2011年高考数学理(重庆)(含答案解析)

2011年高考数学理（重庆）（含答案
解析）
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2011年高考数学理（重庆）（含答案解析）
1 复数
（A）（B）（C）（D）
【答案解析】 C
本题主要考查复数单位i及复数的四则基本运算，以及转化的思想．难度较小
＝＝－＝－＝－＝－i．
2 是的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案解析】 A
本题主要考查一元二次不等式的解法及充要条件的判断．难度较小．
解不等式x2－1＞0，得x＜－1或x＞1，因此当x＜－1成立时，x2－1＞0成立，而当x＜－1或x＞1成立时，x＜－1不一定成立，故选A．
3 已知，则
（A） (B)
2 (C)
3 (D)
6
【答案解析】 D
本题主要考查函数的极限求法，同时考查转化的思想及简单的方程思想．难度较小．(＋)＝＝＝＝2，即a＝6．
4 的展开式中与的系数相等，则=
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
【答案解析】 B
本题主要考查二项定理、组合数的应用，以及考查方程的思想、转化的思想，同时考查逻辑思维能力及运算能力．难度较小．
方法1由题意可得C35＝C36，即C＝3C，即＝3·，即＝，解得n＝7．
方法2当n＝6时，x5项的系数为C35＝1456，x6项的系数＝C36＝729，显然不成立．当n ＝7时，x5项的系数为C35＝5103，x6项的系数＝C36＝5103，满足条件．
5 下列区间中，函数=在其上为增函数的是
（A）（-（B）（C）（D）
【答案解析】 D
本题主要考查对数函数的单调性、图象的作法及应用，同时考查函数的数形结合的思想、转化的思想．难度较小．
化f(x)为分段函数f(x)＝，
作出函数的图象，如图所示，根据图象知f(x)在[1，2）上为增函数．
6 若的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为
（A）（B） (C)
1 (D)
【答案解析】 A
本题主要考查余弦定理的应用，同时考查逻辑思维能力、简单的运算能力、整体代换的思想与转化的思想．难度较小．
由(a＋b) 2－c2＝4，得a2＋b 2－c2＋2ab＝4．由余弦定理得a2＋b 2－c2＝2abcocosC＝ab，所以ab＋2ab＝4，即ab＝．
7 已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是
（A）
（B）4
(C) (D)
5
【答案解析】 C
本题主要考查均值定理的应用，以及考查对代数式结构的变换能力．逻辑思维能力，同时考查转化的思想．难度一般．
＋＝(＋)(a＋b)＝(5＋＋a)≥(5＋2)＝．
8 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为
（A）
（B）
(C)
(D)
【答案解析】 B
本题主要考查圆的方程、直线与圆相交的弦长问题、两点之间的距离、四边形面积等，同时考查数形结合的思想、逻辑思维能力、作图能力．难度中等．
将圆方程配方得(x－1)2＋(y－3)2＝10，则
设圆心为G，易知G(1，3)．最长弦AC为过E的直径，则|AC|＝2．
最短弦BD为与GE垂直的弦，如图所示．易知|BG|＝，
|EG|＝＝，|BD|＝2|BE|＝＝2．
所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝10．
9 高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
（A）（B） (C)
1 (D) [来源:学|科|网Z|X|X|K]
【答案解析】 C
本题主要考查球的性质、棱锥的性质、平面间的距离等基础知识，以及考查转化的思想、构造的思想，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力、图形的变换能力、创新解决问题的能力．难度中等偏上．
如图所示，设球心为O，正方形的中心为O1，则OB＝1，O1B＝BD＝，所以点O到平面ABCD
的距离OO1＝＝，
因为四棱锥S－ABCD的底面的高为，可以想到四棱锥的顶点S是与平面ABCD平行且距离为的一个小圆的圆周上，此小圆的圆心O2在OO1的中点上，易知SO为线段OO1的垂直平分线，所以SO1＝SO＝1．
10 设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为
（A）-8 （B）8 (C)12 (D)
13
【答案解析】 D
本题主要考查不等式的性质、一元二次方程根的分布、一元二次函数的图象、不等式组表示的平面区域及最值问题等，以及考查数形结合的思想、转化的思想、方程与函数思想，同时考查逻辑思维能力、作图能力、运算能力、综合分析问题和解决问题的能力．难度较大．设f(x)＝mx2－kx＋2，由f(0)＝2，易知f(x)的图象恒过定点(0，2)，因此要使已知方程在区间(0，1)内两个不同的根，即f(x)的图象在区间(0，1)内有两个不同的交点，必有1，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，设z＝m＋k，则直线m＋k－z＝0经过图中的阴影中的整点(6，7)时，z＝m＋k取得最小值，即zmin＝
13．
11 在等差数列中，，则__________
【答案解析】 74
本题主要考查等差数列的基本运算及转化的能力．难度较小．
方法1：由a3＋a7＝37，得(a1＋2d)＋(a1＋6d)＝37，即2a1＋8d＝37．
a2＋a4＋a6＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋3d)＋(a1＋5d)＋(a1＋7d)＝2(2a1＋8d)＝74．
方法2：∵a3＋a7＝a2＋a8＝a4＋a6＝37，∴a2＋a4＋a6＋a8＝74．
12 已知单位向量，的夹角为60°，则__________
【答案解析】
本题主要考查平面向量的夹角、数量积公式、模的求法等知识，以及考查转化的思想与运算能力．难度较小．
方法1：|2e1－e2|2＝4e12－4e1·e2＋e22＝4|e1|2－4|e1||e2|·cos60°＋|e2|2＝4×12－4×1×1×＋12＝3，∴|2e1－e2|＝．
方法2：在平面直角坐标系中取e1＝(1，0)，e1＝(，)，则|2e1－e2|＝|(0，)|＝．
13 将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为
__________
【答案解析】
本题主要考查独立重复试验的概率计算及分类思想．难度较小．
方法1：处理为独立重复试验，正面出现的次数比反面出现的次数多的情况就是出现了4次、5次、6次正面，所以所求概率为C()4()2＋C()5()＋C()6＝．
方法2：一枚均匀的硬币投掷6次，出现的正反面的情况有26，其中正面出现的次数比反面出现的次数的情况有C＋C＋C，则所求概率有＝．
14 已知，且，则的值为__________
【答案解析】－
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差公式、二倍角公式的三角恒等变换，以及考查转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．难度中等．
方法1：＝＝＝－(cosa＋sina)，∵sina＝＋cosa，∴cos a－sina＝－，两边平方得1－
2sinacosa＝－，所以2sinacosa＝．∵a∈(0，)，∴cosa＋sina＝＝＝，∴＝－．
方法2：由条件得cosa－sina＝－，两边平方得1－2sinacosa＝－，所以sin2a＝．所以由a∈(0，)，知cos2a＝＝．于是＝＝－．
15 设圆C位于抛物线与直线3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________
【答案解析】－1
本题主要考查圆与直线相切、圆与抛物线相切问题，以及考查判别式法、转化法等数学方法，同时考查方程思想、逻辑推理能力、运算能力．难度较大．
由题意知，半径取得最大值的圆的圆心必在x轴上，高为(a,o)(0＜a＜3)，则半径为3－a，于是圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2，将抛物线方程y2＝2x代入圆方程得(x－a)2＋2x ＝(a－3)2，即x2－2(a－1)x＋6a－9＝0，由△＝4(a－1)2－4(6a－9)＝0，即a2－8a＋10＝0，a＝4±，∵0＜a＜3，∴a＝4－，故圆C的半径能取到的最大值为3－a＝－1．
16 设，满足，求函
数在上的最大值和最小值.
【答案解析】解：
由
因此
当为增函数，
当为减函数，
所以
又因为
故上的最小值为
17 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望
【答案解析】解：这是等可能性事件的概率计算问题.
（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式
种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.
记“申请A片区房源”为事件A，则
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为
（II）ξ的所有可能值为1，2，3.又
综上知，ξ有分布列
ξ
1
2 3
P
从而有
18 设的导数满足
，其中常数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，求函数的极值．
【答案解析】解：（I）因故
令
由已知
又令由已知
因此解得
因此
又因为故曲线处的切线方程为
（II）由（I）知，
从而有
令
当上为减函数；
当在（0，3）上为增函数；
当时，上为减函数；
从而函数处取得极小值处取得极大值
19 如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，
．
（Ⅰ）若，，求四面体的体积；
（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案解析】（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，
即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，
且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.
在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，
由勾股定理易知
故四面体ABCD的体积
（II）解法一：如答（19）图1，设G，H 分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.
设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，
故由三垂线定理知DE⊥AB.
所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°
设
在
从而
因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，
又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得
因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值
为
解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，
平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x 轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.
不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为
显然向量是平面ABC的法向量.
已知二面角C—AB—D为60°，
故可取平面ABD的单位法向量，
使得
设点B的坐标为
，有
易知与坐标系的建立方式不合，舍去.
因此点B的坐标为所以
从而
故异面直线AD与
BC所成的角的余弦值为
20 如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的
斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求
的坐标；若不存在，说明理由．
【答案解析】解：（I）由
解得，故椭圆的标准方程为
（II）设
，则由
得
因为点M，N在椭圆上，所以
，
故
设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为
21 设实数数列的前n项和，满足
（I）若成等比数列，求和；
（II）求证：对
【答案解析】（I）解：由题意，
由S2是等比中项知
由解得
（II）证法一：由题设条件有
故
从而对有
①
因，由①得
要证，由①只要证
即证
此式明显成立.
因此
最后证若不然
又因矛盾.
因此
证法二：由题设知，
故方程（可能相同）.
因此判别式
又由
因此，
解得
因此
由，得
因此。