考研数学三真题及答案详解

考研数学三真题及答案
详解
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0
()()x
f t dt
g x x
=
⎰的（）
()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点.
()D 振荡间断点.
解：B
分析：()()0
()lim ()lim
lim 0x
x x x f t dt g x f x f x
→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断
点。

（2）设f 连续，221x y +=，222x y u +=，1u >，则()
22,D
f u v F u v +=，
则
F
u
∂=∂（） 解：选A
分析；用极坐标得()
222()
20
1
1
,()v
u u
f r r D
f u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰
⎰
（3）设(,)f x y =则函数在原点偏导数存在的情况是()
解：C
分析：0
011(0,0)lim
lim 00
x
x x x e f x x →→--'==--00011lim lim 100x
x x x e e x x →+→+--==--，
故000011
lim lim 00
x
x x x e e x x -→+→---≠--，所以偏导数不存在。

所以偏导数存在。

故选C
（4）曲线段方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数则定积分0
'()a
xf x dx ⎰（）
()A 曲边梯形ABCD 面积.
()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.
()D 三角形ACD 面积.
解：()C
分析：0
()()()()a a a
xf x dx xdf x af a f x dx '==-⎰⎰⎰
其中()af a 是矩形面积，0
()a f x dx ⎰为曲边梯形的面积，所以0
()a
xf x dx '⎰为曲边三角形
的面积。

（5）设A 为n 阶非0矩阵E 为n 阶单位矩阵若30A =，则（）
()A E A -不可逆，E A +不可逆.
()B E A -不可逆，E A +可
逆.
()C E A -可逆，E A +可逆.
()D E A -可逆，E A +不可
逆. 解：()C
分析：23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆。

（6）设1221A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
则在实数域上与A 合同矩阵为（）
()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
.
()B 2112-⎛⎫
⎪-⎝⎭
.
()C 2112⎛⎫
⎪⎝⎭.
()D 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
. 解：()D
分析：()()()2
21
2
14231302
1
E A λλλλλλλλ---=
=--=--=+-=--
则121,3λλ=-=。

记1221D -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭，则
则121,3λλ=-=
正、负惯性指数相同，故选()D
（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（）
()A ()2F x .
()B ()()F x F y .
()C ()2
11F x --⎡⎤⎣⎦.
()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
解：()A 分析：
（8）随机变量()0,1X
N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（） ()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.
()D {}211P Y X =+=.
解：选()D 分析：用排除法
设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得
排除()B
故选择()D
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪
=⎨>⎪⎩
在(,)-∞+∞内连续，则c =.
解：1
分析：由()()22
lim lim 11x c
x c
f x f x c c c
+-
→→=⇒+=⇒= （10）函数3411x x f x x x +⎛
⎫+= ⎪+⎝
⎭
，求积分()2
f x dx =⎰.
解：1
ln 32
分析：2
22111112x x
x x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭
所以()22
t f t t =
- （11）2()D
x y dxdy -=⎰⎰ .其中22:1D x y +≤
解：
4
π 分析：()22221()2D
D
D x y dxdy x dxdy x y dxdy -==
+⎰⎰⎰⎰⎰⎰212
00124
d r rdr ππθ==⎰⎰ （12）微分方程0,(1)1,xy y y '+==求方程的特解y = .
解：1
y x
=
分析：由
,,ln ln dy y dy dx y x dx x y x -==-=-所以1x y =，又(1)1y =，所以1
y x
=.
（13）设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，14A E --= . 解：A 的特征值为1，2，2，则存在可逆矩阵P ，使得
分析：11111
12,,2P AP B A PBP A PB P -----⎛⎫
⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭
， 因
1
11212B -⎛⎫ ⎪
⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，则134131
B E --== （14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .
解：112
e -
分析：因为22()DX EX EX =-，所以22EX =，X 服从参数为1的泊松分布，
所以{}11
22
P X e -==
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分） 求极限20
1sin lim
ln
x x
x x
→. 解：220
01sin 1sin lim
ln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
(16)（本题满分10分）
设z z =(,)x y 是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时，求
(1)dz
（2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫
∂∂=- ⎪
-∂∂⎝⎭
，求u x ∂∂. 解：
①()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''+=-++-+ ②
(17)（本题满分10分）
()f x 是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数都有()()22
t t
f x dx f x dx +=⎰
⎰
（2）证明()()()2
02x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰是周期为2的周期函数．
解： （1）对于()2t t
f x dx +⎰
，令2x u =+，则()()2
2t t
t
f x dx f u du +=+⎰
⎰
因为()f x 的周期为2，所以()()220
t t f x dx f x dx +=⎰⎰
所以()()()()()2
2
22
02
t t t
t
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ++=++=⎰
⎰⎰⎰
⎰
（2）()()()2
20
22x t t g x f t f s ds dt ++⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
因为()()220
t t f x dx f x dx +=⎰
⎰
所以()()2
2
2
2
x t x x
t
x
f s dsdt f s dsdt +++=⎰
⎰
⎰
⎰
所以()()()()()2
20
222g x g x f t dt f s ds g x +=+-=⎰⎰
所以()g x 是周期为2的周期函数 (18)（本题满分10分）
求二重积分max(,1),D
xy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤
解：
(19)（本题满分10分）
已知年复利为，现存a 万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…第n 年取出10+9n 万元，问a 至少为多少时，可以一直取下去
解：由题得 设0.051()9nx n f x ne ∞
-==∑
两边求积分
由0x >，0.050.050
()180(1)1x
x
x
e f x dx e
--=--⎰
对上式两边求导0.050.050.0520.052
0.059()180(1)(1)
x x
x x e e f x e e ----==-- 令1x =，则0.05
0.050.052
1
9()9(1)(1)n
n e f x ne
f e -∞
--====-∑
所以a 至少应为3795. (20)（本题满分11分）
设矩阵2
2
21212n n
a a a
A a a ⨯⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T
n X x x =，()1,0,
,0B =，
（1）求证()1n A n a =+
（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解 解：①
②方程组有唯一解
由Ax B =，知0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠。

记n n A A ⨯=，由克莱姆法则知， ③方程组有无穷多解 由0A =，有0a =，则 故()()|1r A B r A n ==-
0Ax =的同解方程组为23
000
n x x x =⎧⎪=⎪⎨
⎪⎪=⎩，则基础解系为()1,0,0,,0T
k ，k 为任意常数。

又01
010*******
1000⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，故可取特解为0100η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
所以Ax B =的通解为1001,0000k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数。

（21）（本题满分11分）
设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足
323Aa a a =+，
证明（1）123,,a a a 线性无关； （2）令()123,,P a a a =，求1P AP -.
解：（1）假设123,,ααα线性相关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设
31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零（若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=）
又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+
∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=
则12,αα线性相关，矛盾（因为12,αα分别属于不同特征值得特征向量，故12,αα线性无关）.
故：123,,ααα线性无关.
（2）记123(,,),P ααα=则P 可逆，123123(,,)(,,)A A A A αααααα=
即：100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，∴1100011001P AP --⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
.
（22）（本题满分11分）
设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()1
1,0,13
P X i i ==
=-，Y 的概率密度为()101
0Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它
，记Z X Y =+
（1）求102P Z X ⎧⎫
≤=⎨⎬⎩⎭
（2）求Z 的概率密度． 解：1.
2.当2z ≥时，()1F z = 当1z <-时，()0F z = 当12z -≤<时，
当10z -≤<时，1011
()1(1)33z F z dy z +=
=+⎰ 当01z ≤<时，011
()110(1)33z F z dy z ⎡⎤=++=+⎢
⎥⎣⎦⎰
当12z ≤<时，1011
()111(1)33z F z dy z -⎡⎤=++=+⎢
⎥⎣⎦⎰
所以0 1
1
()(1) 1231 z 2z F z z z <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩
，则1,12
()30,z f z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它
（23）（本题满分11分）
12,,
,n X X X 是总体为2
(,)N μσ的简单随机样本.记1
1n
i i X X n ==∑，
2
211()1n i i S X X n ==--∑，221T X S n =- （1）证T 是2μ的无偏估计量.
（2）当0,1μσ==时，求DT .
解：(1)221()()E T E X S n =-221()E X E S n =-221E X n
σ=- 因为：2(,)X N μσ,2(,)X N n σμ,而22()EX DX EX =+221n
σμ=+ 222211()E T n n
σμσμ=+-=,所以T 是2μ的无偏估计 (2)22()()D T ET ET =-,()0E T =,4
4
22222()S ET E X X S n n =-⋅+ 因为1(0,)X N
n (0,1)1
X N
令1X X =
(
)22
42422233x x E X dx dx EX +∞+∞---∞-∞====⎰⎰ 所以423E X n =
因为2
22(1)(1)n S W n χσ-=-且21σ=
22(1)DS n =-,4211(1)1
n ES n n +=+=-- 所以222232111n ET n n n n +=-+⋅-。