等级结构

i
2
j ( y j r j ) l (| yl | rl )
2 j l
2
注意到r 0, 上式第一项随着 r j 从 0至y j的增加而减少, 但是第二项随着 rl的增加而增加.故为使和最小, 应有 r j y j , 且rl 0 (16)
这样 ,问题 E 2进一步转化为求解问题 E3 : 2 min j ( y j r j ) s.t. y j r j 0, r j 1
j J j
(17)
先只考虑后一个等式约束.用Lagrange乘数法 我们来求解此条件极值,得到驻点为
j r j y j , 其中 1 j ( j )
j
yj 1
(18)
若所以的rj>0,则(18)式就是最优解.否则,问题比 较复杂,我们用图解示意如下:
j J
j ( y j rj ) 2 C
(0,0,1)
(三 维 时 是 椭 球 面 ) , 它与平面的交是 封闭曲线 . r2 0
•P5
r1 0
•
•P1 • •P • 2
P4 • • (1,0,0)
驻点 范围
r3 0
•P3
(0,1,0)
最优解
从上面的图解我们可以 看出 :当求得的驻点 有些 r j 0时, 最终的最优解中这些分 量为零. 因此我们可以令它们为 零, 重新来研究此问 题, 直到每个都符合要求 .问题 E3的解为
a (t 1) a (t ) P a (t )(Q w r )
T
(8)
三.用调入比例进行稳定控制
我们的中心问题是:通过对调入比例r的调节,尽 快达到或者接近给定的理想等级结构a*.对于已 经达到a*时,就要通过对调入比例r的调节,使得 等级结构比例保持在a*. 我们以(8)为例来进行研究. 由于并不是任何一 个等级结构都可以用调入比例控制不变的.自然 的问题是:给定了内部转移矩阵Q(从而w也知道), 确定哪些等级结构用合适的调入比例可以保持 不变,称为调入比例对等级结构的稳定控制.
i i
mi
i
: bi si , 则 bi 1.
i i
a bi si , bi 1, bi i ri .
i i
(13)
mij 0, 故i 0; aw 0.从r 0与bi 0等价.
T
对于 si
mi
i
, 记sij
mij
i
, 则我们得 sij 1.
T
(6) (7)
: n(t ) P M (t )r
T
其中 P Q w r , 是一个行和为1的随机矩阵.
(7)式或(5)式就是等级结构的基本方程. 特例1:当M(t)=βN(t)时,(7)式可变为
a (t 1) (1 ) [a (t ) P r ]
1
特例2: M(t)=0. (7)式可变为
D (a , a )
1 2

i 1
k
(1) i ( ai

( 2) 2 ai ) , 加权因子 i
0.
问题归结为求解问题 E1 : min D(a (1), a*) s.t.a (1) a (0)(Q w r ), r 0, ri 1
T i
(14)
求解方法
a * a (1) a * a (0)(Q w r )
T
a * a (0)Q a ( 0) w [ r] T a ( 0) w
T
a * a (0)Q 记y .由于a (0) wT 是一个已知常数 ,故 T a (0) w a * a (1)与y r成正比 .由于y已知 且可验证 yi 1. ,
i
问题E1可转化为求解问题 2 : E min i ( yi ri )
T
(1)Biblioteka 显然, pij , wi 0, 且
i
pij wi 1
j
(2)
调入比例向量如 (r1 ,, rk ), 其中ri为每年调入等级 r i 的成员占总对调入人数的 .t年调入总人数为 (t ). ( )比例 R
推导等级结构的基本方程
转移方程 : n j (t 1) pij ni (t ) r j R(t ) (4)
0 rj * y j 1, j J j
其中
j J j J
(19)
yj 1
1
( j )
.
计算实践:设a*=(S1+S2)/2=(1/6,5/18,5/9). a(0)=(0,0,1).w=(0.2,0.1,0.1).加权因子为1. 1.y=(5/3,25/9,-31/9).r=(0,1,0),a(1)=(0,0.1,0.9). 2.y=(5/3,187/90,-247/90).r=(53/180,127/180,0), a(1)=(53/1800,253/1800,747/900). 3.y=(1.447,1.685,-2.132).r=(0.381,0.619,0), a(1)=(0.057,0.168,0.775).
引起等级变化的因素有两种 : 一是系 统内部等级间的转移 , 即提升或者降级 ; 二是系统内外的交流,即人员的调入或退出 (调离 , 退休 , 死亡) .
系统内的各个等级的人员每个时期按 照一定的比例变化,本是一个确定性的转移 问题,但是当我们把这种比例视为各等级的 每个成员提升、降级或退出的概率，我们 就能够应用概率论和随机过程（特别马氏 过程）中的一些理论和方法 . 当然这时各 等级的数量应理解为平均值 .
由(8)式,对于某个a,若存在r,使得
a a (Q w r )
T
(9)
(10)
称a为稳定结构.此时,
a aQ r awT
注意到r满足ri 0的要求 我们得到稳定结构的范围为 , a : a aQ (11)
称为等级结构的稳定域.
例1 设大学教师分为3个等 0 .6 0 .2 0 级:初级(助教)、中级(讲师)、 0 0.7 0.2 Q 高级(正副教授).每年各等 0 0 0.9 级之间的转移矩阵为
i
总数 : N (t 1) N (t ) R(t ) W (t )
(3)
即 : n(t 1) n(t )Q R(t )r
(5)
记M(t)为从t到t+1年系统总人数的增长量,则 R (t ) W (t ) M (t ) n(t ) wT M (t )
于是 n(t 1) n(t )(Q w r ) M (t )r
a11 a12 a21 a22 a ak 2 k1 0 1 0 1 0 0
A的特点:主元 素正,其余负,行 和非负.方框内 保持它.
a22 a2 k
0 0 a11 a1k a1k a12 a21 a22 a21 a2 k a21 a2 k a11 a11 a1k a12 a1 j akk c j c1 ak1 ak 2 a ak1 akk a ak1 11 11 0 a11 * * 1 0 0 1 0 1 0 0 1 a21 a21 (a12 a1k ) (a11 a12 a1k ) 0. a11 a11
i
1
由于 a (awT )rM (awT ) ri mi , 其中 mi为矩阵 M的第 i行.由 a j 1,记 awT , 得
j
1 / (awT ) 1 ( ri mij ) ri ( mij ) : ri i ,
j i i j i
所以a ri mi (i ri )
成员按等级的比例分布 a (t ) (a1 (t ), a2 (t ), , ak (t )), ni (t ) 其中 ai (t ) , a (t )也称为是等级结构 . N (t )
转移矩阵 Q ( pij ), 其中 pij 为每年从等级 i转移 至等级 j的(占i中)比例.
i
退出比例向量 w ( w1 ,, wk ), 其中 wi为每年从等级 i 退出的成员(占i中)比例.t年退出系统的总人数为 W (t ) wi ni n(t ) w (t )
a * a (0)Q y a (0) wT
a (1) a * a (0) w ( y r )
T
0 .6 0 .2 0 0 0.7 0.2 Q 0 0 0.9
I-M可逆的证明
我们知道，转移矩阵Q的元素非负且 每行的和不大于1，现假定主对角线 上的元素小于1(这也是A=I－Q可逆 必要条件).用初等列变换来求逆:
故我们画出可行集 A.稳定域为B.求出 点S1为(1/3,2/9,4/9).
S3(0,0,1) •
B S1 • A S2 • (0,1/3,2/3)
(1,0,0)
(0.6,0.4,0)
(0,1,0)
稳定域的构造
设 对 每 个, pii 1, 且Q至 少 有 一 行 的 和 小 于则I Q可 i 1, 逆, 记M ( I Q) .而 且mij 0.于 是 由10)式 我 们 得 到 ( a (awT )rM (12)
i 2
s.t.r 0, ri 1
i
(15)
若y 0, 则问题 E 2的解显然为 r y.
否则 将yi 分成y j 0( j J )和yl 0两部分 此时 y j 1. , ,
j
与之对应我们将 也分成 j , rl .由于 , r r
i ( yi ri )
二.基本量与基本方程
设一个社会系统由低到高分为k个等级,将时间 以年为单位离散化,即每年进行且只进行一次 调级.引入记号:
成员按等级的分布向量 t ) (n1 (t ), n2 (t ),, nk (t )), n( 其中ni (t )为t时刻等级的人数 N (t ) ni (t )为总人数 i , .
求等级结构a的稳定域. 解 将Q代入稳定域(11)式,得到 a1 0.6a1 2 a2 a1 即 a2 0.2a1 0.7 a2 3 . a3 2a2 a 0 .2 a 0 . 9 a 3 2 3
这就是a的稳定域.下面我 们 从几何上来表它示. 由于 ai 1, ai 0.
j
表明 si 是在可行域上 (它仅与 Q有关).
结论 :当且仅当 能够表示成以i为系数的顶点i的 a b s 凸组合时a是稳定结构 , .
四.用调入比例进行动态调节
我们现在中心问题是:设理想等级结构为a*,并 假定a*属于稳定域B.已知转移矩阵Q和初始等 级结构a(0),求调入比例r,使得a(1)达到或者尽 量接近a*.若没有达到a*时,就要重新调节r,逐 步使得等级结构比例尽快达到或者尽量接近 a*,直到某个时刻a(t)达到了满意程度为止.这 个过程我们称为用调入比例对等级结构进行 动态调节. 我们用距离来刻划两点之间的接近程度.
等级结构模型
一.背景
在社会系统中常常按照人们的职务或者 地位划分为许多等级，如在我们大学 , 教师 一般分为教授、副教授、讲师和助教 ,又如学 生身份的人分为研究生、大学生、中学生和 小学生 , 在其他系统内也都有相应的级别分 类 . 不同等级的人员比例形成一个等级结构 . 一个合适的、稳定的等级结构有利于各方面 工作的顺利进行 .本节我们就来建立一个模型 来描述等级结构的变化 , 根据已知条件和当 前的结构来预报未来结构 , 并为寻求某个理 想的等级结构提供相应的策略 .