湖北省武汉市部分学校2024届中考数学仿真试卷含解析

湖北省武汉市部分学校2024届中考数学仿真试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列计算正确的是（ ）
A ．2224()39b b c c
= B ．0.00002=2×105 C ．2933x x x -=-- D ．3242·323x y y x x
= 2．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE 的长为（ ）
A ．3π
B ．23π
C ．43π
D ．76
π 3．把不等式组24030x x -≥⎧⎨->⎩
的解集表示在数轴上，正确的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出下列四个结论：①△APE ≌△CPF ；②AE=CF ；③△EAF 是等腰直角三角形；④S △ABC =2S 四边形AEPF ，上述结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．方程
13
1
22
x x
-=
--
的解为（）
A．x=4 B．x=﹣3 C．x=6 D．此方程无解
6．2017年，小榄镇GDP总量约31600000000元，数据31600000000科学记数法表示为（）
A．0.316×1010B．0.316×1011C．3.16×1010D．3.16×1011
7．如图，小明从A处出发沿北偏西30°方向行走至B处，又沿南偏西50°方向行走至C处，此时再沿与出发时一致的方向行走至D处，则∠BCD的度数为（）
A．100°B．80°C．50°D．20°
8．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（）
A．26×105B．2.6×102C．2.6×106D．260×104
9．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（）
A．2
5πcm B．2
10πcm C．2
15πcm D．2
20πcm
10．下列运算正确的是（）
A．3a2﹣2a2=1 B．a2•a3=a6C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+2ab+b2
11．如图，已知函数y=﹣3
x
与函数y=ax2+bx的交点P的纵坐标为1，则不等式ax2+bx+
3
x
＞0的解集是（）
A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0 C．x＜﹣3或x＞0 D．x＞0
12．设a ，b 是常数，不等式10x a b +>的解集为15x <，则关于x 的不等式0bx a ->的解集是（ ） A ．15x > B ．15x <- C ．15x >- D ．15
x < 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．已知⊙O 的半径为5，由直径AB 的端点B 作⊙O 的切线，从圆周上一点P 引该切线的垂线PM ，M 为垂足，连接PA ，设PA=x ，则AP+2PM 的函数表达式为______，此函数的最大值是____，最小值是______．
14．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__度．
15．如图，点A 、B 、C 在圆O 上，弦AC 与半径OB 互相平分，那么∠AOC 度数为_____度．
16．不等式42
x -＞4﹣x 的解集为_____． 17．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD ，DC ∥AB ，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为
1.2：1，坝顶部DC 宽为2m ，坝高为6m ，则坝底AB 的长为_____m ．
18．8的算术平方根是_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）先化简，再求值：（221121
a a a a a a +----+）÷1a a -，其中3． 20．（6分）已知甲、乙两地相距90km ，A ，B 两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A 骑摩托车，B 骑电动车，图中DE ，OC 分别表示A ，B 离开甲地的路程s （km ）与时间t （h ）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）请用t 分别表示A 、B 的路程s A 、s B ；
（2）在A 出发后几小时，两人相距15km ？
21．（6分）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
22．（8分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+n的图象经过（0，﹣3）．
（1）n＝_____________；
（2）若二次函数y＝mx2﹣2mx+n的图象与x 轴有且只有一个交点，求m 值；
（3）若二次函数y＝mx2﹣2mx+n的图象与平行于x 轴的直线y＝5 的一个交点的横坐标为4，则另一个交点的坐标为；
（4）如图，二次函数y＝mx2﹣2mx+n的图象经过点A（3，0），连接AC，点P 是抛物线位于线段AC 下方图象上的任意一点，求△PAC 面积的最大值．
23．（8分）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(m，n)（m＜0，
n＞0），E点在边BC上，F点在边OA上．将矩形OABC沿EF折叠，点B正好与点O重合，双曲线过点E.
(1) 若m＝－8，n ＝4，直接写出E、F的坐标；
(2) 若直线EF的解析式为，求k的值；
(3) 若双曲线过EF的中点，直接写出tan∠EFO的值.
24．（10分）[阅读]我们定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“中边三角形”，把这条边和其边上的中线称为“对应边”．
[理解]如图1，Rt△ABC是“中边三角形”，∠C=90°，AC和BD是“对应边”，求tanA的值；
[探究]如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC
和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，试求a
s
的值．
25．（10分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
26．（12分）解不等式组：
21
5
1
2
x x
x
x
+>
⎧
⎪
⎨+
-≥
⎪⎩
，并把解集在数轴上表示出来．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PN ：PM ＝1：4，求m 的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时针旋转得到OP 2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP 2、BP 2，求AP 2+232
BP 的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D
【解题分析】
在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
【题目详解】
解：A 、原式=2
249b c
；故本选项错误； B 、原式=2×10-5；故本选项错误；
C 、原式=()()3333
x x x x +-=+- ；故本选项错误；
D 、原式=2
23x ；故本选项正确； 故选：D ．
【题目点拨】
分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
2、B
【解题分析】
连接OE ，由菱形的性质得出∠D ＝∠B ＝60°，AD ＝AB ＝4，得出OA ＝OD ＝2，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE ＝60°，再由弧长公式即可得出答案．
【题目详解】
解：连接OE ，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠D ＝∠B ＝60°，AD ＝AB ＝4，
∴OA ＝OD ＝2，
∵OD ＝OE ，
∴∠OED ＝∠D ＝60°，
∴∠DOE ＝180°﹣2×60°＝60°，
∴DE 的长＝
602180
π⨯＝23π； 故选B ．
【题目点拨】
本题考查弧长公式、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出∠DOE 的度数是解决问题的关键．
3、A
【解题分析】
分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分并在数轴上表示出来即可．
【题目详解】
2x 4030x -≥⎧⎨-⎩
①＞② 由①，得x≥2，
由②，得x ＜1，
所以不等式组的解集是：2≤x ＜1．
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
故选A ．
【题目点拨】
本题考查的是解一元一次不等式组．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4、C
【解题分析】
利用“角边角”证明△APE 和△CPF 全等，根据全等三角形的可得AE=CF ，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP 是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE 的面积等于△CPF 的面积相等，然后求出四边形AEPF 的面积等于△ABC 的面积的一半．
【题目详解】
∵AB=AC ，∠BAC=90°，点P 是BC 的中点，
∴AP ⊥BC ，AP=PC ，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF 是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF ，
在△APE 和△CPF 中，
45APE CPF AP PC
EAP C ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），
∴AE=CF ，故①②正确；
∵△AEP ≌△CFP ，同理可证△APF ≌△BPE ，
∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=1
2
S△ABC．故④正确，
故选C．
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．
5、C
【解题分析】
先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入最简公分母进行检验.
【题目详解】
方程两边同时乘以x－2得到1－（x－2）＝﹣3，解得x＝6.将x＝6代入x－2得6－2＝4，∴x＝6就是原方程的解.故选C
【题目点拨】
本题考查的是解分式方程，熟知解分式方程的基本步骤是解答此题的关键.
6、C
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【题目详解】
31600000000＝3.16×1．故选：C．
【题目点拨】
本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示.
7、B
【解题分析】
解：如图所示：由题意可得：∠1=30°，∠3=50°，则∠2=30°，故由DC∥AB，则∠4=30°+50°=80°．故选B．
点睛：此题主要考查了方向角的定义，正确把握定义得出∠3的度数是解题关键．
8、C
【解题分析】
科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移
动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．
【题目详解】
260万=2600000=62.610⨯．
故选C ．
【题目点拨】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
9、B
【解题分析】
试题解析：∵AC =10，∴AO =BO =5，∵∠BAC =36°，∴∠BOC =72°，∵矩形的对角线把矩形分成了四个面积相等的三
角形，∴阴影部分的面积=扇形AOD 的面积+扇形BOC 的面积=2扇形BOC 的面积=2
7252360
π⨯⨯=10π ．故选B ． 10、D
【解题分析】
根据合并同类项法则，可知3a 2﹣2a 2= a 2，故不正确；
根据同底数幂相乘，可知a 2•a 3=a 5，故不正确；
根据完全平方公式，可知（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2，故不正确；
根据完全平方公式，可知（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，正确.
故选D.
【题目详解】
请在此输入详解！
11、C
【解题分析】
首先求出P 点坐标，进而利用函数图象得出不等式ax 2+bx+
3x ＞1的解集． 【题目详解】
∵函数y=﹣
3x 与函数y=ax 2+bx 的交点P 的纵坐标为1， ∴1=﹣3x
， 解得：x=﹣3，
∴P （﹣3，1），
故不等式ax 2+bx+
3x ＞1的解集是：x ＜﹣3或x ＞1． 故选C ．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确得出P 点坐标．
12、C
【解题分析】 根据不等式10x a b
+>的解集为x ＜15 即可判断a,b 的符号,则根据a,b 的符号,即可解不等式bx-a<0 【题目详解】 解不等式10x a b
+>, 移项得:1-x a b
＞ ∵解集为x<15
∴1-5
a b = ，且a<0 ∴b=-5a>0，15 15a b
=- 解不等式0bx a ->,
移项得:bx ＞a
两边同时除以b 得:x ＞
a b , 即x ＞-
15
故选C
【题目点拨】
此题考查解一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、15-x 2+x+20（0＜x ＜10）
854
不存在． 【解题分析】
先连接BP ，AB 是直径，BP ⊥BM ，所以有，∠BMP=∠APB=90°，又∠PBM=∠BAP ，那么有△PMB ∽△PAB ，于是PM ：PB=PB ：AB ，可求22210,10PB x PM AB -==从而有22210122055
x AP PM x x x -+=+=-++（0＜x ＜10），再根据二次函数的性质，可求函数的最大值．
【题目详解】
如图所示，连接PB ，
∵∠PBM=∠BAP ，∠BMP=∠APB=90°，
∴△PMB ∽△PAB ，
∴PM ：PB=PB ：AB ，
∴222
10,10
PB x PM AB -== ∴22210122055
x AP PM x x x -+=+=-++（0＜x ＜10）， ∵105
a =-<， ∴AP+2PM 有最大值，没有最小值，
∴y 最大值=2485,44
ac b a -= 故答案为21205x x -++（0＜x ＜10），854
，不存在．
【题目点拨】
考查相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，综合性比较强，需要熟练掌握.
14、1．
【解题分析】
根据一副直角三角板的各个角的度数，结合三角形内角和定理，即可求解．
【题目详解】
∵∠3＝60°，∠4＝45°，
∴∠1＝∠5＝180°﹣∠3﹣∠4＝1°．
故答案为：1．
【题目点拨】
本题主要考查三角形的内角和定理以及对顶角的性质，掌握三角形的内角和等于180°，是解题的关键．15、1．
【解题分析】
首先根据垂径定理得到OA=AB，结合等边三角形的性质即可求出∠AOC的度数．
【题目详解】
解：∵弦AC与半径OB互相平分，
∴OA=AB，
∵OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=1°，
故答案为1．
【题目点拨】
本题主要考查了垂径定理的知识，解题的关键是证明△OAB是等边三角形，此题难度不大．
16、x＞1．
【解题分析】
按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.
【题目详解】
解：去分母得：x ﹣1＞8﹣2x ，
移项合并得：3x ＞12，
解得：x ＞1，
故答案为：x ＞1
【题目点拨】
本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.
17、（7+63）
【解题分析】
过点C 作CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为：E ，F ，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt △AEF 中利用DF 的长，求得线段AF 的长；在Rt △BCE 中利用CE 的长求得线段BE 的长，然后与AF 、EF 相加即可求得AB 的长．
【题目详解】 解：如图所示：过点C 作CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为：E ，F ，
∵坝顶部宽为2m ，坝高为6m ， ∴DC=EF=2m ，EC=DF=6m ，
∵α=30°，
∴BE=63tan30EC =︒
（m ）， ∵背水坡的坡比为1.2：1， ∴ 1.2 1.21
DF AF AF ==， 解得：AF=5（m ），
则3（3）m ，
故答案为（3m ．
【题目点拨】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．
18、2.
【解题分析】
试题分析：本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．依据算术平方根的定义回答
即可．
由算术平方根的定义可知：8
，
∴8的算术平方根是
故答案为．
考点：算术平方根.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、()211a -，13
. 【解题分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【题目详解】
解: （221121a a a a a a +----+）÷1a a
- =21(1)(1)(1)1
a a a a a a a a +---⋅--（） =2221(11
a a a a a a a --+⋅--） =21(11
a a a a a -⋅--） =21
(1a ）
-，
当+1时，原式
=13
． 【题目点拨】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20、（1）s A ＝45t ﹣45，s B ＝20t ；（2）在A 出发后
15小时或75小时，两人相距15km ． 【解题分析】
（1）根据函数图象中的数据可以分别求得s 与t 的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题．
【题目详解】
解：（1）设s A 与t 的函数关系式为s A ＝kt +b ，
+0390k b k b =⎧⎨+=⎩，得4545
k b =⎧⎨=⎩－， 即s A 与t 的函数关系式为s A ＝45t ﹣45，
设s B 与t 的函数关系式为s B ＝at ，
60＝3a ，得a ＝20，
即s B 与t 的函数关系式为s B ＝20t ；
（2）|45t ﹣45﹣20t |＝15，
解得，t 1＝65，t 2＝125， 6515=－1，12575
=－1， 即在A 出发后15小时或75小时，两人相距15km ． 【题目点拨】
本题主要考查一次函数的应用，涉及到直线上点的坐标与方程，利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
21、（1）125°；（2）125°；（3）∠BOC=90°
+12n°． 【解题分析】
如图，由BO 、CO 是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+12
∠A ，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）． 【题目详解】
如图，
∵BO 、CO 是角平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠1+2∠2+∠A=180°，
∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，∴2∠BOC﹣∠A=180°，
∴∠BOC=90°+1
2
∠A，
（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，
∴∠BOC=90°+1
2
×70°=125°；
（2）∠BOC=90°+1
2
∠A=125°；
（3）∠BOC=90°+1
2 n°．
【题目点拨】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
22、（2）－2；（2）m=﹣2；（2）（﹣2，5）；（4）当a=3
2
时，△PAC的面积取最大值，最大值为
27
8
【解题分析】
（2）将（0，-2）代入二次函数解析式中即可求出n值；
（2）由二次函数图象与x轴只有一个交点，利用根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；
（2）根据二次函数的解析式利用二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，利用二次函数图象的对称性即可找出另一个交点的坐标；
（4）将点A的坐标代入二次函数解析式中可求出m值，由此可得出二次函数解析式，由点A、C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，设点P的坐标为（a，a2-2a-2），则点Q 的坐标为（a，a-2），点D的坐标为（a，0），根据三角形的面积公式可找出S△ACP关于a的函数关系式，配方后即可得出△PAC面积的最大值．
【题目详解】
解:（2）∵二次函数y=mx2﹣2mx+n的图象经过（0，﹣2），
∴n=﹣2．
故答案为﹣2．
（2）∵二次函数y=mx2﹣2mx﹣2的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=（﹣2m）2﹣4×（﹣2）m=4m2+22m=0，
解得：m2=0，m2=﹣2．
∵m≠0，
∴m=﹣2．
（2）∵二次函数解析式为y=mx2﹣2mx﹣2，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=﹣-2m
2m
=2．
∵该二次函数图象与平行于x轴的直线y=5的一个交点的横坐标为4，∴另一交点的横坐标为2×2﹣4=﹣2，
∴另一个交点的坐标为（﹣2，5）．
故答案为（﹣2，5）．
（4）∵二次函数y=mx2﹣2mx﹣2的图象经过点A（2，0），
∴0=9m﹣6m﹣2，
∴m=2，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣2．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（2，0）、C（0，﹣2）代入y=kx+b，得：
3k+b=0 {
b=-3，解得：
k=1
{
b=-3
，
∴直线AC的解析式为y=x﹣2．
过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，如图所示．
设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣2），则点Q的坐标为（a，a﹣2），点D的坐标为（a，0），∴PQ=a﹣2﹣（a2﹣2a﹣2）=2a﹣a2，
∴S△ACP=S△APQ+S△CPQ=1
2
PQ•OD+
1
2
PQ•AD=﹣
3
2
a2+
9
2
a=﹣
3
2
（a﹣
3
2
）2+
27
8
，
∴当a=3
2
时，△PAC的面积取最大值，最大值为
27
8
．
【题目点拨】
本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（2）代入点的坐标求出n值；（2）牢记当△=b2-4ac=0时抛物线与x轴只有一个交点；（2）利用二次函数的对称轴求出另一交点的坐标；（4）利用三角形的面积公式找出S△ACP关于a的函数关系式．
23、（1）E(－3，4)、F(－5，0)；（2）；（3）.
【解题分析】
(1) 连接OE,BF,根据题意可知：设则根据勾股定理可得：
即解得：即可求出点E的坐标，同理求出点F的坐标.
(2) 连接BF、OE，连接BO交EF于G由翻折可知：GO＝GB，BE＝OE，证明△BGE≌△OGF，证明四边形OEBF 为菱形，令y＝0，则，解得，根据菱形的性质得OF=OE=BE=BF=令y＝n，则，解得则CE=，在Rt△COE中，根据勾股定理列出方程，即可求出点E的坐标，即可求出k的值；
(3) 设EB=EO=x，则CE=－m－x，在Rt△COE中，根据勾股定理得到(－m－x)2＋n2＝x2，解得，求出点E()、F()，根据中点公式得到EF的中点为()，将E()、()代入中，得，得m2＝2n2
即可求出tan∠EFO＝.
【题目详解】
解：(1)如图：连接OE,BF,
E(－3，4)、F(－5，0)
(2) 连接BF、OE，连接BO交EF于G由翻折可知：GO＝GB，BE＝OE
可证：△BGE≌△OGF（ASA）
∴BE＝OF
∴四边形OEBF为菱形
令y＝0，则，解得，∴OF=OE=BE=BF=
令y＝n，则，解得∴CE=
在Rt△COE中，，
解得
∴E()
∴
(3) 设EB=EO=x，则CE=－m－x，
在Rt△COE中，(－m－x)2＋n2＝x2，解得
∴E()、F()
∴EF的中点为()
将E()、()代入中，得
，得m2＝2n2
∴tan∠EFO＝
【题目点拨】
考查矩形的折叠与性质，勾股定理，一次函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数等，综合性比较强，难度较大.
24、tanA=
3
2
；综上所述，当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，
a
s
的值为
3
4
或
151
102
．
【解题分析】
(1)由AC和BD是“对应边”，可得AC=BD，设AC=2x，则CD=x，BD=2x，可得∴BC=x，可得tanA===
(2) 当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，可得AC是QP的垂直平分线.可求得△AEF∽△CEP，=，分两种情况：
当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，
==，
∴=；
当腰AP与它的中线QM相等时，即AP=QM时，QM=AQ，
（3）作QN⊥AP于N，可得tan∠APQ===，
tan∠APE===，
∴=，
【题目详解】
解：[理解]∵AC和BD是“对应边”，
∴AC=BD，
设AC=2x，则CD=x，BD=2x，
∵∠C=90°，
∴BC===x，
∴tanA===；
[探究]若β=45°，当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“中边三角形”，如图2，当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，∵PC=QC，∠ACB=∠ACD，
∴AC是QP的垂直平分线，
∴AP=AQ，
∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴===，
∵PE=CE，
∴=，
分两种情况：
当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，
==，
∴=；
当腰AP与它的中线QM相等时，即AP=QM时，QM=AQ，
如图3，作QN⊥AP于N，
∴MN=AN=PM=QM，
∴QN=MN，
∴ntan∠APQ===，
∴ta∠APE===，
∴=，
综上所述，当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，的值为或．
【题目点拨】本题是一道相似形综合运用的试题, 考查了相似三角形的判定及性质的运用, 勾股
定理的运用, 等腰直角三角形的性质的运用, 等腰三角形的性质的运用, 锐角三角形函数值的运用, 解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键.
25、（1）捐款增长率为10%.（2）第四天该单位能收到13310元捐款.
【解题分析】
（1）根据“第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数”，设出未知数，列方程解答即可. （2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.
【题目详解】
（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得：
()2
⨯-=，
100001x12100
解得x1=0.1，x2=－1.9（不合题意，舍去）.
答：捐款增长率为10%.
（2）12100×（1+10%）=13310元.
答：第四天该单位能收到13310元捐款.
26、则不等式组的解集是﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示见解析.
【解题分析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
【题目详解】
21x 512
x x x +>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①，② 解不等式①得：x ＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
.
【题目点拨】
本题考查了解一元一次不等式组，熟知确定解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.也考查了在数轴上表示不等式组的解集.
27、（1）213222x x -++；（2）m ＝3；（3145【解题分析】
（1）本题需先根据图象过A 点，代入即可求出解析式；（2）由△OAB ∽△PAN 可用m 表示出PN ，且可表示出PM ，由条件可得到关于m 的方程，则可求得m 的值；（3）在y 轴上取一点Q ，使2O 3O 2
Q P =，可证的△P 2OB ∽△QOP 2，则可求得Q 点坐标，则可把AP 2+
32
BP 2转换为AP 2+QP 2，利用三角形三边关系可知当A 、P 2、Q 三点在一条线上时，有最小值，则可求出答案.
【题目详解】 解：（1）∵A （4，0）在抛物线上，
∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a ＝﹣12
，
∴抛物线的解析式为y ＝213222x x -++； （2）∵21
3222
y x x =++－ ∴令x ＝0可得y ＝2，
∴OB ＝2，
∵OP ＝m ，
∴AP ＝4﹣m ，
∵PM ⊥x 轴，
∴△OAB ∽△PAN ，
∴
OB PN OA PA
=， ∴244m
PN =-， ∴1PN (4m)2=-， ∵M 在抛物线上，
∴PM ＝21
322
m m +－+2， ∵PN ：MN ＝1：3，
∴PN ：PM ＝1：4，
∴2131m m 24(4m)222
-++=⨯⨯-， 解得m ＝3或m ＝4（舍去）；
（3）在y 轴上取一点Q ，使2O 3O 2
Q P =，如图，
由（2）可知P 1（3，0），且OB ＝2，
∴22O 32
OP Q OP OB ==，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2， ∴22OP 3BP 2
=， ∴当Q （0，92
）时，QP 2＝232BP ， ∴AP 2+32
BP 2＝AP 2+QP 2≥AQ ， ∴当A 、P 2、Q 三点在一条线上时，AP 2+QP 2有最小值，
∵A （4，0），Q （0，
92）， ∴AQ
即AP 2+32BP 2
【题目点拨】
本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及线段和最小值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形，难度相对较大.。