数学本科毕业论文傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用

本科生毕业论文
（申请学士学位）
论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用作者姓名刘军
专业名称数学与应用数学
指导教师许志才/ 张玲
2014年6月
学生：（签字）学号：2012220146
论文答辩日期：2014年x月xx日
指导教师：（签字）
目录
摘要： 0
关键词 0
Abstract 0
1绪论 (1)
2傅里叶级数的概念 (1)
2.1周期函数 (2)
2.2傅里叶级数的定义 (2)
3 傅里叶变换的概念及性质 (10)
3.1傅里叶变换的概念 (10)
3.2傅立叶变换的性质 (11)
4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12)
5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (12)
5.1傅里叶级数的应用 (12)
5.2傅里叶变换的应用 (13)
参考文献 (14)
傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用
摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。

除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。

在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。

傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。

关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性
Fourier series And Fourier Transforms
Abstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.
Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform
as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications.
Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.
Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic
1绪论
傅里叶级数是法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的，从而极大的推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

积分变换起源于19世纪的运算危机，英国著名的无线电工程师海维赛德（O .Heaviside ）在用它求解电工学、物理学领域中的线性微分方程的过程中逐步形成一种所谓的符号法，后来符号法又演变成今天的积分变化法。

所谓积分变换，就是把某函数类A 中的函数()f x 乘上一个确定的二元函数(,)k x s ，然后计算积分，即
()()(,)b
a
F s f x k x s dx =⎰
这样变成了另一个函数类B 中的函数()F s ，这里的二元函数(,)k x s 是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核，()f x 称为象原函数，()F s 称为()f x 的象函数，当选取不同的积分域和核函数，就得到不同名称的积分变换。

傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。

除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。

要想了解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。

傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。

在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。

傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。

2傅里叶级数的概念
2.1周期函数
我们把凡是满足以下关系式：
)()(x f T x f =+ （T 为常数） （2.1.1）
的函数，都称为周期函数。

周期定义：
（1） 满足式（1.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。

基本三角函数系：按某一规律确定的函数序列称为函数系。

如下形式的函数系：
1，x l π
cos
，x l πsin
，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x l
k πsin ，… （2.1.2）
称为基本三角函数系。

所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x l k πsin 的周期为k
l 2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。

通常这个周期命名为函数系的周期。

所以式（1.1.2）的三角函数系的周期为l 2。

2.2傅里叶级数的定义
傅里叶级数是一类特殊的函数项级数，对周期性现象进行数学上的分析，其在理论和应用上都
有重要价值。

2.2.1 三角级数、三角函数及其正交性
在物理学中，我们知道，简谐振动是一种简单的周期运动，而在简谐振动中，一种标准而简单的简谐振动可由下面函数描述
sin()n n n y A nx =+∂， （1）
我们不难看出，更一般的简谐振动
sin(wx )y A =+∂，
可通过适当的变换为（1），将无穷多个如（1）式那样的简谐振动叠加，便得到函数项级数
01
sin()n n
n A A nx ∞
=++∂
∑ （2）
如果（2）式收敛到函数,即
01
()sin()n n
n f x A A nx ∞
==+
+∂
∑
（3）
则易见()f x 是周期为2T
t x π
=
的函数，从()f x 的角度看，如果（3）式成立((,)x ∈-∞+∞)，则我们便将更一般或更复杂的周期为2π的函数()f x 分解为简单标准的简谐振动的叠加，这对研究
()f x 的各种性质带来了很大的方便。

于是，我们自然提出以下问题：什么条件下我们可以将一个
周期为2π的函数()f x 表示成如(1)式那样简单，标准的简谐振动的叠加?即什么条件下(3)式成立?更一般地，什么条件下可以将一个周期为T 的函数表示成简谐振动的叠加？设g(t)周期为T ，则只
要令2T
t x π
=,就有 ()(
)()2T
g t g x f x π
== 则()f x 周期为2π，所以我们只要讨论前一个问题就行了。

为了数学推导和理论研究方便，我们将级数(2)作如下变形
01
sin()n n n A A nx ∞
=++∂∑
=01
sin cos cos sin n n
n n n A A nx A nx ∞
=+
∂
+∂∑
令 0
0,sin ,cos ,1,2, (2)
n n n n n n a A A a A b n =∂=∂== 则
01
sin()n n
n A A nx ∞
=+
+∂
∑
=01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑
称级数
01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑ (4)
为三角级数，称级数(4)的部分和
01
(cosk sink )2k k k a a x b x ∞
=++∑ (5)
为三角多项式，后面我们将看到，将常数项记为0
2
a 的形式，是为了使(0,1,2,)n a n =⋅⋅⋅有统一的表达式。

我们通过简单的计算可知，三角函数系
1,cosx,sinx,cos 2x,sin 2x,,cosnx,sinnx,⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (6)
具有以下性质
cos sin 0nxdx nxdx ππ
ππ-
-
==⎰⎰ (7)
cos cos 0()mx nxdx m n π
π-
=≠⎰ (8)
sin sin 0()mx nxdx m n π
π-
=≠⎰ (9)
cos sin 0mx nxdx π
π-
=⎰ (10)
即三角函数系（6）中任何两个不同函数的乘积在[],ππ-上积分为0，我们称这一性质为三角函数系(1)的正交性。

也称(6)为正三角函数系。

从后面的推导我们也看到，三角函数系(6)的正交性在三角级数研究中扮演了重要的角色。

另外，我们还有
222cos sin (1,2,),12nxdx nxdx n dx π
ππ
π
π
π
ππ-
--===⋅⋅⋅=⎰⎰⎰ (11)
2.2.2周期为2π的函数的傅里叶级数
设函数()f x 能够表示成三角级数(4)，即
(
)f x =01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑ (12) 并且(12)式右边级数在(,)-∞+∞上一致收敛，则有如下关系式：
1
()cos n a f x nxdx π
ππ
-
=⎰ , n=0,1,2,… (13a) 1
()sin n b f x nxdx π
ππ
-
=
⎰ , n=0,1,2,… (13b)
证明：由定理条件，对（12）式逐项积分可得：
()f x dx π
π-
⎰
= 0
1
(cos sin ).2
n n n a
dx a nxdx b nxdx π
ππ
πππ∞
-
-
-
=++∑⎰⎰⎰
由关系式
cos sin 0n nxdx b nxdx π
π
ππ-
-
==⎰⎰知，上式右边括号内的积分都等于零，所以
0()22
a f x dx a π
π
ππ-
=
⋅=⎰ 即得
01
()a f x dx
π
ππ
-
=
⎰
现以cos tx 乘（12）式两边（t 为正整数），得
1
()cos cos (cos cos sin cos )2n n n a f x tx tx a nx tx b nx tx ∞
===++∑ （14）
由级数（12）一致收敛，可以推出级数（14）也一致收敛。

现在对级数（14）逐项求积，有
()cos f x txdx π
π-
⎰
=0
1
cos (cos cos sin cos )2
n n n a
txdx a nx txdx b nx txdx πππ
πππ∞
-
-
-
=++∑⎰⎰⎰
由三角函数的正交性，右边除了以t a 为系数的那一项积分2cos txdx π
π
π-
=⎰外，其他各项积分
都等于零，于是得出
()cos (1,2,)t
f x txdx a t π
ππ-
==⋅⋅⋅⎰
即
1
()cos (1,2,)t a f x txdx t π
ππ
-
=
=⋅⋅⋅⎰ 同理，（12）式两边乘以sin tx ，并逐项求积，可得
1
()sin (1,2,)t b f x txdx t π
ππ
-
=
=⋅⋅⋅⎰
一般的说，若f 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积分的函数，则按公式（13）计算出的n a 和n
b 叫做函数f 的傅里叶级数，记作
01
()~cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞
=++∑
这里的“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。

2.2.3周期为l 的函数的傅里叶级数
设f 是以2l 为周期的函数，通过变量置换
x
t l π=
可以把f 变成以2π为周期的t 的函数()()lt
F t f π
=.若f 在[],l l -上可积，则F 在[],ππ-上也可
积，这时函数
F 的傅里叶级数展开式是
()01
()~cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞
=++∑ (1)
其中
1
()cosntdt n a F t π
ππ
-
=
⎰ n=0,1,2… (2) 1
()sinntdt n b F t π
ππ
-
=⎰ n=1,2…
因为x
t l
π=
，所以()()()lt
F t f f x π
==。

于是由（1）与（2）式分别得
01()~cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
∑ (3）
与
1()cos l n l n x a f x dx l l
π-=
⎰ , n=0,1,2 (4)
1()sin
l n l n x
b f x dx l l
π-=⎰ , n=1,2… 这里（4）式是以2l 为周期的函数f 的傅里叶级数，（3）式是f 的傅里叶级数.
2.2.4傅里叶级数的性质
1、 收敛性
定理 傅里叶级数的收敛准则——狄利克雷（Dirichlet ）定理
若 （1）)(x f 在[]l l ,-[]l l ,-上或者连续，或者只有有限个间断点，在间断处函数的左、右极限都存在；
（2）)(x f 在[]l l ,-上只有有限个极大值点与极小值点； （3）)(x f 在[]l l ,-外是周期函数，其周期为2l ，则级数
[]在连续处
在间断处);()0()0(2
1
10{)sin cos (2x f x f x f k k k x l k b x l k a a -++∞==++∑ππ （1） 证明
=)(x S n )sin cos (210x l
k b x l k a a k n
k k π
π++∑=
=ξπξππξπξd x l k l k x l k l k f l l l n k ⎰∑-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++1sin sin cos cos 21)(1
=ξξπξd x l k f l l l n k ⎰∑-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+1)(cos 21)(1 =
ξπξπξξd l
x l x n f l l l
⎰---+2)(sin
2)()
21sin()(1 因为
)(2
sin )21
sin(21lim x x
x n n δπ=+∞→ 及
)(1
)(x a
ax δδ=
所以
[]⎰∑--++∞→∞=⎩⎨⎧=-==++l l x f x f x f n n k k k d x f x S x l k b x l k a a )()0()0(2
110)()()(lim )sin cos (2ξξδξππ 证毕
例：试将锯齿波x x f =)(在区间[]l l ,-上[]l l ,-展开为傅里叶级数。

解：我们要将)(x f 在[]l l ,-之外视作是2l 的周期函数，由傅里叶级数公式可得：
0cos
1≡=⎰-ξξπ
ξd l
k l a l l k （k =0,1,2,…） 及
⎰⎰==
-π
πξξπξk l l k ydy y k l l d l k l b 0
2sin )(2sin 1
=
[]102
)1(2cos sin )
(2+-=-k k k l y y y k l πππ
（k =1,2,3，…） 因此，所求级数为
x l
k k l
x f k k π
πsin )1(2)(11∑∞
=+-= （2）
由于x =0是)(x f 的连续点，所以上式两边可划等号。

事实上，也正是如此，可代入数字验证。

而x =l 是)(x f 间断点，由定义可知
l l f l l f =--=+)0(,)0(
按收敛准则，)(x f 傅里叶级数在间断点处应收敛到
[]0)0()0(2
1
=-++l f l f 事实上，以x =l 代入级数（2），得级数和为零。

必须注意，狄利克雷定理中加在)(x f 上的条件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。

在实际中这些条件通常是满足的，目前还不知道傅里叶级数收敛的必要且充分的条件是什么。

值得注意的是，单从)(x f 的连续性考虑还不能保证傅里叶级数收敛。

2、 积分
定理2 如果)(x f 在区间[]l l ,-上分段连续，其傅里叶级数为
)sin cos
()(1
x l
k b x l k a x f k k k π
π+=∑∞
= 则
F )cos sin ()(21)()(1x l k b x l k a k l dx x xf l dt t f x k k l l k x
l
π
ππ
-+-==
⎰∑⎰
-∞
=- （3）
证明
k k k k k x
l
k b k l
x l k b x l k a k l dt t f ππππ∑⎰
∑∞=-∞
=-+-=1
1)1()cos sin ()( （4）
利用公式（2），得
k l l k k b k l
dx x xf l π2)1()(11
1⎰∑-∞
=+-= （5）
上式代入式（4），即得所证。

如果原级数中00≠a ，只要用⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
2)(0a x f 代替公式（4）中的)(x f 即可。

3微分
定理3 若)(x f 在[]l l ,-上连续，又)('x f 绝对可积，则有
)sin cos (2)(10'
x l
k B x l k A A x f k k k π
π++=∑∞=
}sin cos )1({21x l k a l k x l k c b l k c k k k k ππππ-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++=∑∞= （6） 其中[])()(1
l f l f l
c --=。

利用求系数公式及分部积分，可以证明
c b l k A k k k )1(-+=
π
（k =0,1,2，…） k k a l
k B π
-= （k =1,2,3，…） 如果)1()(-=f l f ，则)('
x f 的傅里叶级数可通过对)(x f 的傅里叶级数进行逐项求导而得，即
)sin cos (
)(1
x l
k a l k x l k b l k x f k k k ππππ-=∑∞
= （7） 微分与积分大不相同，例如考虑下列函数（锯齿波）：
x x f =)( )(l x l <<-
的傅里叶级数为
x l
k k x k k ππsin 1)
1(2
1
1
+∞
=∑-= （9.3.7）
对上式逐项微分得
x l
k k k πcos
)1(211
1∑∞
=+-= 于是得到不收敛的级数 其次，再考虑三角波
x x f =)( )(l x l <<-
它的傅里叶级数
x l k k l
l x k π
π)12(cos )
12(14202
2
++-=∑∞
= 是一个收敛得相当快的级数，且在[]l l ,-上一致收敛。

对上式逐项微分得
x l k k x f k ππ)12(sin )12(14
)(0'
++=
∑∞
= 上式正是方波
{
)0(,1)
0(,1')(l x x l x f <<<<--=
的傅里叶级数。

事实上，三角波得导数正数方波。

从上面的例子可知，与积分相反，微分之后每一个系数前却添加了一个增长因子k ，这就降低了收敛程度。

所以上面第一个例子微分后得一发散级数。

事实上，第一个例子中的级数在[]l l ,-区间上一致收敛。

一般来说，微分使级数的收敛 程度降低。

有时将可以逐项微分的条件表示成如下形式：
（8）
此外，函数的光滑程度可以从该函数的傅里叶级数的系数上反映出来。

一般而言，一个满足狄利克雷条件的周期函数。

其傅里叶级数中的系数
lim lim ==∞
→∞
→k k k k kb ka
k a 和k b 随着k 趋向于无穷大时，他们至少应与k
c
（其中c 为与k 无关的常数）一样快的趋向
于零。

如果函数包含一个或几个间断点，那么不是k a 就是k b ，一般情况是二者都不能比k
c
更快的
趋向于零。

如果函数以及它的前（n -1）阶导数满足狄利克雷条件，而且处处连续，那么随着k 趋向于无穷大，)(x f 的傅里叶级数的系数k a 和k b 至少应与
1
+n k c 一样快趋向于零。

如果)(x f 的n 阶
导数不处处连续，那么不是k a 就是k b ，一般情况是二者都不能比
1
+n k
c 更快地趋向于零。

因此，函数愈光滑，其傅里叶级数的系数收敛得越快，反之，只要考虑某函数的傅里叶级数的系数的收敛快慢程度，就可以判断该函数的光滑程度。

3 傅里叶变换的概念及性质
傅里叶变换是一种对连续时间函数的积分变换，它通过特定形式的积分建立了函数之间的对应关系。

它既能简化计算，又具有明确的物理意义，因而在许多领域被广泛的应用，如电力工程、通信和控制领域以及其他许多数学、物理和工程技术领域。

3.1傅里叶变换的概念
傅里叶（Fourier ）变换，简称傅式变换，像拉普拉斯变换一样，它也是一种化繁为简，变难为易的重要数学运算工具，它的理论与方法在数学的许多分支以及其他自然科学和工程技术领域中，都有着广泛的应用。

若F(t)在(),-∞+∞上满足以下条件：
(1)()F t 在任一有限区间上满足Dirchlet 条件（即在任意有限区间上满足：a 连续或只有有限个第一类间断点；b 只有有限个极值点）；
(2) ()F t 在无限区间(),-∞+∞上绝对可积，那么在()F t 的连续点t 处有 1
()()e 2i i F t F d e d ωτωτττωπ
+∞
+∞--∞
-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰ 由此定义
()()i G F t e
dt ωτ
ω+∞
--∞
=
⎰
（3.1）
称为函数F 的傅里叶变换，记作为
()F ，即
G()()()()i t
F F t e
dt ωωω+∞
--∞
=
=
⎰
1
()()2i t
F t
G e d ωωωπ
+∞
-∞
=
⎰
（3.2） 其中G()ω由(2.1)式定义，公式（2.2）称为G()ω的傅里叶逆变换。

记为
1
()G -，即
1
1
()()()2i t
F t
G G e d ωωωπ
+∞
--∞
=
=
⎰
3.2傅立叶变换的性质
1、共轭性质 设
[]()()f t F x =，()F x 是()F x 的共轭函数，则()F x =()F x -
2、线性性质 设[][]121122,()(),()()a a f t f x f t f x ==为常数，
则[]11221122(t)(t)()a ()a f a f a F x F x +=+
3、位移性质 []00,()(),t f t F ωω=设为实常数，则
[]0
0(()i t
f t t F e ωω±±=
[]0
1
0(()i t
f t t F e ωω-±=
4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系
1、 傅里叶级数是周期变换，傅里叶变换是一种非周期变换
2、 傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开，如果把周期函数的周期取作无穷大，
对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换。

3、 傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正
交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数
4、 傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它不同频率的波形的叠加，
而傅里叶变换就是完全的频域分析
5傅里叶级数和傅里叶变换的应用
5.1傅里叶级数的应用
1、 在数学方面计算无穷级数的和
例如，设周期为2π的某函数)(x f ，其在一个周期上的表达式为
2)(x x f = （)ππ<<-x
由于)(x f 是偶函数，所以它的傅里叶级数只有余弦项
3
21
2
2
0πππ
π==⎰-dx x a
2
20
24)1(2)1(2
cos 2
k
k kxdx x a k k
k -=-=
=
⎰
ππ
π
π
（k =1,2,3，…） 因此，)(x f 的傅里叶级数为
kx k
x k k
cos 1
)1(43
21
2
2
∑∞
=-+=
π （)ππ<<-x 令x =π,且利用k
k )1(cos -=π，所以 ∑
∞
=+=
12
2
2
143
k k
ππ
因此得 612
12π=∑∞
=k k
2、 在物理方面为设计放大器提供依据
例如电路中常常使用矩形波及锯齿波，对于矩形波
⎩
⎨⎧=<<<<--)2
0(;)
02(;00)(T
t E t T
E t f 其傅里叶展开式为
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=
...5sin 513sin 311sin 4)(0t t t E t f ωωωπ 其中系数和
k
1
成正比，因此，随着简谐次数的增高，幅度迅速减小。

一般来说，在10次谐波以后，就认为幅度已经相当小，可以略去不计。

因此在设计矩形波放大器时，要求它的通频带宽带约为矩形脉冲的10倍。

若扫描矩形波频率为60Hz ，则要求放大器的通频带度为600Hz 就可以了。

电视机及示波器常用扫描锯齿波，也可作与上述相同的分析。

5.2傅里叶变换的应用
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声结构力学、海洋学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量
1、 傅里叶变换在求解微分方程中的应用
我们在研究研究线性常系数偏微分方程中，傅里叶变换法是一种特别重要的方法，它的应用范围包括求解无界区域的定解问题，用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤： （1） 对定解问题作傅里叶变换，化偏微分方程为常微分方程 （2）求解像函数
（3）对像函数作傅里叶逆变换，得所求问题的解 例：对于任意x R n
∈，求下面方程的定解问题
()()()u x u x f x -∆+= （1）
其中2()n f L R ∈
解：对方程（1）两边作傅里叶变换，可得：^^
2
(1)()()y u y f y += （2） 显然偏微分方程（1）已经被转换成代数方程（3.2）。

求解方程（2），可得：^
^
2
()()1f y u y y
=
+
经过傅里叶逆变换，可得：^^2()(x)1f y u y ∨
⎛⎫ ⎪= ⎪+⎝⎭
为了使()u x 的表达式比较简单明了，下面来化简上式可得：2
()()
()(2)
n f x B x u x π*=
其中2
1()1B y y
∧
=
+
下面来求解()B x
1
at e dt a
∞
-=
⎰
（其中a.>0） 2
(1)2
011y t
e
dt y
∞
-+∴
=+⎰
2
1()(())()1B x B y y
∧
∨∨
∴==+ 2
2
11(2)1n
tx y n R
e dy
y
π⋅=+⎰
2
2
1()(2)n tx y y
t n R
e e
dt dt π∞
⋅--=
⎰
⎰ 假设,a b R ∈且b>0,令22
1
12a
Z b x i b =-
，则有 2
2
2214a iax bx
z e b
e dx e dz b
-+∞
---∞
Γ=⎰
⎰
其中Γ表示在复平面的等直线，把Γ转化成实轴，则可计算2
2
21z x e dz e
dx π+∞
--Γ
-∞
==⎰
⎰，所以
有
2
2
214()iax bx a
e dx e b b π
+∞
---∞=⎰ 所以2
2
2
40
1
()2x
t t
n
n e
B x dt t --
+∞
=⎰
()n x R ∈
根据卷积原理，则偏微分方程（1）的解为
2
2
2
40
1
()()(4)n
x y t t
n n R
e
u x f y dydt t π---
+∞
=
⎰⎰
()n x R ∈
注：上面求解偏微分方程中用到的化归思想，实际上就是开始时使用傅里叶变换，将偏微分方程的问题转化为常微分方程的问题，解出这个常微分方程的问题的解，然后利用傅里叶逆变换求原问题的解。

2、 周期函数与离散频谱
众所周知，一个谐波函数0()cos()f t A t ωϕ=+，是由振幅A ，相位ϕ和频率0ω三个参数唯一的确定了。

对于周期为T 的周期函数()f t ，它可展成指数形式的傅里叶级数：0()()jn t
f t F n e
ω+∞
-∞
=∑
对上式取傅里叶变换，并考虑()F n 不是时间t 的函数，由此可得：
000()()2()()jn t jn t
n n F F n e e
dt F n n ωωωπδωω+∞+∞
+∞
--∞
=-∞=-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦
∑∑⎰
()F ω是周期函数的傅里叶变换谱，上式表明，周期函数的频谱由无穷多个脉冲组成，这些脉冲位
于频率0n ω处，每个脉冲的脉冲强度为2()F n π
需指出的是，虽然从频谱的图形上，这里的()F ω与()F n 是及其相似的，但两者含义不同。

当对周期函数进行傅立叶变换时，所得到的是频谱密度；而将该函数展成傅里叶级数时，所得到的傅立叶系数，是复指数分量的幅值。

可见，引入了脉冲函数之后，对周期函数和非周期函数可以用相同的观点和方法进行分析运算，这将给信号分析带来了很大的方便。

2
参考文献
[1] 刘元骏. 大学数学基础教程（下册）. 北京：科学出版社2009. [2] 王涛，方刚. 数学分析（下册）. 北京：科学出版社2006.
[3] 林益，刘国钧. 复变函数与积分变换. 武汉：华中科技大学出版社2008. [4] 刘向丽. 复变函数与积分变换.北京：机械工业出版社 2009
致 谢
首先我要衷心的感谢我的导师张玲老师。

张老师拥有渊博的，开阔的思路，她不仅是我的论文指导老师而且还是我的代课老师，课堂上她直至不倦的传授我们新的知识，在她的引导下，我认识了傅里叶级数与傅里叶变换的相关理论，并了解了怎样去写一篇论文，为本篇论文打下了理论基础。

老师不抛弃不放弃每一个学生的教学态度，吃苦耐劳的工作作风，以及乐观开朗的生活态度是我们在以后的工作中值得我们去学习，并激励着我们不断进步。

其次，感谢身边的同学，朋友，老师，相聚是缘，泪痕与汗水，辛酸与甜蜜，浅薄与深沉，都融入这方寸土之地，散落于每个角落，不分彼此，直至永远，感谢一路有你们的陪伴。

最后，感谢母校滁州学院，对于您，我们有过骄傲与自豪，有过苛责与失望，有过颓废和奋进，时间流逝，转眼之间我们就站在了具有选择性的岔路口做出人生中重要的选择，或工作、或考研、或靠编。

就要各奔前程，每个人收获的果实不一样，但母校潜移默化的影响，对母校深深的眷恋，却将同样长久地伴随我们。

欢迎下载，资料仅供参考!!!。