1-3古典概型与几何概型

(5)
2
Pr n2
(n
r
2 1)!
2(n
r
1)
n!
n(n 1)
练习： P30 : 12
（2）袋中取球问题（有无放回取球，取球是否考虑顺序）
例：一个袋子中装有10个大小相同的球，其中3 个黑球，7个白球。每次随机地从袋中取一球， 连续取两次。
取球方式 (1)无放回 (2)有放回
分别求下列事件的概率：
P(A) =
m n
=
A中样本点的个数 Ω中样本点总数
.
称此为概率的古典定义.
例如 抛掷一枚质地均匀的硬币两次.
{(正，正）,(正，反）,(反，正）,(反，反)}
试求下列事件的概率
1
(1)出现两次正面
41
(2)恰好出现一次正面
2
(3)至少出现一次正面 3
4
2. 古典概率计算举例
（1）排序问题（排列知识）
D)nk
Cnk (
D )k (1 N
D )nk N
-------二项分布
练习：
1、某机构发售了编号为0000 ～ 9999的福利彩票共
一万张，其中有五张头奖，假如你买了十张，问你
能中头奖（即至少有一个头奖）的概率多大？
P(
A)
1
P(
A)
1
C 10 9995
C 10 10000
0.00499
2.《学习指导与习题解析》：P21:6, P23:9
解： 因为所考虑的事件涉及取球的次序，所 以基本事件也应考虑顺序，（a+b）次 取球的总取法为（a+b）!,记上述四个 事件分别为A,B,C,D.
（1）第i次取到的是黑球；
12
……
i
a+b
P( A) a [(a b 1)!] a
(a b)!
ab
----------抽签的公平性
(2)第i次才取到黑球；
20
o 20
A {( x, y) | ( x, y) ,| x y | 20}
60
x
S( A) 602 402 5
P( A)
S()
602
9
例（会面问题）甲、乙两人相约8点到9点在某地 会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去， 试求这两人能会面的概率．
解： 以x，y分别表示甲、乙两人的到达时刻，则两人能
y
会面的充要条件为 x y 20
y x 20
60
x y 20 {( x, y) | 0 x 60, 0 y 60}
（3）分球入箱问题（分房问题，生日问题）
12 3
… …N
例：将n个球(可辨认)随意地放 入N个箱子中(N≥n),其中每个 球都等可能地放入任意一个箱 子，求下列各事件的概率：
（1）指定的n个箱子各放一球； （2）每个箱子最多放入一球； （3）某指定的箱子不空； （4）某指定的箱子恰好放入k（k≤n）个球。
解:他们的生日各不相同的概率为365 364 (365 n 1)
365n
365 364 (365 n 1)
p 1
365n
我们利用软件包进行数值计算.
例15、一个袋子中装有a+b个球，其中a个黑球，b个白球， 随意地每次从中取出一球（不放回），
求下列各事件的概率: (1)第i次取到的是黑球；(2)第i次才取到黑球； (3)前i次中能取到黑球；(4)前i次中恰好取到k个黑球
(1)取到的两球刚好一个白球一个黑球 A
(2)两个球全是黑球
B
(3)两个球中至少有一个黑球
C
解:(1)无放回
P(A)=
C13C17 C120
7 15
P(B)=
C32 C120
1 15
P(C)=
C13C17 C120
C32
8 15
(2)有放回
P( A) 2 3 7 21 1010 50
P(B) 3 3 9 1010 100
…
123
i-1
…
i
a+b
P(B)
a
P i1 b
[(a
b
i ) !]
a
P i1 b
(a b)!
Pi ab
此结果可看作另一种算法.其中Pai+b 是另一个样本空间 （从a b个球中不放回地取出i个球排成一排）的样本点个数。
注：计算古典概率时，要注意在同一个样本空间中考虑问题。
c) 前i次中能取到黑球。
例：将标号为1，2，3，…n 的n个球随意地排成一行，
求下列各事件的概率：
2
(1)标号是递减或递增序列； n！
(2)第1号球排在最右边或最左边；
2(n 1)! n！
2 n
(3)第1号球与第2号球相邻；
2(n 1)! n！
2 n
1
(4)第1号排在第2号球的右边（不一定相邻）;
2
(5)第1号球与第2号球之间恰有r个球(r<n)。
解： 将n个球随意地放入N个箱子，共有 N n 种放法，
分别记上述四事件为A,B,C,D。
n! (1) P( A) N n
(2)每个箱子最多放入一球等价于将n个球放进任
意的n个箱子中，每箱一个球，其放法有C
n N
(n!)
（或记作PNn）种，则有P(B)
PNn Nn
.
( N 1)n (3) P(C ) N n
P( A) S( A) 平面区域上A的几何概率 S()
三、几何概率
定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域,并 且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子 区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
P( A) m( A)
m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率.
一、排列、组合基本知识
1、加法原理
n1 n2 nm
2、乘法原理 n1 n2 nm
3、排列
(1)选排列
Pm n
n (n 1)
(n m 1) n! (n m)!
(2)重排列
nm n n n
4、组合
C
m n
Pnm m!
n! m !(n m)!
5、抽样与排列组合
抽样 工具 顺序
P(C ) 1 P(C )
Nn (N Nn
1)n
(4)P( D)
C
k n
(
N
1)nk
Nn
课堂练习
1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
2o 生日问题 ( P30 : 13)
(答案 : 3! 33 )
求n个人中至少有两个人生日相同的概率(n 365).
直接考虑时间C比较复杂，先考虑其对立事件C：
“前i次未取到黑球”，显然C包含的取法有
Pbi [(a b i)!]种，于是
P(C)
Pbi
[(a b i)!] (a b)!
Pbi Pi
ab
Cbi ， Ci
ab
故P(C) 1 P(C) 1 Cbi Ci
ab
d) 前i次恰好取到k个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ球。
P(D)
无放回抽样
（元素不重复）
考虑
Pnm
不考虑
Cnm
有放回抽样
（元素可重复）
nm
二、古典概率
1.古典概型（最早、最简单的概率模型）
定 义：如果一个随机试验E具有以下特征 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点； 2、每个样本点出现的可能性相同。
则称该随机试验为古典概型。
2. 古典概率定义
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事 件 A 出现的概率记为:
C
k i
Pak
Pbi
k
[(a
b
i)!]
(a b)!
C
k i
Pak Pbik Pi
ab
Cai
C ik b
Ci ab
-----超几何分布
把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们 引入了几何概型----等可能随机试验模型.
A
在面积为S() (S() ) 区域中等可能地随机投点
点落入中任意区域A的可能性大小与 A的面积S( A)成正比，而与其位置或 形状无关。
2 3 7 32 51
P(C)
1010 100
总结： 设有N 件产品，其中D件次品，今采取不放回
与有放回两种抽样方式从中任取n件产品， 问其中恰有k件（k D)次品的概率是多少？
(1)不放回
p
C C k nk D ND
C
n N
-------超几何分布
(2)有放回
p
Cnk Dk ( N Nn