正定二次型的判别方法

正定二次型的判别方法

什么是正定二次型？

正定二次型指的是二次型 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}

\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中对于 $x = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$，当 $x$ 不为零向量时，有 $f(x) > 0$。

1. 用主元和行列式判断

若 $A$ 的所有顺序主子式均大于 $0$，则 $f(x)$ 为正定二次型。

2. 用特征值判断

3. 用二次型的矩阵判断

对于任意二次型 $f(x) = x^T A x$，其中 $A$ 是对称矩阵，在高斯消元的过程中，可以将其化为标准型 $g(y) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2$，其中 $y = (y_1, y_2, \cdots, y_n)$，$\lambda_1, \lambda_2, \cdots,

\lambda_n$ 是 $A$ 的特征值。若对于 $A$ 的每一个特征值 $\lambda_i$ 均有

$\lambda_i > 0$，则 $f(x)$ 为正定二次型。

总结

以上三种方法都可以用来判断正定二次型，各有特点和适用范围，具体使用时需要结合具体问题进行选择。在解决具体问题时，可以根据已知条件尝试使用一种或多种判别方法，来判断二次型是否为正定二次型。