Z) D ．k π+6π
（k ∈Z ） 4、函数sin 2
x
y =的最小正周期是（ ）
A ．
2
π B ．π C ．π2 D ．π4
5、函数)23
cos(x y -=π
的单调递减区间是（ ）
6、已知函数1)2
sin()(--=π
πx x f ，则下列命题正确的是（ ）
A ．)(x f 是周期为1的奇函数
B ．)(x f 是周期为2的偶函数
C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数
D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数
7、函数)2
92cos(π
-=x y 是（ ）
A ．奇函数非偶函数
B ．偶函数非奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 二、填空题：
7、已知函数)0(sin 21>+=A A
x y π
的最小正周期为3π，则A = ．
8、函数f(x)=11-8cosx-2sin 2x 的最大值是______．
9、函数函数)sin 2
1
lg(x y -=的定义域是 ．
10、若3
π
=x 是方程1)cos(2=+αx 的解,其中)2,0(πα∈,则α=
11、已知函数1x sin b ax )x (f 3++=（a 、b 为常数），且f(5)=7，则f(-5)= ____. 12、给出下列命题：
①函数)x 225sin(
y -π
=是偶函数; ②方程8x π=是函数)4
5x 2sin(y π
+=的图象的一条对称轴方程;
③若α、β是第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.
其中正确命题的序号是 .（填序号）
三．解答题： 13．已知 ，求证：
．
14．若
，
求 的值．
15、设函数)2
2
,0)(sin()(π
ϕπ
ωϕω<
<-
>+=x x f ,给出三个论断:○1它的图象关于8
π
=
x 对称;○2它的
最小正周期为π;○3它在区间]8
3,4[ππ上的最大值为22
.以其中的两个论断作为条件,另一个作为结
论,试写出你认为正确的一个命题并给予证明.
16、已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点)
0,43(
πM 对称，
且在区间]2
,0[π
上是单调函数.求ωϕ和的。