广西南宁市第三中学2019届高三数学10月月考试题理

南宁三中2018～2019学年度上学期高三月考（三）
理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R| }，则图中阴影部分所表示的集合为x ≥3( )
A ． {0,1,2}
B ． {0,1}
C ． {1,2}
D ． {1}
2．复数满足，则（ ） z z (1+2i )=3+i z =
A ．
B ．
C ．
D ．
1
5+i 1-i 1
5-i 1+i 3．下列各式中的值为的是（ ） A ． B ． 2sin 215°-1cos 215°-sin 215°
C ．
D ．
2sin15°cos15°sin 215°+cos 215°4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，，则( ) 1
2BC +1
2BA =BP
A ．
B ．
C ．
D ．
PA +PB =0PC +PA =0PB +PC =0PA +PB +PC =05. 已知为实数，“”是“”的 a 1a >23a a <
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知某一随机变量X 的分布列如下,且E(X)=6.3,则a 的值为( ) A ． 5 B ． 6 C ．8 D ． 7 7．函数的部分图象大致是图中的（ ）．
f (x )=cos x ln x 2
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知，则下列关系正确的是（ ）
x =log 25,y =log 53,z =5-1
2
A ．
B ．
C ．
D ．
z <y <x z <x <y x <y <z y <z <x 9．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外 P -ABC △ABC PA =PB =PC =2PA ⊥PB P -ABC 接球的表面积为 A ． B ． C ． D ． 3π12π2π
10．已知函数的图象上存在点.函数的图象上存在点，且y =a +2ln x(x ∈[1
2,e])P y =―x 2―2Q P,Q 关于原点对称，则的取值范围是（ ）
a A ． B ． C ． D ．
[3,e 2][e 2,+∞)[2ln2+9
2,e 2][3,2ln2+9
2]11．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全
等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组 成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的 概率是( ) A ． B ． 3
16
C ．
D ．
12．已知双曲线的离心率为2，，分别是x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)F 1F 2双曲线的
左、右焦点，点
，，点为线段上的动点，若取得最小值和最大值时，M (-a ,0)N (0,b )P MN PF 1⋅PF 2△PF 1F 2的
面积分别为，，则( ) S 1S 2S 1
S 2=
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若实数满足，则的最大值为__________．
x ,y {x ≤3
x +y ≥2y ≤x
2x +y 14．若的展开式式中含的项为__________.
(2x -2x )5x 3
15．直线l 与抛物线相交于A 、B 两点且AB 的中点为M （1、1），则l 的方程为________. x 2=8y 16．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，则
(a ―2b)cosC =c(2cosB ―cosA)角A 的取值范围是________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题12分） 设正项等比数列的前项和为，且满足，. {a n }n S n S 2=2a 2+2a 3a 5=4（Ⅰ）求数列的通项公式；
{a n }（Ⅱ）设数列，求的前
项和. b n =log 2a n {|b n |}n T n
18. （本小题12分） 如图，平面平面，其中为矩形，为梯形，，，ABCD ⊥ADEF ABCD ADEF AF //DE AF ⊥FE .
AF
=AD =2DE =2（Ⅰ）求证：平面；
EF ⊥BAF （Ⅱ）若二面角的平面角的余弦值为，求的长. A -BF -D 2
4AB
19. （本小题12分） 质检部门从某超市销售的甲、乙两公司生产的糖果中分别各随机抽取100颗糖果检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：
(I)求出频率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两个公司各抽取的100颗糖果的质量指标方差
a 分别为，试比较的大小（只要求写出答案）； S 21,S 22S 21,S 2
2(Ⅱ)用样本情况估计甲乙另个公司的产品情况，估计在甲、乙两个公司的糖果中各随机抽取1颗，
恰有一颗的质量指标大于20，且另一颗糖果的质量指标不大于20的概率；
(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为，乙公司生产的糖果质量指标值服从正态分布.其中
Z N (μ,δ2)μ近似为样本平均数，近似为样本方差，
设表示从乙公司生产的糖果中随机抽取10颗，x δ2S 22X 其品质指标值位于（14.55， 38.45)的颗数，求的数学期望.
X 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得：
S 2=142.75≈11.95②若，则，.
Z -N (μ,δ2)P (μ-δ<Z <μ+δ)=0.6826P (μ-2δ<Z <μ+2δ)=0.954420.（本小题12分）
已知椭圆的离心率为，左右端点为,其中的横坐标为2. 过点
x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)A 1,A 2A 2的直线交椭圆于两点,在的左侧，且，点关于轴的对称点为，B (4,0)P ,Q P Q P ,Q 不与A 1,A 2重合Q x R 射线与交于点. A 1R PA 2M （1）求椭圆的方程；
（2）求证: 点在直线上. M x =4
21.（本小题12分） 设是在点处的切线． y =f (x )g (x )=e x (0,1)（1）求证： ；
f (x )≤
g (x )（2）设，其中．若对恒成立，求的取值 ℎ(x )=g (x )+ln [f (x )]-ax a ∈R ℎ(x )≥1x ∈[0,+∞)a 范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计
分。

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）
已知直线的参数方程为（为参数），在平面直角坐标系中，以为极点，
{
x =10
2+t cos α
y =t sin α
xOy O 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为. x M ρ2(1+sin 2θ)=1（1）求曲线的直角坐标方程；
M （2）若直线与曲线只有一个公共点，求倾斜角的值. M α
23. [选修4—5：不等式选讲]（本小题10分） 已知，且，证明： a >0,b >0a 2+b 2=1（1）； 4a 2+b 2≥9a 2b 2（2）. (a 3+b 3)2
<1
南宁三中2018～2019学年度上学期高三月考（三）理科数学参考答案
一、单选题
1.C 【解析】由题意得，图中阴影部分所表示的集合为. ()
U A B ⋂ð ∵ ∴
{}|3B x R x ∈≥＝{}|3U B x R x ∈<＝ð ∴ ()
{}{}{}1,2,3,4,5|31
2U A B x R x ⋂=⋂∈<=，ð2.D 【解析】，，所以
∵z (1+2i )=3+i ∴z =3+i
1+2i =(3+i )(1―2i )
(1+2i )(1―2i )=5―5i
5=1―i z =1+i 3.C 【解析】由二倍角公式得到= ;
2sin 2150―1―cos300=―3
2 由二倍角公式得到 ; cos 2150―sin 2150=cos300=3
由二倍角公式得到; =1. 2sin150cos150=1
2sin 2150+cos 21504. B 【解
析】
2,-20,--0BC BA BP BC BA BP BC BP BA BP PC PA +=+=+=+= 移项得5.C 【解析】
231a a a <⇔<6. D 【解析】 根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4. 因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7. 7. B 【解析】
由题意，函数为偶函数，∴函数的图象关于轴
f(x)=cos x ln x 2y 对称，故可以排除，答案．
C D 又 ∵函数在区间上为增函数，排除B ，故选．
f(x)=cos x ln x 2(0,1)A 8.A 【解析】∵，，， x =1og 25>1y =log 53<1z =5―
1
2=
1
5
<1
2 因为，即，∴，故选A.
log 53>log 55>1
2y >z z <y <x 9.B 【解析】 三棱锥中，为等边三角形，
∵P ―ABC ΔABC ，
PA =PB =PC =2 ，， ∴ΔPAB≅ΔPAC≅ΔPBC ∵PA ⊥PB,∴PA ⊥PC,PB ⊥PC 以为过同一顶点的三条棱，作长方体如图， PA,PB,PC 则长方体的外接球也是三棱锥外接球，
P ―ABC 长方体的对角线为，球直径为，半径为，
∵23∴23R =3 因此，三棱锥外接球的表面积是，故选B.
P ―ABC 4πR 2=4π×(3)2
=12π10. A 【解析】由题知有解，令，，故函数在a =x 2―2ln x +2f(x)=x 2―2ln x +2f '(x)=2x ―2
x 递减，在递增，所以，解得. [1
2,1][1,e]f(1)≤a ≤f(e)a ∈[3,e 2]11.D 【
解析】设AB=4,则OG=GH=FD=HI=IE=,DE=2,所以
2
S OGHI =2×2=2,S FIED =2×1= 2,所以点取自阴影部分的概率是p =2+24×4=1
412.A 【解析】由已知得，，故线段所在直线的方程为， e =c
a =2c =2a
b =3a MN y =3(x +a) 又点在线段上，可设，其中，
P MN P(m,3(m +a))m ∈[―a,0]X
4 a
9
P
0.5
0.1
b
时，124a)4a 4 取得最小值，此时，当时，取得
PF 1⋅PF 2S 1=1
2×2c ×3(―3a
4+a)=3
4ac m =0PF 1⋅PF 2 最大值，此时，所以．.
S 2=1
2×2c ×3a =
3ac S 1S 2
=1
4
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13. 9【解析】详解：画出可行域如图所示， ，可知当目标函数经 过点时取最大值，最大值为 A (3,3)2×3+3=9.14.【解析】的展开式中通项公式为
―160x 3
(
2x ―2x )
5
， T r +1=
C r 5⋅(2x )5―r ⋅(―2x
)
r =(―1)r ⋅25⋅C r 5⋅x 5―2r
令时，展开式中含的项为.
r =1x 3(―1)1⋅25⋅C 15⋅x 3=―160x 3
15..【解析】设、则
x ―4y +3=0A (x 1，y 1)B (x 2，y 2){x 12=8y 1
x 22=8y 2
相减可得：有
(x 1+x 2)(x 1―x 2)=8(y 1―y 2)y 1―y 2x 1―x 2=x 1+x 2
8中点为故
∵AB M (1，1)∴x 1+x 2=2y 1―y 2
x 1―x 2=
x 1+x 2
8
=2
8=1
4的方程为：即故答案为 ∴L y ―1=
14(x
―1)x ―4y +3=0x ―4y +3=016. 【解析】由已知及正弦定理得
(
0，π
6
]
sinAcosC ―2sinBcosC =2sinCcosB ―sinCcosA , ∴sin B ＝2sin 即sinAcosC +sinCcosA =2(sinBcosC +sinCcosB)sin (A +C)=2sin (B +C)A ，
∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝＝＝≥＝，当且仅当c ＝a
b 2＋
c 2－a 22bc 4a 2＋c 2－a 24ac 3a 2＋c 24ac 23ac 4ac
3
23时取等号，∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴0<A ≤，则角A 的取值
π
6
范围是.
(
0，π
6
]
三、解答题 17．【解析】（Ⅰ） 设正项等比数列的公比为，则且
{a n }q q >0q ≠1 由已知有，即故
S 2=2a 3+2a 22a 3+a 2―a 1=02a 1q 2+a 1q ―a 1=0∴2q 2+q ―1=0或（舍） q =1
2q =―1∴a n =a 5×q n ―5=
(12
)
n ―7
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 故当时，
b n =7―n n ≤7b n ≥0 当时，
∴n ≤7T n =b 1+b 2+⋯+b n =n(b 1+b n )
2
=―n 22
+13n 2 当时， n >7T n =b 1+b 2+⋯+b 7―(b 8+b 9+⋯b n )
=2(b 1+b 2+⋯+b 7)―(b 1+b 2+⋯+b n )=n 2
2
―
13n 2
+42 .
∴T n =
{
―n 22+13n
2,n ≤7
n 22―13n 2+42,n >7
18．【解析】(Ⅰ)平面平面,且为矩形，
∵ABCD ⊥ADEF ABCD 平面，又平面, ，又且
∴BA ⊥ADEF EF ⊂ADEF ∴BA ⊥EF AF ⊥EF AF ∩BA =A
平面. ∴EF ⊥BAF
(Ⅱ)设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FE 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系．
F ―xyz 则F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(0，，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，所以＝ 33DF (1，－，0)，＝(2，0，－x)．因为EF⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取
3BF ＝(0，1，0)． 设＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的法向量，
n 1n 2则所以，可取＝(，1，)．
{ 2x 1―z 1x =0,
x 1―3y 1
=0,
n 2323x 因为cos<，>＝，得x ＝，所以AB ＝．
n 1n 2n ⋅n 122
43319.【解析】
(1) ；
a =0.015,S 21>S 2
2(Ⅱ)设事件：在甲公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20， A 事件：在乙公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，
B 事件：在甲、乙公司产品中随机抽各取1颗，恰有一颗糖果的质量指标大于20，且另一个
C 不大于20，则，， P(A)=0.20+0.10=0.3P(B)=0.10+0.20=0.3 ；
∴P(C)=P(A)P(B)+P(A)P(B )=0.42（Ⅲ）计算得: ，由条件得
x =26.5Z~N(26.5,142.75) 从而 ，
P(26.5―11.95<Z <26.5+11.95)=0.6826从乙公司产品中随机抽取10颗，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是 ∴0.6826，
依题意得，. X~B(10,0.6826)∴EX =10×0.6826=6.82620.【解析】
（1）因为离心率为，所以
c
a =1
2, 因为的横坐标为2，所以
A 2a =2∴c =1,b =a 2―c 2=3, 因此椭圆的方程为；
x 2
4
+
y 23
=1（2）设
P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),R(x 2,―y 2) 由与联立，得 3x 2+4y 2=12x =my +4(3m 2+4)y 2+24my +36=0 所以
y 1+y 2=―24m
3m 2+4,y 1y 2=36
3m 2+4 直线:，直线:， A 1R y =―y 2
x 2+2(x +2)A 2P y =y 1
x 1―2(x ―2) 联立解出
x =6y 1―2y 2
my 1y 2+3y 1+y 2=4―6(y 1+y 2)+4my 1y 2my 1y 2+3y 1+y 2
=421【解析】 （1）设
，则
，所以
．所以
．
令．
满足，且
．
当时， ，故单调递减； 当时，
，故单调递增．
所以，
）．所以
．
（2）法一：的定义域是
，且．
① 当时，由（Ⅰ）得
，
所以 ．
所以
在区间上单调递增， 所以
恒成立，符合题意． ② 当时，由，且的导数，
所以 在区间
上单调递增．
因为 ， ，
于是存在，使得
．
所以 在区间
上单调递减，在区间上单调递增，
所以
，此时
不会恒成立，不符合题意．
综上， 的取值范围是
．
法二：∵
e x +ln (x +1)―ax ≥1在x ≥0上恒成立∴
e x +ln (x +1)―1≥ax 当
x =0时，0≥a ×0恒成立，a ∈R 当 x >0时，a ≤e x +ln (x +1)―1
令= t(x)=e x +ln (x +1)―1x ,t '
(x)xe x +x
x +1―e x ―ln (x +1)+1x 2
令,
h(x)=xe x +x
x +1―e x ―ln (x +1)+1ℎ'(x )=x (
e x
―1
(x +1)2)
>0
∴h(x)>ℎ(0)=0,则t '(x )>0，进而t (x)在(0，+∞)递增故,故，
lim x→0
e x +ln (x +1)―1
x =lim
x→0
e x +1
x +1
1
=2a ≤2综上。

，a ≤222.【解析】
（1）∵， ρ2(1+sin 2θ)=ρ2+(ρsinθ)2=1 ∴，即， x 2+y 2+y 2=1x 2+2y 2=1 此即为曲线的直角坐标方程.
M （2）将代入得，
{
x =10
2+tcosαy =tsinα
x 2+2y 2=110
4+10tcosα+t 2cos 2α+2t 2sin 2α=1 ∴， ∵直线与曲线只有一个公共点，
t 2(1+sin 2α)+10tcosα+3
2=0M ∴，即，
Δ=(10cosα)2
―4×3
2×(1+sin 2α)=0sin 2α=1
4 ，又，∴或. sinα=±12α∈[0,π)α=π65π
623【解析】
（1）∵,
a 2+
b 2=1 ∴ , 4a 2+b 2=(4a 2+b 2)(a 2+b 2)=4a 4+b 4+5a 2b 2≥4a 2b 2+5a 2b 2=9a 2b 2 当且仅当时，取得等号. b 2=2a 2（2）因为，且
a >0,
b >0a 2+b 2=1 所以，所以，
a,b ∈(0,1)a 3<a 2,b 3<b 2,a 3+b 3<a 2+b 2 所以. (a 3+b 3)2<(a 2+b 2)2
=1。