一类模糊分数阶微分方程周期边值问题解的唯一性
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｗａ ｎ ｇ ｙ ｕ ｐ ｉ ｎ ８ ２ ５ ２ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ
・
３５ ・
滨 州学 院学 报
第 ３ ２卷
在Ｅ 中引进 距离 ｄ： Ｅ ×Ｅ 一［ ０ ， ＋ｏ ｏ ） 如 下 ｄ （ ｕ ， ） 一ｓ ｕ ｐ ｄ Ｈ （ ［ ］ ， ［ ］ ） ，
０ 引 言
近年来 ， 模 糊微分 方 程成 为微 分 方 程领 域 的一 个 重 要 分 支［ １ ］ 。随 着模 糊 分 数 阶微 分 方 程 概念 的提
三 、
出嘲 ， 对模糊 分 数 阶微 分方 程 的求 解 以 及 解 的 性 质 研 究 吸 引 了众 多 学 者 的广 泛 关 注 。２ ０ １ ６年 ， 文 献
ＴＪ
ｏ
来自百度文库
Ｈ
ａ
摘 要 ： 研 究 了一 类模糊 分数 阶微 分 方程周 期 边值 问题 解的存 在唯 一性 ， 应 用不动 点方 法得 滨 了该 类 问题 两 类解存在 唯 一 的若干 充分 条件 ， 推 广和 改进 了已有 文献 中的部分 结果 ， 并举例 说 州到 Ｂ
学 明 了部分 结果 。
口 ｔ ｔ ｏ ； ］ 。一 一 一 一
其中， 一为非 空紧 凸集上 的 Ｈａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ ｆ 度量 ， ［ ］ 。 为 “的 ａ 一 水平 集 ， ａ ∈（ ０ ， １ ］ 。 则（ Ｅ ， ） 为完 备 的度量 空
间， 且有 如下 性质 ：
（ｉ ） ｄ （ ④ｚ， ④ｚ ） 一ｄ （ ｕ ， ） ； （ ｉ ｉ ） ｄ （ ２ ｕ ， ） 一Ｉ ｌ ｄ （ ｕ ， ） ， ＥＲ；
学 ｂ 院 ｕ
报
｛ ２
关键 词 ： 模 糊微 分 方程 ； 周 期 边 值 问题 ； 广 义 Ｈ 导数 ； Ｂａ ｎ ａ ｃ ｈ压 缩 映 像 原 理
中 图分 类 号 ： ０ １ ７ ５ ． ７
文献标识码 ： Ａ
Ｄ ０Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ４ ８ ６ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． １ ６ ７ ３ — ２ ６ １ ８ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ６ ． ０ ０ ７
Ｅ ５ Ｊ 利 用上 下解 方法 结合 单调 迭代 技术研 究 了如 下 的一 阶模 糊微 分 方程边 值 问题 ：
（ ） 一 （ ， ｚ ￡ （ ） ） ， “ （ ０ ） 一 （ Ｔ） ，
其 中 为参数 。然 而 ， 关 于模 糊 分数 阶微 分方程 边值 问题 的工 作 目前 仍然 鲜有 涉及 。受文 献 Ｅ ５ ］ 和Ｅ ８ ］ 的
第 ３ ２卷第 ６ 期
Ｖｏ １ ． ３ ２ ， Ｎｏ ． ６
２ ０ １ ６年 １ ２月
Ｄｅ ｃ ．， ２ ０１ ６
【 微 分 方 程 与 动 力 系统 研 究 】
一
类 模 糊 分 数 阶 微 分 方 程 周 期 边 值 问题 解 的 唯 一 性
王玉品 ， 孙 书 荣
（ 济南 大学 数学 科学 学 院 ， 山东 济南 ２ ５ ０ ０ ２ ２ ）
启发 ， 本文 考虑 如下模 糊 分数 阶微 分方程 周期 边值 问题 ：
Ｃ Ｄ （ ￡ ） 一－ 厂 （ ￡ ， （ ￡ ） ） ， Ｏ ＜￡ ＜ Ｔ，
（ ０ ） 一 （ Ｔ） ，
（ １ ）
（ ２ ）
其 中， Ｃ Ｄ 是 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ分数 阶广 义 Ｈ 导数 ， Ｏ ＜ｇ ≤１ ， 厂： ［ Ｏ ， Ｔ ３ Ｘ Ｅ 一Ｅ ＼ Ｒ是 连 续 的模 糊数 值 函数 以及 参 数 ∈［ ｏ ， １ ） Ｕ（ １ ， ＋ｒ Ⅺ） 。显 然 ， 边 值 问题 （ １ ） ， （ ２ ） 是文 献 Ｅ ｓ － Ｉ 的推广 。
ｌ 预 备 知 识
首 先列举 一 些必要 的符号 和有 关结论 ， 更 多细 节可 参见 文献 ［ ２— ３ ］ 等。
设Ｅ 为 正规 模糊数 空 间 ， 即满 足 ： （ｉ ） 是 正规 的 ， 即 ｚ 。 Ｅ Ｒ使 得 ｕ （ ｘ 。 ） 一１ ； （Ｉ ｉ ） “在 Ｒ上 是 上半 连续 的 ； （ ｉ ｉ ｉ ） Ｅ ｕ ］ 。 一ｓ ｕ ｐ ｐ 一ｃ ｌ ｛ ｚ Ｅ Ｒ （ ｌ ｚ ） ＞Ｏ ｝ 是紧的； （ ｉ ｖ ） “是 凸 模糊 的 ， 即 对 任 意 的 ∈［ ０ ， １ ］ 和 ，
（ ｉ ｉ ｉ ） ｄ（ “ ④ ｚ， ０ ） ≤ｄ （ ｕ ， ） ＋ （ ， ） ；
（ ｉ Ｖ ） （ “ ， ） 一Ｉ — ｌ ｄ （ ｕ ， ０ ） ２ ， ≥ ０ ；
（ Ｖ） 如果 “ ｏ 和 ｖ Ｑ ｙ存 在 ， 则 （ “ ｏ ｚ， ｅ ） ≤ｄ （ ｕ ， ） ＋ （ ， ） 。 记 ［ ｎ ， ６ ］ 和Ｌ ［ ｎ， ６ ］ 分 别为 定义 在 区 间 ［ ｎ， ６ ］ 上 的连续 模 糊 数值 函数 全体 和 可测 模 糊 数值 函数 全 体 。若考 虑度 量 Ｄ（ “ ， ） ： 一 （ （ ￡ ） ， （ ￡ ） ） ， Ｎ（ ｃ ｎ ， ６ ］ ， Ｄ） 也是 一个 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间。
ＹＥ Ｒ 有
“ （ ａ ｘ １ ＋（ １ 一 ） ｚ ２ ） ≥ｒ ａｉ ｎ ｛ ｕ（ ｘ１ ） ， （ ｚ ２ ） ｝ 。
定义 １
设 ， ｖ ｆ Ｅ 。如果 存在 唯一 的 ｗＥ Ｅ 使得 ｏ Ｗ－ ￣ ． － Ｕ ， 则 称 Ｗ 是 和 的 Ｈ 差 ， 记 作ｕ Ｏ 。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６一Ｏ ｇ一２ ２
基金项 目 ： 国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ ６ １ ３ ７ ４ ０ ７ ４ ） ， 山东 省 自然 科 学基 金 资 助 项 目（ Ｚ Ｒ２ ０ １ ３ ＡＬ ０ ０ ３ ） 第一作者简介 ： 王玉品（ １ ９ ８ ９ 一） ， 男， 山东济南人 ， 硕士 ， 从事微分方程理论及应用研究 。
・
３５ ・
滨 州学 院学 报
第 ３ ２卷
在Ｅ 中引进 距离 ｄ： Ｅ ×Ｅ 一［ ０ ， ＋ｏ ｏ ） 如 下 ｄ （ ｕ ， ） 一ｓ ｕ ｐ ｄ Ｈ （ ［ ］ ， ［ ］ ） ，
０ 引 言
近年来 ， 模 糊微分 方 程成 为微 分 方 程领 域 的一 个 重 要 分 支［ １ ］ 。随 着模 糊 分 数 阶微 分 方 程 概念 的提
三 、
出嘲 ， 对模糊 分 数 阶微 分方 程 的求 解 以 及 解 的 性 质 研 究 吸 引 了众 多 学 者 的广 泛 关 注 。２ ０ １ ６年 ， 文 献
ＴＪ
ｏ
来自百度文库
Ｈ
ａ
摘 要 ： 研 究 了一 类模糊 分数 阶微 分 方程周 期 边值 问题 解的存 在唯 一性 ， 应 用不动 点方 法得 滨 了该 类 问题 两 类解存在 唯 一 的若干 充分 条件 ， 推 广和 改进 了已有 文献 中的部分 结果 ， 并举例 说 州到 Ｂ
学 明 了部分 结果 。
口 ｔ ｔ ｏ ； ］ 。一 一 一 一
其中， 一为非 空紧 凸集上 的 Ｈａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ ｆ 度量 ， ［ ］ 。 为 “的 ａ 一 水平 集 ， ａ ∈（ ０ ， １ ］ 。 则（ Ｅ ， ） 为完 备 的度量 空
间， 且有 如下 性质 ：
（ｉ ） ｄ （ ④ｚ， ④ｚ ） 一ｄ （ ｕ ， ） ； （ ｉ ｉ ） ｄ （ ２ ｕ ， ） 一Ｉ ｌ ｄ （ ｕ ， ） ， ＥＲ；
学 ｂ 院 ｕ
报
｛ ２
关键 词 ： 模 糊微 分 方程 ； 周 期 边 值 问题 ； 广 义 Ｈ 导数 ； Ｂａ ｎ ａ ｃ ｈ压 缩 映 像 原 理
中 图分 类 号 ： ０ １ ７ ５ ． ７
文献标识码 ： Ａ
Ｄ ０Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ４ ８ ６ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． １ ６ ７ ３ — ２ ６ １ ８ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ６ ． ０ ０ ７
Ｅ ５ Ｊ 利 用上 下解 方法 结合 单调 迭代 技术研 究 了如 下 的一 阶模 糊微 分 方程边 值 问题 ：
（ ） 一 （ ， ｚ ￡ （ ） ） ， “ （ ０ ） 一 （ Ｔ） ，
其 中 为参数 。然 而 ， 关 于模 糊 分数 阶微 分方程 边值 问题 的工 作 目前 仍然 鲜有 涉及 。受文 献 Ｅ ５ ］ 和Ｅ ８ ］ 的
第 ３ ２卷第 ６ 期
Ｖｏ １ ． ３ ２ ， Ｎｏ ． ６
２ ０ １ ６年 １ ２月
Ｄｅ ｃ ．， ２ ０１ ６
【 微 分 方 程 与 动 力 系统 研 究 】
一
类 模 糊 分 数 阶 微 分 方 程 周 期 边 值 问题 解 的 唯 一 性
王玉品 ， 孙 书 荣
（ 济南 大学 数学 科学 学 院 ， 山东 济南 ２ ５ ０ ０ ２ ２ ）
启发 ， 本文 考虑 如下模 糊 分数 阶微 分方程 周期 边值 问题 ：
Ｃ Ｄ （ ￡ ） 一－ 厂 （ ￡ ， （ ￡ ） ） ， Ｏ ＜￡ ＜ Ｔ，
（ ０ ） 一 （ Ｔ） ，
（ １ ）
（ ２ ）
其 中， Ｃ Ｄ 是 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ分数 阶广 义 Ｈ 导数 ， Ｏ ＜ｇ ≤１ ， 厂： ［ Ｏ ， Ｔ ３ Ｘ Ｅ 一Ｅ ＼ Ｒ是 连 续 的模 糊数 值 函数 以及 参 数 ∈［ ｏ ， １ ） Ｕ（ １ ， ＋ｒ Ⅺ） 。显 然 ， 边 值 问题 （ １ ） ， （ ２ ） 是文 献 Ｅ ｓ － Ｉ 的推广 。
ｌ 预 备 知 识
首 先列举 一 些必要 的符号 和有 关结论 ， 更 多细 节可 参见 文献 ［ ２— ３ ］ 等。
设Ｅ 为 正规 模糊数 空 间 ， 即满 足 ： （ｉ ） 是 正规 的 ， 即 ｚ 。 Ｅ Ｒ使 得 ｕ （ ｘ 。 ） 一１ ； （Ｉ ｉ ） “在 Ｒ上 是 上半 连续 的 ； （ ｉ ｉ ｉ ） Ｅ ｕ ］ 。 一ｓ ｕ ｐ ｐ 一ｃ ｌ ｛ ｚ Ｅ Ｒ （ ｌ ｚ ） ＞Ｏ ｝ 是紧的； （ ｉ ｖ ） “是 凸 模糊 的 ， 即 对 任 意 的 ∈［ ０ ， １ ］ 和 ，
（ ｉ ｉ ｉ ） ｄ（ “ ④ ｚ， ０ ） ≤ｄ （ ｕ ， ） ＋ （ ， ） ；
（ ｉ Ｖ ） （ “ ， ） 一Ｉ — ｌ ｄ （ ｕ ， ０ ） ２ ， ≥ ０ ；
（ Ｖ） 如果 “ ｏ 和 ｖ Ｑ ｙ存 在 ， 则 （ “ ｏ ｚ， ｅ ） ≤ｄ （ ｕ ， ） ＋ （ ， ） 。 记 ［ ｎ ， ６ ］ 和Ｌ ［ ｎ， ６ ］ 分 别为 定义 在 区 间 ［ ｎ， ６ ］ 上 的连续 模 糊 数值 函数 全体 和 可测 模 糊 数值 函数 全 体 。若考 虑度 量 Ｄ（ “ ， ） ： 一 （ （ ￡ ） ， （ ￡ ） ） ， Ｎ（ ｃ ｎ ， ６ ］ ， Ｄ） 也是 一个 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间。
ＹＥ Ｒ 有
“ （ ａ ｘ １ ＋（ １ 一 ） ｚ ２ ） ≥ｒ ａｉ ｎ ｛ ｕ（ ｘ１ ） ， （ ｚ ２ ） ｝ 。
定义 １
设 ， ｖ ｆ Ｅ 。如果 存在 唯一 的 ｗＥ Ｅ 使得 ｏ Ｗ－ ￣ ． － Ｕ ， 则 称 Ｗ 是 和 的 Ｈ 差 ， 记 作ｕ Ｏ 。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６一Ｏ ｇ一２ ２
基金项 目 ： 国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ ６ １ ３ ７ ４ ０ ７ ４ ） ， 山东 省 自然 科 学基 金 资 助 项 目（ Ｚ Ｒ２ ０ １ ３ ＡＬ ０ ０ ３ ） 第一作者简介 ： 王玉品（ １ ９ ８ ９ 一） ， 男， 山东济南人 ， 硕士 ， 从事微分方程理论及应用研究 。