第三讲---双曲线的第二定义

第三讲 双曲线的第二定义
知识梳理
（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e  到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x 
a2 的距离 c
c (e>1) a
定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。 （二）焦点三角形的面积公式。
S
1  r1r2 sin   b 2 tan 2 2
3.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程
x2 y 2   1(a  0.b  0) a 2 b2
b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0  a y
y 2 x2   1(a  0.b  0) a 2 b2
a x b a2 y c y
准线方程
半径公式
r右 =|MF2 |=ex 0  a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0  a
典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线
x2 y 2   1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12
x2 y 2   1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3
练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x  2 y  0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y  
16 13 ，求双曲线的标准方程。 13
3 x 2
1

所以双曲线方程为
x2 y 2    （   0 ）在分   0 时   4 和   0 时。 。 。 4 9
题型二：双曲线第二定义及其运用 例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。求动点的轨迹方程。
练习：已知双曲线
x2 y 2   1(a  0, b  0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2
距离为 d ，若 y  3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。
题型三：离心率的计算
x2 y2 例 3.若双曲线 2  2  1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是 a b
（A）3 （B）5 （C） 3 （D） 5
练习： （ 2007 ，湖南）若双曲线
x2 y 2   1(a  0, b  0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,P 是准线上一点，且 a 2 b2
DF1  PF2 , | PF1 | | PF2 | 4ab ，则该双曲线的离心率为_____________
例 4.（2008 湖南）双曲线
x2 a2

y2  1(a  0, b  0) 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相 b2
) D． [ 2  1, )
2
等，则双曲线离心率的取值范围是( 1、 (1, 2]
B． [ 2, ) C． (1, 2  1]

题型四：双曲线焦点三角形面积问题 例 5.已知双曲线 x 
2
y2  1 的左右焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 F1MF2  120。 ，求 S F1MF2 . 2
   x2 y 2   1 的左右焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 MF1  MF 2  0, 求 S F1MF2 . 练习：已知双曲线 9 16
题型五：最值问题
y2 1  1 上求一点 P 使得 | PA |  | PF | 的最小值。 例 6.已知点 A(3,2),F(2,0)在双曲线 x  2 3
2
练 习 ： 已 知 点 A(9,2), 双 曲 线 16 x  9 y  144 的 右 焦 点 为 F ， P 为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 则
2 2
| PA |  | PF | 的最值为。
课后习题 1.已知双曲线
x2 3  y 2  1 (a  0) 的一条准线为 x  ，则该双曲线的离心率为 2 2 a
（B）
（1）
3 2
3 2
（C）
6 2
（D）
2 3 3
3

（1）已知双曲线
x2  y 2  1 (a  0) 的一条渐进线与直线 2 x  y  3  0 垂直。则该双曲线的标准方程是 2 a
___________________. （2）若双曲线 2 x2  y 2  k (k  0) 的焦点到它相应的准线的距离是 2，则 k 等于____________
（3）与椭圆
x2 y 2 10   1 共焦点。两准线间的距离为 的双曲线的方程为______________ 3 16 25
（4）已知双曲线
x2 y2 － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点 A，△OAF 的 a2 b2
（ D．90º ）
面积为
a2 （O 为原点） ，则两条渐近线的夹角为 2
B．45º C．60º
A．30º （5）设双曲线
x2 y 2   1(a  0, b  0) 的右焦点为 F ，右准线 l 与两条渐近线交于 P 、 Q 两点，如果 a 2 b2
PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 e  ___________ .
（6）过双曲线 C :
x2 y 2   1(a  0, b  0) 的右焦点 F 作双曲线的斜率为正的渐进线的的垂线 l，垂足为 a 2 b2
P，设 l 与双曲线的左右两支均相交， （1）证明 P 在双曲线 C 的右准线上： （2）求 C 的离心率 e 的取值范围。
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